Aus Online Mathematik Brückenkurs 1

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	* Die vier Grundrechnungsarten der Arithmetik beherschen.		* Die vier Grundrechnungsarten der Arithmetik beherschen.
	* Den Unterschied zwischen natürlichen, ganzen, rationalen und irrationalen Zahlen kennen.		* Den Unterschied zwischen natürlichen, ganzen, rationalen und irrationalen Zahlen kennen.
-	* Quoten als Dezimalzahlen schreiben, und umgekehrt.	+	* Brüche als Dezimalzahlen schreiben, und umgekehrt.
	* Das Größenverhältnis zwischen zwei Zahlen zu bestimmen.		* Das Größenverhältnis zwischen zwei Zahlen zu bestimmen.
-	* Quoten und Dezimalzahlen korrekt runden.	+	* Brüche und Dezimalzahlen korrekt runden.
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	'''Beispiel 8'''		'''Beispiel 8'''
-	Die Zahl <math>x=0{,}215151515\,\ldots</math> ist rational, nachdem sie eine periodische Dezimalbruchentwicklung hat. Um die Zahl als eine Quote zu schreiben, machen wir folgendes:	+	Die Zahl <math>x=0{,}215151515\,\ldots</math> ist rational, nachdem sie eine periodische Dezimalbruchentwicklung hat. Um die Zahl als ein Bruch zu schreiben, machen wir folgendes:
	Wenn wir die Zahl mit <math>10</math> multiplizieren, verschiebt sich das Komma eine Stelle nach rechts		Wenn wir die Zahl mit <math>10</math> multiplizieren, verschiebt sich das Komma eine Stelle nach rechts

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Version vom 13:51, 25. Okt. 2008

Theorie

Übungen

Berechnungen mit Zahlen

Berechnungen mit Zahlen bestehen aus mehreren Schritten. Diese Schritte bestehen aus den vier Grundrechnungsarten der Arithmetik. Volgende Begriffe beschreiben die vier Grundrechnungsarten und sind daher sehr wichtig in der Mathematik:

Bei der Addition ist die Reihenfolge der Zahlen egal

\displaystyle 3+4+5=3+5+4=5+4+3=12\,\mbox{.}

Bei der Subtraktion im gegensinn, ist die Reihenfolge bedeutend.

\displaystyle 5-2=3 \quad \mbox{während} \quad 2-5=-3\,\mbox{.}

Mit dem Unterschied zwischen zwei Zahlen, meint man meistens die größte Zahl subtrahiert mit der kleineren Zahl. Der Unterschied zwischen 2 und 5 ist also 3 und nicht -3.

Bei der Multiplikation ist die Reihenfolge der Zahlen auch egal

\displaystyle 3 \cdot 4 \cdot 5=3 \cdot 5 \cdot 4 = 5 \cdot 4 \cdot 3 = 60 \,\mbox{.}

Bei der Division im gegensinn, ist die Reihenfolge bedeutend.

\displaystyle \frac{6}{3} = 2\quad\mbox{während}\quad\frac{3}{6} = 0{,}5 \,\mbox{.}

Operatorrangfolge

In den Fällen wo ein mathematischer Ausdruck mehrere Rechnungsarten enthält, ist es wichtig die Operatorrangfolge zu kennen. Ein Ausdruck soll in folgender Reihenfolge berechnet werden:

• Klammern (die innersten klammern zuerst)
• Multiplikation und Division (von links nach rechts)
• Addition und Subtraktion (von links nach rechts)

"Unsichtbare" Klammern

Bei der Division soll der Zähler und der Nenner zuerst berechnet werden, bevor man dividiert. Man kann also sagen dass es um den Zähler und Nenner "unsichtbare klammern" gibt.

Dies muss man besonders beachten wenn man einen Taschenrechner benutzt.

\displaystyle \frac{8+4}{2+4}

muss als \displaystyle (8 + 4 )/(2 + 4) geschrieben werden, sodass der Taschenrechner die Richtige Antwort \displaystyle 2 ergibt. Ein häufiger Fehler ist das man stattdessen \displaystyle 8 + 4/2 + 4 schreibt. Dies interpretiert der Rechner als \displaystyle 8 + 2 + 4 = 14.

Verschiedene Zahlen

Die Zahlen die wir normalerweise verwenden um beispielsweise Längen und Mengen zu messen, nennt man die reellen Zahlen. Die reellen Zahlen kann man mit einer Zahlengerade darstellen:

Die reellen Zahlen "füllen" die ganze Zahlengerade, ohne Zwischenräume. Jeder Punkt in der Zahlengerade kann durch eine Dezimalzahl dargestellt werden. Die Menge der reellen Zahlen, oder alle Dezimalzahlen, benennt man R. Die Zahlengerade zeigt auch die Größe der Zahlen an, indem eine Zahl rechts von einer anderen Zahl immer größer ist.

Die reellen Zahlen werden in folgenden Zahlenmengen unterschieden:

Natürliche Zahlen (normalerweise mit N bezeichnet)

Die natürlichen Zahlen verwendet man beim zählen: 0, 1, 2, 3, 4, ...

Ganze Zahlen (Z)

Die ganzen Zahlen bestehen aus den natürlichen Zahlen, sowie deren negativen Gegenzahlen: ..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...

Rationale Zahlen (Q)

Die rationalen Zahlen sind alle Zahlen die eine Quote zwischen ganzen Zahlen sind, zum beispiel,

\displaystyle -\frac{3}{4},\ \frac{3}{2}, \ \frac{37}{128}, \quad\mbox{etc.}

Auch die ganzen Zahlen sind rationale Zahlen:

\displaystyle -1 = \frac{-1}{1},\quad 0 = \frac{0}{1},\quad 1 = \frac{1}{1},\quad 2 = \frac{2}{1},\quad\mbox{etc.}

Eine rationale Zahl kann in mehreren Varianten dargestellt werden, zum Beispiel:

\displaystyle 2 = \frac{2}{1}=\frac{4}{2}=\frac{6}{3}=\frac{8}{4} =\frac{100}{50}=\frac{384}{192}\quad\mbox{etc.}

Irrationale Zahlen

Die Zahlen auf der Zahlgeraden die nicht als rationale Zahlen dargestellt werden können, nennt man irrationale Zahlen. Zum Beispiel sind die meisten Wurzeln irrationale Zahlen

\displaystyle \sqrt{2} and \displaystyle \sqrt{3}, aber auch andere Zahlen, sowie \displaystyle \pi

Dezimaldarstellung

Alle reellen Zahlen können als Dezimalzahlen dargestellt werden, mit beliebiger Anzahl von Dezimalen. Ziffern vor dem Komma werden mit \displaystyle 1, 10, 100, ... multipliziert, während die Ziffern nach dem Komma mit \displaystyle 1/10, 1/100, 1/1000, ... multipliziert werden

Eine rationale Zahl kann immer als eine Dezimalzahl dargestellt werden, indem man die Division ausführt. Also ist \displaystyle \textstyle\frac{3}{4} gleich "3 durch 4", oder 0,75.

Mehr über Schriftliche Division auf wikipedia.

Jede rationale Zahl besitzt eine periodische Dezimalbruchentwicklung, also eine Dezimalentwicklung die sich endlos lang wiederholt. Dies gilt nur für die rationalen Zahlen. Die irrationalen Zahlen haben im Gegensinn zu den rationalen Zahlen eine nicht-periodische Dezimalbruchentwicklung.

Das umgekehrte Verhältnis gilt auch; wenn eine Dezimalzahl eine periodische Dezimalbruchentwicklung hat, ist sie rational.

Rundung

Um Platz in der Darstellung der Dezimalzahlen zu sparen, rundet man oft die Zahlen. Die Ziffern \displaystyle 0,\, 1,\, 2,\, 3,\, 4 werden abgerundet, während die Ziffern \displaystyle 5,\, 6,\, 7,\, 8,\, 9 aufgerundet werden.

Das Symbol \displaystyle \approx (ist ungefähr gleich) zeigt an dass eine Zahl gerundet ist

Zahlen vergleichen

Um das Größenverhältnis zwischen zwei Zahlen zu zeigen, verwändet man die Verhältniszeichen > (größer als), < (kleiner als) und = (Gleichheitszeichen). Das Größenverhältnis zwischen zwei Zahlen kan bestimmt werden indem man entweder die Zahl als eine Dezimalzahl darstellt, oder indem man rationale zahlen mit gemeinsamen Nenner schreibt.

Übungen