Lösung 4.4:7b

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If we use the Pythagorean identity and write <math>\sin^2\!x</math> as <math>1-\cos^2\!x</math>, the whole equation can be written in terms of <math>\cos x</math>,
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Wir verwenden den trigonometrischen Pythagoras, und schreiben <math>\sin^2\!x</math> wie <math>1-\cos^2\!x</math>, und erhalten die Gleichung
{{Abgesetzte Formel||<math>2(1-\cos^2\!x) - 3\cos x = 0\,,</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>2(1-\cos^2\!x) - 3\cos x = 0\,,</math>}}
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or, in rearranged form,
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oder auch
{{Abgesetzte Formel||<math>2\cos^2\!x + 3\cos x - 2 = 0\,\textrm{.}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>2\cos^2\!x + 3\cos x - 2 = 0\,\textrm{.}</math>}}
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{{Abgesetzte Formel||<math>2t^2+3t-2 = 0</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>2t^2+3t-2 = 0</math>}}
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and this quadratic equation has the solutions <math>t=\tfrac{1}{2}</math> and
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Dies ist eine quadratische Gleichung mit den Lösungen <math>t=\tfrac{1}{2}</math> und <math>t=-2\,</math>.
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<math>t=-2\,</math>.
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In terms of ''x'', this means that either <math>\cos x = \tfrac{1}{2}</math> or <math>\cos x = -2</math>. The first case occurs when
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Also muss ''x'' einer der Gleichungen <math>\cos x = \tfrac{1}{2}</math> oder <math>\cos x = -2</math> erfüllen. Die erste Gleichung hat die Lösungen
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{{Abgesetzte Formel||<math>x=\pm \frac{\pi}{3}+2n\pi\qquad</math>(''n'' is an arbitrary integer),}}
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{{Abgesetzte Formel||<math>x=\pm \frac{\pi}{3}+2n\pi\qquad</math>}}
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whilst the equation <math>\cos x = -2</math> has no solutions at all (the values of cosine lie between -1 and 1).
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während die zweite Gleichung <math>\cos x = -2</math> keine Lösungen hat.
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The answer is that the equation has the solutions
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Also hat die Gleichung die Lösungen
{{Abgesetzte Formel||<math>x = \pm\frac{\pi}{3} + 2n\pi\,,</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>x = \pm\frac{\pi}{3} + 2n\pi\,,</math>}}
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where ''n'' is an arbitrary integer.
 

Version vom 11:58, 7. Apr. 2009

Wir verwenden den trigonometrischen Pythagoras, und schreiben \displaystyle \sin^2\!x wie \displaystyle 1-\cos^2\!x, und erhalten die Gleichung

\displaystyle 2(1-\cos^2\!x) - 3\cos x = 0\,,

oder auch

\displaystyle 2\cos^2\!x + 3\cos x - 2 = 0\,\textrm{.}

With the equation expressed entirely in terms of \displaystyle \cos x, we can introduce a new unknown variable \displaystyle t=\cos x and solve the equation with respect to t. Expressed in terms of t, the equation is

\displaystyle 2t^2+3t-2 = 0

Dies ist eine quadratische Gleichung mit den Lösungen \displaystyle t=\tfrac{1}{2} und \displaystyle t=-2\,.

Also muss x einer der Gleichungen \displaystyle \cos x = \tfrac{1}{2} oder \displaystyle \cos x = -2 erfüllen. Die erste Gleichung hat die Lösungen

\displaystyle x=\pm \frac{\pi}{3}+2n\pi\qquad

während die zweite Gleichung \displaystyle \cos x = -2 keine Lösungen hat.

Also hat die Gleichung die Lösungen

\displaystyle x = \pm\frac{\pi}{3} + 2n\pi\,,
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