Lösung 4.2:9

Aus Online Mathematik Brückenkurs 1

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If we introduce the dashed triangle below, the distance as the crow flies between A and B is equal to the triangle's hypotenuse, ''c''.
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Wir betrachten das Dreieck im unteren Bild. Der ersuchter Abstand ist die Hypotenuse ''c''.
[[Image:4_2_9_1.gif|center]]
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One way to determine the hypotenuse is to know the triangle's opposite and adjacent sides, since the Pythagorean theorem then gives
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Die Hypotenuse können wir durch das Gesetz des Pythagoras bestimmen
{{Abgesetzte Formel||<math>c^2 = a^2 + b^2\,\textrm{.}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>c^2 = a^2 + b^2\,\textrm{.}</math>}}
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In turn, we can determine the opposite and adjacent by introducing another triangle APR, where R is the point on the line PQ which the dashed triangle's side of length ''a'' cuts the line.
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Wir können die Katheten bestimmen, indem wir das Dreieck APR im nächsten Bild betrachten.
[[Image:4_2_9_2.gif|center]]
[[Image:4_2_9_2.gif|center]]
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Because we know that <math>\text{AP}=4</math> and the angle at P, simple trigonometry shows that ''x'' and ''y'' are given by
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Nachdem <math>\text{AP}=4</math> erhalten wir einfach ''x'' und ''y'',
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
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\end{align}</math>}}
\end{align}</math>}}
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We can now start to look for the solution. Since ''x'' and ''y'' have been calculated, we can determine ''a'' and ''b'' by considering the horizontal and vertical distances in the figure.
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Mit ''x'' und ''y'' erhalten wir die Katheten ''a'' und ''b'' indem wir die horizontalen und vertikalen Abstände in der Figur betrachten.
{| align="center"
{| align="center"
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|}
|}
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With ''a'' and ''b'' given, the Pythagorean theorem leads to
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Mit ''a'' und ''b'' erhalten wir c durch das Gesetz des Pythagoras
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}

Version vom 16:55, 4. Apr. 2009

Wir betrachten das Dreieck im unteren Bild. Der ersuchter Abstand ist die Hypotenuse c.

Die Hypotenuse können wir durch das Gesetz des Pythagoras bestimmen

\displaystyle c^2 = a^2 + b^2\,\textrm{.}

Wir können die Katheten bestimmen, indem wir das Dreieck APR im nächsten Bild betrachten.

Nachdem \displaystyle \text{AP}=4 erhalten wir einfach x und y,

\displaystyle \begin{align}

x &= 4\sin 30^{\circ } = 4\cdot \frac{1}{2} = 2,\\[5pt] y &= 4\cos 30^{\circ } = 4\cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3}\,\textrm{.} \end{align}

Mit x und y erhalten wir die Katheten a und b indem wir die horizontalen und vertikalen Abstände in der Figur betrachten.

Image:4_2_9_3-1.gif   Image:4_2_9_3-2.gif
\displaystyle \begin{align}a &= x+5\\ &= 2+5 = 7\end{align} \displaystyle \begin{align}b &= 12-y\\ &= 12-2\sqrt{3}\end{align}

Mit a und b erhalten wir c durch das Gesetz des Pythagoras

\displaystyle \begin{align}

c &= \sqrt{a^2+b^2}\\[5pt] &= \sqrt{7^2+(12-2\sqrt{3})^2}\\[5pt] &= \sqrt{49+(12^2-2\cdot 12\cdot 2\sqrt{3}+(2\sqrt{3})^2)}\\[5pt] &= \sqrt{205-38\sqrt{3}}\\[5pt] &\approx 11\textrm{.}0\ \text{km}\textrm{.} \end{align}

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