Lösung 4.1:7a

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As the equation stands, it is difficult directly to know anything about the circle, but if we complete the square and combine ''x''- and ''y''-terms together in their own respective square terms, then we will have the equation in the standard form
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In dieser Form ist es schwierig den Mittelpunkt und Radius des Kreises abzulesen. Daher benuzen wir quadratische Ergänzung um die Gleichung auf die Standardform
{{Abgesetzte Formel||<math>(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2\,,</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2\,,</math>}}
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and we will then be able to read off the circle's centre and radius.
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zu bringen, wo wir den Mittelpunkt und Radius ablesen können.
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If we take the ''x''- and ''y''-terms on the left-hand side and complete the square, we get
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Wir verwenden uns von quadratischer Ergänzung für jeweils die ''x''- und ''y''-Terme, und erhalten
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
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\end{align}</math>}}
\end{align}</math>}}
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and then the whole equation can be written as
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Also ist die Gleichung
{{Abgesetzte Formel||<math>(x+1)^2 - 1^2 + (y-1)^2 - 1^2 = 1\,,</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>(x+1)^2 - 1^2 + (y-1)^2 - 1^2 = 1\,,</math>}}
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or, with the constants moved to the right-hand side,
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oder auch
{{Abgesetzte Formel||<math>(x+1)^2 + (y-1)^2 = 3\,\textrm{.}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>(x+1)^2 + (y-1)^2 = 3\,\textrm{.}</math>}}
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This is a circle having its centre at (-1,1) and radius <math>\sqrt{3}\,</math>.
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Dies ist die Gleichung eines Kreises mit dem Mittelpunkt (-1,1) und dem Radius <math>\sqrt{3}\,</math>.
<center> [[Image:4_1_7a-2(2).gif]] </center>
<center> [[Image:4_1_7a-2(2).gif]] </center>

Version vom 18:15, 2. Apr. 2009

In dieser Form ist es schwierig den Mittelpunkt und Radius des Kreises abzulesen. Daher benuzen wir quadratische Ergänzung um die Gleichung auf die Standardform

\displaystyle (x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2\,,

zu bringen, wo wir den Mittelpunkt und Radius ablesen können.

Wir verwenden uns von quadratischer Ergänzung für jeweils die x- und y-Terme, und erhalten

\displaystyle \begin{align}

x^2 + 2x &= (x+1)^2-1^2\,,\\[5pt] y^2 - 2y &= (y-1)^2-1^2\,, \end{align}

Also ist die Gleichung

\displaystyle (x+1)^2 - 1^2 + (y-1)^2 - 1^2 = 1\,,

oder auch

\displaystyle (x+1)^2 + (y-1)^2 = 3\,\textrm{.}

Dies ist die Gleichung eines Kreises mit dem Mittelpunkt (-1,1) und dem Radius \displaystyle \sqrt{3}\,.


Image:4_1_7a-2(2).gif
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