Lösung 3.2:3 - Online Mathematik Brückenkurs 1

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                      1. Numerische Berechnungen
                       
                        1.1 Verschiedene Zahlen 
                        1.2 Brüche 
                        1.3 Potenzen
                      
                    
                      2. Algebra
                       
                        2.1 Algebraische Ausdrücke 
                        2.2 Lineare Gleichungen 
                        2.3 Quadratische Gleichungen
                      
                    
                      3. Wurzeln und Logarithmen
                       
                        3.1 Wurzeln 
                        3.2 Wurzelgleichungen 
                        3.3 Logarithmen 
                        3.4 Logarithmusgleichungen
                      
                    
                      4. Trigonometrie
                       
                        4.1 Winkel und Kreise 
                        4.2 Trig. Funktionen 
                        4.3 Trig. Eigenschaften 
                        4.4 Trig. Gleichungen
                      
                    
                      5. Schriftliche Mathematik
                       
                        5.1 Formeln schreiben 
                        5.2 Texte schreiben
                      
                    
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			Lösung 3.2:3
			
			  Aus Online Mathematik Brückenkurs 1
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- First, we move the 2 to the right-hand side to get  <math>\sqrt{3x-8}=x-2</math> and then square away the root sign, + Wir subtrahieren zuerst 2 von beiden Seiten, und erhalten so die Gleichung <math>\sqrt{3x-8}=x-2</math>, die wir quadrieren
  
 {{Abgesetzte Formel||<math>3x-8 = (x-2)^{2}</math>|(*)}}  {{Abgesetzte Formel||<math>3x-8 = (x-2)^{2}</math>|(*)}}
    
- or, with the right-hand side expanded + und wir erweitern die rechte Seite
  
 {{Abgesetzte Formel||<math>3x-8=x^{2}-4x+4\,\textrm{.}</math>}}  {{Abgesetzte Formel||<math>3x-8=x^{2}-4x+4\,\textrm{.}</math>}}
  
- If we move over all the terms to the left-hand side, we get + Wenn wir alle Terme auf der linken Seite sammeln, erhalten wir
  
 {{Abgesetzte Formel||<math>x^{2}-7x+12=0\,\textrm{.}</math>}}  {{Abgesetzte Formel||<math>x^{2}-7x+12=0\,\textrm{.}</math>}}
  
- If we complete the square of the left-hand side, + Mit quadratischer Ergänzung bekommen wir
  
 {{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}  {{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
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 \end{align}</math>}}  \end{align}</math>}}
  
- the equation can be written as + Wir können die Gleichung umschreiben 
  
 {{Abgesetzte Formel||<math>\Bigl(x-\frac{7}{2}\Bigr)^{2} = \frac{1}{4}</math>}}  {{Abgesetzte Formel||<math>\Bigl(x-\frac{7}{2}\Bigr)^{2} = \frac{1}{4}</math>}}
  
- and the solutions are + und sehen dass die Lösungen
  
 :*<math>x = \frac{7}{2} + \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{7}{2} + \frac{1}{2} = \frac{8}{2} = 4\,,</math>  :*<math>x = \frac{7}{2} + \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{7}{2} + \frac{1}{2} = \frac{8}{2} = 4\,,</math>
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 :*<math>x = \frac{7}{2} - \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{7}{2} - \frac{1}{2} = \frac{6}{2} = 3\,\textrm{.}</math>  :*<math>x = \frac{7}{2} - \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{7}{2} - \frac{1}{2} = \frac{6}{2} = 3\,\textrm{.}</math>
  
- To be on the safe side, we verify that <math>x=3</math> and <math>x=4</math> satisfy the squared equation (*) + sind. Wir kontrollieren zur Sicherheit ob die Lösungen die quadratische Gleichung (*) erfüllen
  
 {|  {|
 ||<ul><li>''x''&nbsp;=&nbsp;3:</li></ul>  ||<ul><li>''x''&nbsp;=&nbsp;3:</li></ul>
- ||<math>\ \text{LHS} = 3\cdot 3-8 = 9-8 = 1</math> and + ||<math>\ \text{LHS} = 3\cdot 3-8 = 9-8 = 1</math> und
 |-  |-
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 ||<ul><li>''x''&nbsp;=&nbsp;4:</li></ul>  ||<ul><li>''x''&nbsp;=&nbsp;4:</li></ul>
- ||<math>\ \text{LHS} = 3\cdot 4-8 = 12-8 = 4</math> and + ||<math>\ \text{LHS} = 3\cdot 4-8 = 12-8 = 4</math> und
 |-  |-
 ||  ||
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 |}  |}
  
- Because we squared the root equation, possible spurious roots turn up and we therefore have to verify the solutions when we go back to the original root equation: + Nachdem wir unsere Gleichung quadriert haben, müssen wir unbedingt testen ob unsere Lösungen die ursprüngliche Gleichung erfüllen:
  
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 ||<math>\ \text{RHS} = 4</math>  ||<math>\ \text{RHS} = 4</math>
 |}  |}
-   + Die Lösungen sind also <math>x=3</math> und <math>x=4</math>.
- The solutions to the root equation are <math>x=3</math> and <math>x=4</math>. + 
Version vom 13:16, 26. Mär. 2009
Wir subtrahieren zuerst 2 von beiden Seiten, und erhalten so die Gleichung \displaystyle \sqrt{3x-8}=x-2, die wir quadrieren





\displaystyle 3x-8 = (x-2)^{2}
(*)

und wir erweitern die rechte Seite





\displaystyle 3x-8=x^{2}-4x+4\,\textrm{.}


Wenn wir alle Terme auf der linken Seite sammeln, erhalten wir





\displaystyle x^{2}-7x+12=0\,\textrm{.}


Mit quadratischer Ergänzung bekommen wir





\displaystyle \begin{align}
x^2-7x+12 &= \Bigl(x-\frac{7}{2}\Bigr)^2 - \Bigl(\frac{7}{2}\Bigr)^2 + 12\\[5pt] 
&= \Bigl(x-\frac{7}{2}\Bigr)^2 - \frac{49}{4} + \frac{48}{4}\\[5pt] 
&= \Bigl(x-\frac{7}{2}\Bigr)^2 - \frac{1}{4} 
\end{align}



Wir können die Gleichung umschreiben 





\displaystyle \Bigl(x-\frac{7}{2}\Bigr)^{2} = \frac{1}{4}


und sehen dass die Lösungen

\displaystyle x = \frac{7}{2} + \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{7}{2} + \frac{1}{2} = \frac{8}{2} = 4\,,


\displaystyle x = \frac{7}{2} - \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{7}{2} - \frac{1}{2} = \frac{6}{2} = 3\,\textrm{.}


sind. Wir kontrollieren zur Sicherheit ob die Lösungen die quadratische Gleichung (*) erfüllen



x = 3:
\displaystyle \ \text{LHS} = 3\cdot 3-8 = 9-8 = 1 und



\displaystyle \ \text{RHS} = (3-2)^2 = 1


x = 4:
\displaystyle \ \text{LHS} = 3\cdot 4-8 = 12-8 = 4 und



\displaystyle \ \text{RHS} = (4-2)^2 = 4

Nachdem wir unsere Gleichung quadriert haben, müssen wir unbedingt testen ob unsere Lösungen die ursprüngliche Gleichung erfüllen:



x = 3:
\displaystyle \ \text{LHS} = \sqrt{3\cdot 3-8} + 2 = \sqrt{9-8} + 2 = 1+2 = 3 and



\displaystyle \ \text{RHS} = 3


x = 4:
\displaystyle \ \text{LHS} = \sqrt{3\cdot 4-8}-2 = \sqrt{12-8}+2 = 2+2 = 4 and



\displaystyle \ \text{RHS} = 4

Die Lösungen sind also \displaystyle x=3 und \displaystyle x=4.

Von „http://wiki.sommarmatte.se/wikis/2009/bridgecourse1-TU-Berlin/index.php/L%C3%B6sung_3.2:3“
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                        1.1 Verschiedene Zahlen 
                        1.2 Brüche 
                        1.3 Potenzen
                      
                    
                      2. Algebra
                       
                        2.1 Algebraische Ausdrücke 
                        2.2 Lineare Gleichungen 
                        2.3 Quadratische Gleichungen
                      
                    
                      3. Wurzeln und Logarithmen
                       
                        3.1 Wurzeln 
                        3.2 Wurzelgleichungen 
                        3.3 Logarithmen 
                        3.4 Logarithmusgleichungen
                      
                    
                      4. Trigonometrie
                       
                        4.1 Winkel und Kreise 
                        4.2 Trig. Funktionen 
                        4.3 Trig. Eigenschaften 
                        4.4 Trig. Gleichungen
                      
                    
                      5. Schriftliche Mathematik
                       
                        5.1 Formeln schreiben 
                        5.2 Texte schreiben
                      
                    
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			Lösung 3.2:3
			
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- First, we move the 2 to the right-hand side to get  <math>\sqrt{3x-8}=x-2</math> and then square away the root sign, + Wir subtrahieren zuerst 2 von beiden Seiten, und erhalten so die Gleichung <math>\sqrt{3x-8}=x-2</math>, die wir quadrieren
  
 {{Abgesetzte Formel||<math>3x-8 = (x-2)^{2}</math>|(*)}}  {{Abgesetzte Formel||<math>3x-8 = (x-2)^{2}</math>|(*)}}
    
- or, with the right-hand side expanded + und wir erweitern die rechte Seite
  
 {{Abgesetzte Formel||<math>3x-8=x^{2}-4x+4\,\textrm{.}</math>}}  {{Abgesetzte Formel||<math>3x-8=x^{2}-4x+4\,\textrm{.}</math>}}
  
- If we move over all the terms to the left-hand side, we get + Wenn wir alle Terme auf der linken Seite sammeln, erhalten wir
  
 {{Abgesetzte Formel||<math>x^{2}-7x+12=0\,\textrm{.}</math>}}  {{Abgesetzte Formel||<math>x^{2}-7x+12=0\,\textrm{.}</math>}}
  
- If we complete the square of the left-hand side, + Mit quadratischer Ergänzung bekommen wir
  
 {{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}  {{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
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 \end{align}</math>}}  \end{align}</math>}}
  
- the equation can be written as + Wir können die Gleichung umschreiben 
  
 {{Abgesetzte Formel||<math>\Bigl(x-\frac{7}{2}\Bigr)^{2} = \frac{1}{4}</math>}}  {{Abgesetzte Formel||<math>\Bigl(x-\frac{7}{2}\Bigr)^{2} = \frac{1}{4}</math>}}
  
- and the solutions are + und sehen dass die Lösungen
  
 :*<math>x = \frac{7}{2} + \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{7}{2} + \frac{1}{2} = \frac{8}{2} = 4\,,</math>  :*<math>x = \frac{7}{2} + \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{7}{2} + \frac{1}{2} = \frac{8}{2} = 4\,,</math>
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 :*<math>x = \frac{7}{2} - \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{7}{2} - \frac{1}{2} = \frac{6}{2} = 3\,\textrm{.}</math>  :*<math>x = \frac{7}{2} - \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{7}{2} - \frac{1}{2} = \frac{6}{2} = 3\,\textrm{.}</math>
  
- To be on the safe side, we verify that <math>x=3</math> and <math>x=4</math> satisfy the squared equation (*) + sind. Wir kontrollieren zur Sicherheit ob die Lösungen die quadratische Gleichung (*) erfüllen
  
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- Because we squared the root equation, possible spurious roots turn up and we therefore have to verify the solutions when we go back to the original root equation: + Nachdem wir unsere Gleichung quadriert haben, müssen wir unbedingt testen ob unsere Lösungen die ursprüngliche Gleichung erfüllen:
  
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 ||<math>\ \text{RHS} = 4</math>  ||<math>\ \text{RHS} = 4</math>
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-   + Die Lösungen sind also <math>x=3</math> und <math>x=4</math>.
- The solutions to the root equation are <math>x=3</math> and <math>x=4</math>. + 
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Wir subtrahieren zuerst 2 von beiden Seiten, und erhalten so die Gleichung \displaystyle \sqrt{3x-8}=x-2, die wir quadrieren





\displaystyle 3x-8 = (x-2)^{2}
(*)

und wir erweitern die rechte Seite





\displaystyle 3x-8=x^{2}-4x+4\,\textrm{.}


Wenn wir alle Terme auf der linken Seite sammeln, erhalten wir





\displaystyle x^{2}-7x+12=0\,\textrm{.}


Mit quadratischer Ergänzung bekommen wir





\displaystyle \begin{align}
x^2-7x+12 &= \Bigl(x-\frac{7}{2}\Bigr)^2 - \Bigl(\frac{7}{2}\Bigr)^2 + 12\\[5pt] 
&= \Bigl(x-\frac{7}{2}\Bigr)^2 - \frac{49}{4} + \frac{48}{4}\\[5pt] 
&= \Bigl(x-\frac{7}{2}\Bigr)^2 - \frac{1}{4} 
\end{align}



Wir können die Gleichung umschreiben 





\displaystyle \Bigl(x-\frac{7}{2}\Bigr)^{2} = \frac{1}{4}


und sehen dass die Lösungen

\displaystyle x = \frac{7}{2} + \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{7}{2} + \frac{1}{2} = \frac{8}{2} = 4\,,


\displaystyle x = \frac{7}{2} - \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{7}{2} - \frac{1}{2} = \frac{6}{2} = 3\,\textrm{.}


sind. Wir kontrollieren zur Sicherheit ob die Lösungen die quadratische Gleichung (*) erfüllen



x = 3:
\displaystyle \ \text{LHS} = 3\cdot 3-8 = 9-8 = 1 und



\displaystyle \ \text{RHS} = (3-2)^2 = 1


x = 4:
\displaystyle \ \text{LHS} = 3\cdot 4-8 = 12-8 = 4 und



\displaystyle \ \text{RHS} = (4-2)^2 = 4

Nachdem wir unsere Gleichung quadriert haben, müssen wir unbedingt testen ob unsere Lösungen die ursprüngliche Gleichung erfüllen:



x = 3:
\displaystyle \ \text{LHS} = \sqrt{3\cdot 3-8} + 2 = \sqrt{9-8} + 2 = 1+2 = 3 and



\displaystyle \ \text{RHS} = 3


x = 4:
\displaystyle \ \text{LHS} = \sqrt{3\cdot 4-8}-2 = \sqrt{12-8}+2 = 2+2 = 4 and



\displaystyle \ \text{RHS} = 4

Die Lösungen sind also \displaystyle x=3 und \displaystyle x=4.

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                        1.2 Brüche 
                        1.3 Potenzen
                      
                    
                      2. Algebra
                       
                        2.1 Algebraische Ausdrücke 
                        2.2 Lineare Gleichungen 
                        2.3 Quadratische Gleichungen
                      
                    
                      3. Wurzeln und Logarithmen
                       
                        3.1 Wurzeln 
                        3.2 Wurzelgleichungen 
                        3.3 Logarithmen 
                        3.4 Logarithmusgleichungen
                      
                    
                      4. Trigonometrie
                       
                        4.1 Winkel und Kreise 
                        4.2 Trig. Funktionen 
                        4.3 Trig. Eigenschaften 
                        4.4 Trig. Gleichungen
                      
                    
                      5. Schriftliche Mathematik
                       
                        5.1 Formeln schreiben 
                        5.2 Texte schreiben
                      
                    
                      Kurs als PDF
                                            
                    
                    
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+			Lösung 3.2:3
			
			  Aus Online Mathematik Brückenkurs 1
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- First, we move the 2 to the right-hand side to get  <math>\sqrt{3x-8}=x-2</math> and then square away the root sign, + Wir subtrahieren zuerst 2 von beiden Seiten, und erhalten so die Gleichung <math>\sqrt{3x-8}=x-2</math>, die wir quadrieren
  
 {{Abgesetzte Formel||<math>3x-8 = (x-2)^{2}</math>|(*)}}  {{Abgesetzte Formel||<math>3x-8 = (x-2)^{2}</math>|(*)}}
    
- or, with the right-hand side expanded + und wir erweitern die rechte Seite
  
 {{Abgesetzte Formel||<math>3x-8=x^{2}-4x+4\,\textrm{.}</math>}}  {{Abgesetzte Formel||<math>3x-8=x^{2}-4x+4\,\textrm{.}</math>}}
  
- If we move over all the terms to the left-hand side, we get + Wenn wir alle Terme auf der linken Seite sammeln, erhalten wir
  
 {{Abgesetzte Formel||<math>x^{2}-7x+12=0\,\textrm{.}</math>}}  {{Abgesetzte Formel||<math>x^{2}-7x+12=0\,\textrm{.}</math>}}
  
- If we complete the square of the left-hand side, + Mit quadratischer Ergänzung bekommen wir
  
 {{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}  {{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
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 \end{align}</math>}}  \end{align}</math>}}
  
- the equation can be written as + Wir können die Gleichung umschreiben 
  
 {{Abgesetzte Formel||<math>\Bigl(x-\frac{7}{2}\Bigr)^{2} = \frac{1}{4}</math>}}  {{Abgesetzte Formel||<math>\Bigl(x-\frac{7}{2}\Bigr)^{2} = \frac{1}{4}</math>}}
  
- and the solutions are + und sehen dass die Lösungen
  
 :*<math>x = \frac{7}{2} + \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{7}{2} + \frac{1}{2} = \frac{8}{2} = 4\,,</math>  :*<math>x = \frac{7}{2} + \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{7}{2} + \frac{1}{2} = \frac{8}{2} = 4\,,</math>
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 :*<math>x = \frac{7}{2} - \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{7}{2} - \frac{1}{2} = \frac{6}{2} = 3\,\textrm{.}</math>  :*<math>x = \frac{7}{2} - \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{7}{2} - \frac{1}{2} = \frac{6}{2} = 3\,\textrm{.}</math>
  
- To be on the safe side, we verify that <math>x=3</math> and <math>x=4</math> satisfy the squared equation (*) + sind. Wir kontrollieren zur Sicherheit ob die Lösungen die quadratische Gleichung (*) erfüllen
  
 {|  {|
 ||<ul><li>''x''&nbsp;=&nbsp;3:</li></ul>  ||<ul><li>''x''&nbsp;=&nbsp;3:</li></ul>
- ||<math>\ \text{LHS} = 3\cdot 3-8 = 9-8 = 1</math> and + ||<math>\ \text{LHS} = 3\cdot 3-8 = 9-8 = 1</math> und
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- ||<math>\ \text{LHS} = 3\cdot 4-8 = 12-8 = 4</math> and + ||<math>\ \text{LHS} = 3\cdot 4-8 = 12-8 = 4</math> und
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- Because we squared the root equation, possible spurious roots turn up and we therefore have to verify the solutions when we go back to the original root equation: + Nachdem wir unsere Gleichung quadriert haben, müssen wir unbedingt testen ob unsere Lösungen die ursprüngliche Gleichung erfüllen:
  
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 ||<math>\ \text{RHS} = 4</math>  ||<math>\ \text{RHS} = 4</math>
 |}  |}
-   + Die Lösungen sind also <math>x=3</math> und <math>x=4</math>.
- The solutions to the root equation are <math>x=3</math> and <math>x=4</math>. + 
Version vom 13:16, 26. Mär. 2009
Wir subtrahieren zuerst 2 von beiden Seiten, und erhalten so die Gleichung \displaystyle \sqrt{3x-8}=x-2, die wir quadrieren





\displaystyle 3x-8 = (x-2)^{2}
(*)

und wir erweitern die rechte Seite





\displaystyle 3x-8=x^{2}-4x+4\,\textrm{.}


Wenn wir alle Terme auf der linken Seite sammeln, erhalten wir





\displaystyle x^{2}-7x+12=0\,\textrm{.}


Mit quadratischer Ergänzung bekommen wir





\displaystyle \begin{align}
x^2-7x+12 &= \Bigl(x-\frac{7}{2}\Bigr)^2 - \Bigl(\frac{7}{2}\Bigr)^2 + 12\\[5pt] 
&= \Bigl(x-\frac{7}{2}\Bigr)^2 - \frac{49}{4} + \frac{48}{4}\\[5pt] 
&= \Bigl(x-\frac{7}{2}\Bigr)^2 - \frac{1}{4} 
\end{align}



Wir können die Gleichung umschreiben 





\displaystyle \Bigl(x-\frac{7}{2}\Bigr)^{2} = \frac{1}{4}


und sehen dass die Lösungen

\displaystyle x = \frac{7}{2} + \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{7}{2} + \frac{1}{2} = \frac{8}{2} = 4\,,


\displaystyle x = \frac{7}{2} - \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{7}{2} - \frac{1}{2} = \frac{6}{2} = 3\,\textrm{.}


sind. Wir kontrollieren zur Sicherheit ob die Lösungen die quadratische Gleichung (*) erfüllen



x = 3:
\displaystyle \ \text{LHS} = 3\cdot 3-8 = 9-8 = 1 und



\displaystyle \ \text{RHS} = (3-2)^2 = 1


x = 4:
\displaystyle \ \text{LHS} = 3\cdot 4-8 = 12-8 = 4 und



\displaystyle \ \text{RHS} = (4-2)^2 = 4

Nachdem wir unsere Gleichung quadriert haben, müssen wir unbedingt testen ob unsere Lösungen die ursprüngliche Gleichung erfüllen:



x = 3:
\displaystyle \ \text{LHS} = \sqrt{3\cdot 3-8} + 2 = \sqrt{9-8} + 2 = 1+2 = 3 and



\displaystyle \ \text{RHS} = 3


x = 4:
\displaystyle \ \text{LHS} = \sqrt{3\cdot 4-8}-2 = \sqrt{12-8}+2 = 2+2 = 4 and



\displaystyle \ \text{RHS} = 4

Die Lösungen sind also \displaystyle x=3 und \displaystyle x=4.

Von „http://wiki.sommarmatte.se/wikis/2009/bridgecourse1-TU-Berlin/index.php/L%C3%B6sung_3.2:3“
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-First, we move the 2 to the right-hand side to get  <math>\sqrt{3x-8}=x-2</math> and then square away the root sign,
+Wir subtrahieren zuerst 2 von beiden Seiten, und erhalten so die Gleichung <math>\sqrt{3x-8}=x-2</math>, die wir quadrieren
 {{Abgesetzte Formel||<math>3x-8 = (x-2)^{2}</math>|(*)}}
-or, with the right-hand side expanded
+und wir erweitern die rechte Seite
 {{Abgesetzte Formel||<math>3x-8=x^{2}-4x+4\,\textrm{.}</math>}}
-If we move over all the terms to the left-hand side, we get
+Wenn wir alle Terme auf der linken Seite sammeln, erhalten wir
 {{Abgesetzte Formel||<math>x^{2}-7x+12=0\,\textrm{.}</math>}}
-If we complete the square of the left-hand side,
+Mit quadratischer Ergänzung bekommen wir
 {{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
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 \end{align}</math>}}
-the equation can be written as
+Wir können die Gleichung umschreiben
 {{Abgesetzte Formel||<math>\Bigl(x-\frac{7}{2}\Bigr)^{2} = \frac{1}{4}</math>}}
-and the solutions are
+und sehen dass die Lösungen
 :*<math>x = \frac{7}{2} + \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{7}{2} + \frac{1}{2} = \frac{8}{2} = 4\,,</math>
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 :*<math>x = \frac{7}{2} - \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{7}{2} - \frac{1}{2} = \frac{6}{2} = 3\,\textrm{.}</math>
-To be on the safe side, we verify that <math>x=3</math> and <math>x=4</math> satisfy the squared equation (*)
+sind. Wir kontrollieren zur Sicherheit ob die Lösungen die quadratische Gleichung (*) erfüllen
 {|
 ||<ul><li>''x''&nbsp;=&nbsp;3:</li></ul>
-||<math>\ \text{LHS} = 3\cdot 3-8 = 9-8 = 1</math> and
+||<math>\ \text{LHS} = 3\cdot 3-8 = 9-8 = 1</math> und
 |-
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 ||<ul><li>''x''&nbsp;=&nbsp;4:</li></ul>
-||<math>\ \text{LHS} = 3\cdot 4-8 = 12-8 = 4</math> and
+||<math>\ \text{LHS} = 3\cdot 4-8 = 12-8 = 4</math> und
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 |}
-Because we squared the root equation, possible spurious roots turn up and we therefore have to verify the solutions when we go back to the original root equation:
+Nachdem wir unsere Gleichung quadriert haben, müssen wir unbedingt testen ob unsere Lösungen die ursprüngliche Gleichung erfüllen:
 {|
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 ||<math>\ \text{RHS} = 4</math>
 |}
+Die Lösungen sind also <math>x=3</math> und <math>x=4</math>.
-The solutions to the root equation are <math>x=3</math> and <math>x=4</math>.
-\displaystyle 3x-8 = (x-2)^{2}
+(*)
 \displaystyle 3x-8=x^{2}-4x+4\,\textrm{.}
 \displaystyle x^{2}-7x+12=0\,\textrm{.}
 \displaystyle \begin{align}
x^2-7x+12 &= \Bigl(x-\frac{7}{2}\Bigr)^2 - \Bigl(\frac{7}{2}\Bigr)^2 + 12\\[5pt] 
&= \Bigl(x-\frac{7}{2}\Bigr)^2 - \frac{49}{4} + \frac{48}{4}\\[5pt] 
&= \Bigl(x-\frac{7}{2}\Bigr)^2 - \frac{1}{4} 
\end{align}
 \displaystyle \Bigl(x-\frac{7}{2}\Bigr)^{2} = \frac{1}{4}
-x = 3:
+\displaystyle \ \text{LHS} = 3\cdot 3-8 = 9-8 = 1 und
 \displaystyle \ \text{RHS} = (3-2)^2 = 1
-x = 4:
+\displaystyle \ \text{LHS} = 3\cdot 4-8 = 12-8 = 4 und
 \displaystyle \ \text{RHS} = (4-2)^2 = 4
-x = 3:
+\displaystyle \ \text{LHS} = \sqrt{3\cdot 3-8} + 2 = \sqrt{9-8} + 2 = 1+2 = 3 and
 \displaystyle \ \text{RHS} = 3
-x = 4:
+\displaystyle \ \text{LHS} = \sqrt{3\cdot 4-8}-2 = \sqrt{12-8}+2 = 2+2 = 4 and
 \displaystyle \ \text{RHS} = 4