Lösung 1.1:5c
Aus Online Mathematik Brückenkurs 1
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| - | <math>{21}/{34}\;</math> als Dezimalzahlen zu schreiben, schreiben wir sie stattdessen als Quoten mit gemeinsamen Nenner und vergleichen | + | <math>{21}/{34}\;</math> als Dezimalzahlen zu schreiben, schreiben wir sie stattdessen als Quoten mit gemeinsamen Nenner und vergleichen |
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| - | und | + | |
| - | <math>{2}/{3}\;</math>, dies ergibt | + | |
| - | * <math>\frac{1}{2}=\frac{1\centerdot 17}{2\centerdot 17}=\frac{17}{34}</math>, | + | * <math>\frac{1}{2}=\frac{1\centerdot 17}{2\centerdot 17}=\frac{17}{34}</math>, also <math>\frac{1}{2}<\frac{21}{34}</math> |
| - | <math>\frac{1}{2}<\frac{21}{34}</math> | + | |
| - | * <math>\frac{3}{5}=\frac{3\centerdot 34}{5\centerdot 34}=\frac{102}{170}</math> | + | * <math>\frac{3}{5}=\frac{3\centerdot 34}{5\centerdot 34}=\frac{102}{170}</math> und <math>\frac{21}{34}=\frac{21\centerdot 5}{34\centerdot 5}=\frac{105}{170}</math>, also <math>\frac{3}{5}<\frac{21}{34}</math>. |
| - | + | ||
| - | <math>\frac{21}{34}=\frac{21\centerdot 5}{34\centerdot 5}=\frac{105}{170}</math>, | + | |
| - | <math>\frac{3}{5}<\frac{21}{34}</math>. | + | |
| - | * <math>\frac{5}{8}=\frac{5\centerdot 17}{8\centerdot 17}=\frac{85}{136}</math> | + | * <math>\frac{5}{8}=\frac{5\centerdot 17}{8\centerdot 17}=\frac{85}{136}</math> und <math>\frac{21}{34}=\frac{21\centerdot 4}{34\centerdot 4}=\frac{84}{136}</math>, also |
| - | + | ||
| - | <math>\frac{21}{34}=\frac{21\centerdot 4}{34\centerdot 4}=\frac{84}{136}</math>, | + | |
<math>\frac{21}{34}<\frac{5}{8}</math>. | <math>\frac{21}{34}<\frac{5}{8}</math>. | ||
| - | Zusammen bekommen wir | + | Zusammen bekommen wir schließlich |
<math>{1}/{2}\;<{3}/{5}\;<{21}/{34}\;<{5}/{8}\;<{2}/{3}\;</math>. | <math>{1}/{2}\;<{3}/{5}\;<{21}/{34}\;<{5}/{8}\;<{2}/{3}\;</math>. | ||
Version vom 13:16, 18. Okt. 2008
Von den vorigen Übungen haben wir folgendes
\displaystyle \begin{align} & \frac{1}{2}=0.5 \\ & \\ & \frac{2}{3}=2\centerdot \frac{1}{3}=0.666... \\ & \\ & \frac{3}{5}=3\centerdot \frac{1}{5}=3\centerdot 0.2=0.6 \\ \end{align}
\displaystyle
Also gilt
\displaystyle {1}/{2<{3}/{5<{2}/{3}\;}\;}\; .
Nachdem es relativ unständig ist \displaystyle {5}/{8}\; and \displaystyle {21}/{34}\; als Dezimalzahlen zu schreiben, schreiben wir sie stattdessen als Quoten mit gemeinsamen Nenner und vergleichen \displaystyle {5}/{8}\; und \displaystyle {21}/{34}\; mit \displaystyle {1}/{2,\ \ {3}/{5}\;}\; und \displaystyle {2}/{3}\; Wir beginnen damit \displaystyle {5}/{8}\; mit \displaystyle {1}/{2,\ \ {3}/{5}\;}\; und \displaystyle {2}/{3}\; zu vergleichen.
- Dies ergibt
\displaystyle \frac{1}{2}=\frac{1\centerdot 4}{2\centerdot 4}=\frac{4}{8} and thus \displaystyle \frac{1}{2}<\frac{5}{8} .
- und
\displaystyle \frac{3}{5}=\frac{3\centerdot 8}{5\centerdot 8}=\frac{24}{40} and \displaystyle \frac{5}{8}=\frac{5\centerdot 5}{8\centerdot 5}=\frac{25}{40} , which gives that \displaystyle \frac{3}{5}<\frac{5}{8}.
- und schließlich
\displaystyle \frac{2}{3}=\frac{2\centerdot 8}{3\centerdot 8}=\frac{16}{24} and \displaystyle \frac{5}{8}=\frac{5\centerdot 3}{8\centerdot 3}=\frac{15}{24}, and this gives that \displaystyle \frac{5}{8}<\frac{2}{3}.
Also haben wir \displaystyle {1}/{2}\;<{3}/{5}\;<{5}/{8}\;<{2}/{3}\;.
Jetzt vergleichen wir \displaystyle {21}/{34}\; mit \displaystyle {1}/{2,\ \ {3}/{5}\;}\; und \displaystyle {2}/{3}\;, dies ergibt
- \displaystyle \frac{1}{2}=\frac{1\centerdot 17}{2\centerdot 17}=\frac{17}{34}, also \displaystyle \frac{1}{2}<\frac{21}{34}
- \displaystyle \frac{3}{5}=\frac{3\centerdot 34}{5\centerdot 34}=\frac{102}{170} und \displaystyle \frac{21}{34}=\frac{21\centerdot 5}{34\centerdot 5}=\frac{105}{170}, also \displaystyle \frac{3}{5}<\frac{21}{34}.
- \displaystyle \frac{5}{8}=\frac{5\centerdot 17}{8\centerdot 17}=\frac{85}{136} und \displaystyle \frac{21}{34}=\frac{21\centerdot 4}{34\centerdot 4}=\frac{84}{136}, also
\displaystyle \frac{21}{34}<\frac{5}{8}.
Zusammen bekommen wir schließlich \displaystyle {1}/{2}\;<{3}/{5}\;<{21}/{34}\;<{5}/{8}\;<{2}/{3}\;.
