Aus Online Mathematik Brückenkurs 1

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-	A rational number can be written in decimal form by performing the division. Thus the <math>\textstyle\frac{3}{4} </math> is the same as "3 divided by 4", i.e. 0.75.	+	Eine rationale Zahl kann immer als eine Dezimalzahl dargestellt werden, indem man die Division ausführt. Also ist <math>\textstyle\frac{3}{4} </math> gleich "3 durch 4", oder 0,75.
	Read about [http://en.wikipedia.org/wiki/Long_division long division] on wikipedia.		Read about [http://en.wikipedia.org/wiki/Long_division long division] on wikipedia.
	<div class="exempel">		<div class="exempel">
-	'''Exempel 5'''	+	'''Beispiel 5'''
	<ol type="a">		<ol type="a">
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	<li><math>\frac{1}{7} =0{.}142857142857\,\ldots = 0{,}\underline{142857}</math></li>		<li><math>\frac{1}{7} =0{.}142857142857\,\ldots = 0{,}\underline{142857}</math></li>
	</ol>		</ol>
-	(underlining signifies that the decimals are repeated)	+	(Die unterstrichenen Zahlen wiederholen sich)
	</div>		</div>
-	As can be seen the rational numbers above have a periodic decimal expansion, ie. the decimal expansion, ends up with a finite block of digits that is repeated endlessly. This applies to all rational numbers and distinguishes them from the irrational numbers, which do not have a periodic pattern in their decimal expansion.	+	Jede rationale Zahl besitzt eine periodische Dezimalbruchentwicklung, also eine Dezimalentwicklung die sich endlos lang wiederholt. Dies gilt nur für die rationalen Zahlen. Die irrationalen Zahlen haben im Gegensinn zu den rationalen Zahlen eine nicht-periodische Dezimalbruchentwicklung.
		+
		+	Das umgekehrte Verhältnis gilt auch; wenn eine Dezimalzahl eine periodische Dezimalbruchentwicklung hat, ist sie rational.
-	Conversely it is also true that all numbers with a periodic decimal expansion are rational.
	<div class="exempel">		<div class="exempel">
	'''Beispiel 6'''		'''Beispiel 6'''
-	The numbers <math>\pi</math> and<math>\sqrt{2}</math> are irrational and therefore have no periodic patterns in their decimal expansion.	+	Die Zahlen <math>\pi</math> und <math>\sqrt{2}</math> sind irrational, und haben daher eine nicht-periodische Dezimalbruchentwicklung.
	<ol type="a">		<ol type="a">
	<li><math>\pi=3{,}141 \,592 \, 653 \, 589 \,793 \, 238 \, 462 \,643\,\ldots</math></li>		<li><math>\pi=3{,}141 \,592 \, 653 \, 589 \,793 \, 238 \, 462 \,643\,\ldots</math></li>
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	'''Beispiel 8'''		'''Beispiel 8'''
-	The number <math>x=0{,}215151515\,\ldots</math> is rational, because it has a periodic decimal expansion. We can write this rational number as a ratio of two integers as follows.	+	Die Zahl <math>x=0{,}215151515\,\ldots</math> ist rational, nachdem sie eine periodische Dezimalbruchentwicklung hat. Um die Zahl als eine Quote zu schreiben, machen wir folgendes:
-	Multiply the number by 10 which moves the decimal point one step to the right.	+	Wenn wir die Zahl mit <math>10</math> multiplizieren, verschiebt sich das Komma eine Stelle nach rechts
	{{Displayed math||<math>\quad 10\,x = 2{,}151515\,\ldots</math>}}		{{Displayed math||<math>\quad 10\,x = 2{,}151515\,\ldots</math>}}
-	Multiply the number by <math>10\cdot 10\cdot 10 = 1000</math> moving the decimal point three steps to the right	+	Genauso verschiebt sich das Komma <math>3</math> Schritte nach rechts wenn wir die Zahl mit <math>10\cdot 10\cdot 10 = 1000</math> multiplizieren.
	{{Displayed math||<math>\quad 1000\,x = 215{,}1515\,\ldots</math>}}		{{Displayed math||<math>\quad 1000\,x = 215{,}1515\,\ldots</math>}}
-		+	Die Zahlen <math>1000\,x</math> und <math>10\,x</math> haben dieselbe Dezimalbruchentwicklung, und die Differenz zwischen den beiden Zahlen ist
-	Now we see that <math>1000\,x</math> and <math>10\,x</math> have the same decimal expansion so the difference between the numbers	+
	{{Displayed math||<math>\quad 1000x - 10x = 215{,}1515\,\ldots - 2{,}151515\,\ldots </math>}}		{{Displayed math||<math>\quad 1000x - 10x = 215{,}1515\,\ldots - 2{,}151515\,\ldots </math>}}
-	must be an integer,	+	muss eine ganze Zahl sein
	{{Displayed math||<math>\quad 990x = 213\mathrm{.}</math>}}		{{Displayed math||<math>\quad 990x = 213\mathrm{.}</math>}}
-	So that	+
		+	also ist
	{{Displayed math||<math>\quad x =\frac{213}{990} = \frac{71}{330}\,\mbox{.}</math>}}		{{Displayed math||<math>\quad x =\frac{213}{990} = \frac{71}{330}\,\mbox{.}</math>}}

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Version vom 08:19, 18. Okt. 2008

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Berechnungen mit Zahlen

Berechnungen mit Zahlen bestehen aus mehreren Schritten. Diese Schritte bestehen aus den vier Grundrechnungsarten der Arithmetik. Volgende Begriffe sind wichtig in der Mathematik:

1.1 - Figure - Fundamental operations of arithmetic

Bei der Addition ist die Reihenfolge der Zahlen egal Vorlage:Displayed math

Bei der Subtraktion im gegensinn, ist die Reihenfolge bedeutend.

Vorlage:Displayed math

Mit der Differenz zwischen zwei Zahlen, meint man meistens die größte Zahl subtrahiert mit der kleineren Zahl. Die Differenz zwischen 2 und 5 ist also 3.

Bei der Multiplikation ist die Reihenfolge der Zahlen auch egal Vorlage:Displayed math

Bei der Division im gegensinn, ist die Reihenfolge bedeutend.

Vorlage:Displayed math

Operatorrangfolge

In den Fällen wo ein mathematischer Ausdruck mehrere Rechnungsarten enthält, ist es wichtig die Operatorrangfolge zu kennen. Ein Ausdruck soll in folgender Reihenfolge berechnet werden:

• Klammern (die innersten klammern zuerst)
• Multiplikation und Division (von links nach rechts)
• Addition und Subtraktion (von links nach rechts)

"Unsichtbare" Klammern

Bei der Division soll der Zähler und der Nenner zuerst berechnet werden, bevor man dividiert. Man kann also sagen dass um den Zähler und Nenner "unsichtbare klammern" gibt.

Dies muss man besonders beachten wenn man einen Taschenrechner benutzt.

Vorlage:Displayed math muss als \displaystyle (8 + 4 )/(2 + 4) geschrieben werden, sodass der Taschenrechner die Richtige Antwort \displaystyle 2 ergibt. Ein häufiger Fehler ist das man stattdessen \displaystyle 8 + 4/2 + 4 schreibt. Dies interpretiert der Rechner als \displaystyle 8 + 2 + 4 = 14.

Verschiedene Zahlen

Die Zahlen die wir normalerweise verwenden um beispielsweise Längen und Mengen zu messen, nennt man die reellen Zahlen. Die reellen Zahlen kann man mit einer Zahlengeraden darstellen:

1.1 - Figure - Number line

Die reellen Zahlen "füllen" die ganze Zahlengerade, ohne Zwischenräume. Jeder Punkt in der Zahlengerade kann durch eine Dezimalzahl dargestellt werden. Die Menge der reellen Zahlen, oder alle Dezimalzahlen, benennt man R. Die Zahlengerade zeigt auch die Größe der Zahlen an, indem eine Zahl rechts von einer anderen Zahl größer ist. Die reellen Zahlen werden in folgenden Zahlenmengen unterschieden:

Natürliche Zahlen (normalerweise mit N bezeichnet)

Die natürlichen Zahlen verwendet man beim zählen: 0, 1, 2, 3, 4, ...

Ganze Zahlen (Z)

Die ganzen Zahlen bestehen aus den natürlichen Zahlen, sowie deren negativen Gegenzahlen: ..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...

Rationale Zahlen (Q)

Die rationalen Zahlen sind alle Zahlen die eine Quote zwischen ganzen sind, zum beispiel, Vorlage:Displayed math

Auch die ganzen Zahlen sind rationale Zahlen: Vorlage:Displayed math

Eine rationale Zahl kann in mehreren Varianten dargestellt werden, zum Beispiel: Vorlage:Displayed math

Irrationale Zahlen

Die Zahlen auf der Zahlgeraden die nicht als rationale Zahlen dargestellt werden können, nennt man irrationale Zahlen. Zum Beispiel sind die meisten Wurzeln irrationale Zahlen

\displaystyle \sqrt{2} and \displaystyle \sqrt{3}, aber auch andere Zahlen, sowie \displaystyle \pi

Dezimaldarstellung

Alle reellen Zahlen können als Dezimalzahlen dargestellt werden, mit beliebiger Anzahl von Dezimalen. Ziffern vor dem Komma werden mit \displaystyle 1, 10, 100, ... multipliziert, während die Ziffern nach dem Komma mit \displaystyle 1/10, 1/100, 1/1000, ... multipliziert werden

1.1 - Figure - Decimal form

Eine rationale Zahl kann immer als eine Dezimalzahl dargestellt werden, indem man die Division ausführt. Also ist \displaystyle \textstyle\frac{3}{4} gleich "3 durch 4", oder 0,75.

Read about long division on wikipedia.

Jede rationale Zahl besitzt eine periodische Dezimalbruchentwicklung, also eine Dezimalentwicklung die sich endlos lang wiederholt. Dies gilt nur für die rationalen Zahlen. Die irrationalen Zahlen haben im Gegensinn zu den rationalen Zahlen eine nicht-periodische Dezimalbruchentwicklung.

Das umgekehrte Verhältnis gilt auch; wenn eine Dezimalzahl eine periodische Dezimalbruchentwicklung hat, ist sie rational.

Rounding off

Since it is impractical to use long decimal expansions one often rounds off a number to an appropriate number of decimal places. The standard practise is that the numbers 0, 1, 2, 3 and 4 are rounded down while 5, 6, 7, 8 and 9 are rounded up.

We use the symbol \displaystyle \approx (is approximately equal to) to show that a rounding off has taken place.

Comparing numbers

To indicate the relative size between numbers one uses the symbols > (is greater than), < (is less than) and = (is equal to). The relative size between two numbers can be determined either by giving the numbers in decimal form or by representing rational numbers as fractions with a common denominator.

Exercises