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Aus Online Mathematik Brückenkurs 1

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== A - Permutationen ==
== A - Permutationen ==
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Permutationen sind die Möglichkeiten die eine Anordnung von Gegenständen zu Vertauschen,
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Permutationen sind die Anzahl der Möglichkeiten, die Anordnung von Gegenständen zu Vertauschen, also die Anzahl der Weisen Objekte anzuordnen.
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also die Anzahl der Weisen Objekte anzuordnen.
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''' Beispiel 1'''
''' Beispiel 1'''
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Wie viele Möglichkeiten gibt es die drei Objekte <math> \star \diamond \bigcirc </math> <br> in verschiedenen Reihenfolgen an zu ordnen?
<math> \star \diamond \bigcirc </math> <br>
<math> \star \diamond \bigcirc </math> <br>
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Es gibt <math> 3 \cdot 2 \cdot 1 = 3! = 6 </math> (3! = „3 Fakultät“) Möglichkeiten die Objekte
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Es gibt <math> 3 \cdot 2 \cdot 1 = 3! = 6 </math> (3! = „3 Fakultät“) Möglichkeiten die Objekte anzuordnen. Hierbei gilt, dass für den ersten Gegenstand drei verschiedene Positionen vorhanden sind, f&ume;r den zweiten nur noch zwei Postionen, da schon eine besetzt ist und dementsprechend nur noch eine Position f&ume;r den dritten Gegenstand.
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anzuordnen. Hierbei gilt, dass für den ersten Gegenstand drei verschiedene Möglichkeiten
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vorhanden sind, an der zweiten Stelle nur noch zwei und an der dritten dann nur noch eine.
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Allgemein:
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'''Allgemein:'''<br>
Für eine Gruppe von n Elementen gibt es
Für eine Gruppe von n Elementen gibt es
<math> n! := n (n-1) (n-2) … \cdot 3 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 </math>
<math> n! := n (n-1) (n-2) … \cdot 3 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 </math>
Möglichkeiten („n Fakultät“) die Objekte hintereinander anzuordnen (n! Permutationen).
Möglichkeiten („n Fakultät“) die Objekte hintereinander anzuordnen (n! Permutationen).
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Zusätzliche Definition : <math> 0! := 1 </math>.
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Mit der zusätzlichen Definition <math> 0! := 1 </math>.
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''' Beispiel 3'''
''' Beispiel 3'''
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Wie viele Worte mit 4 Buchstaben kann ich mit den Buchstaben A, R, T, E, N und S bilden? (mit Doppelbenutzung)
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Wie viele Worte mit 4 Buchstaben kann man mit den Buchstaben A, R, T, E, N und S bilden? (mit Doppelbenutzung)
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1. Buchstabe 2. Buchstabe 3. Buchstabe 4. Buchstabe
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1. Buchstabe: 6 Möglichkeiten
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6 Möglichkeiten 6 Möglichkeiten 6 Möglichkeiten 6 Möglichkeiten
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2. Buchstabe: 6 Möglichkeiten
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3. Buchstabe: 6 Möglichkeiten
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4. Buchstabe: 6 Möglichkeiten
Also gibt es <math> 6 \cdot 6 \cdot 6 \cdot 6 = 6^4 </math> Möglichkeiten.
Also gibt es <math> 6 \cdot 6 \cdot 6 \cdot 6 = 6^4 </math> Möglichkeiten.
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Allgemein:
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'''Allgemein:'''<br>
Es gibt <math> n^k </math> Möglichkeiten der Anordnung, die beim k- maligen Auswählen aus n Objekten mit Wiederholung und mit Berücksichtigung der Reihenfolge entstehen können.
Es gibt <math> n^k </math> Möglichkeiten der Anordnung, die beim k- maligen Auswählen aus n Objekten mit Wiederholung und mit Berücksichtigung der Reihenfolge entstehen können.
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''' Beispiel 4'''
''' Beispiel 4'''
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Wie vorher nur ohne Doppelbenutzung.
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Wie zuvor bei Beispiel 3 nur ohne Doppelbenutzung der Buchstaben.
1.Ziehen : 6 Möglichkeiten
1.Ziehen : 6 Möglichkeiten
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Allgemein:
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'''Allgemein:'''<br>
Es gibt <math> n \cdot (n-1) \cdot (n-2) \cdot ... \cdot (n-k+1) = \dfrac{n!}{(n-k)!} </math> Möglichkeiten aus n Objekten k Stück unter Berücksichtigung der Reihenfolge und ohne Zurücklegen auszusuchen.
Es gibt <math> n \cdot (n-1) \cdot (n-2) \cdot ... \cdot (n-k+1) = \dfrac{n!}{(n-k)!} </math> Möglichkeiten aus n Objekten k Stück unter Berücksichtigung der Reihenfolge und ohne Zurücklegen auszusuchen.
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<div class="exempel">
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<math> \binom{n}{k} = \dfrac{n!}{(n-k)!k!}</math>
<math> \binom{n}{k} = \dfrac{n!}{(n-k)!k!}</math>
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[[Binomialkoeffizient]]
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Hierf&uume;r ben&oome;tigt man den [[Binomialkoeffizient]] der hier noch einmal ausf&uume;rlicher erkl&aame;rt wird.
mit <math> n /in N , k /in N , n /ge k </math>
mit <math> n /in N , k /in N , n /ge k </math>
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| Reihenfolge wichtig
| Reihenfolge wichtig
| <math> n^k</math>
| <math> n^k</math>
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(Beispiel 1)
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| <math> \dfrac{n!}{(n-k)!}</math>
| <math> \dfrac{n!}{(n-k)!}</math>
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(Beispiel 2)
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(Beispiel 4)
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| Reihenfolge unwichtig
| Reihenfolge unwichtig
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aufgeführt)
aufgeführt)
| <math> \binom{n}{k} = \dfrac{n!}{(n-k)!k!}</math>
| <math> \binom{n}{k} = \dfrac{n!}{(n-k)!k!}</math>
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(Beispiel 4)
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'''Allgemein:'''<br>
Es gibt
Es gibt
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<math> \dfrac{n!}{k_1! K_2! … k_i!}</math>
+
<math> \dfrac{n!}{k_1! k_2! … k_i!}</math>
Möglichkeiten, n Objekte auf i Gruppen zu verteilen, wobei jede Gruppe <math> k_j</math> Elemente haben soll.
Möglichkeiten, n Objekte auf i Gruppen zu verteilen, wobei jede Gruppe <math> k_j</math> Elemente haben soll.
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(im Beispiel: n=32, j=4 Gruppen
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(im Beispiel: <math>n=32, j=4 </math> Gruppen <math>, k_1=10, k_2=10, k_3=10, k_4=2</math>)
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Version vom 11:31, 30. Sep. 2009

Inhalt:

  • erster Punkt
  • zweiter Punkt
  • dritter Punkt

Lernziele

Nach diesem Abschnitt sollten Sie folgendes können:

  • erstes Ziel
  • zweites Ziel

Kombinatorik

A - Permutationen

Permutationen sind die Anzahl der Möglichkeiten, die Anordnung von Gegenständen zu Vertauschen, also die Anzahl der Weisen Objekte anzuordnen.

Beispiel 1 Wie viele Möglichkeiten gibt es die drei Objekte
in verschiedenen Reihenfolgen an zu ordnen?








Es gibt 321=3!=6 (3! = „3 Fakultät“) Möglichkeiten die Objekte anzuordnen. Hierbei gilt, dass für den ersten Gegenstand drei verschiedene Positionen vorhanden sind, f&ume;r den zweiten nur noch zwei Postionen, da schon eine besetzt ist und dementsprechend nur noch eine Position f&ume;r den dritten Gegenstand.


Allgemein:
Für eine Gruppe von n Elementen gibt es n! :=n(n−1)(n−2)…3321 Möglichkeiten („n Fakultät“) die Objekte hintereinander anzuordnen (n! Permutationen). Mit der zusätzlichen Definition 0! :=1.

Beispiel 2

  1. Möglichkeiten der Anordnung von ambu? 4!=4321=24
  2. 3!5!=32154321=54
  3. (n−1)!(n+1)!=(n−1)(n−2)…21(n+1)n(n−1)(n−2)21=(n+1)n
  4. 2n!=2n(n−1)…21 (2n)!=2n(2n−1)(2n−2)n(n−1)21

Stichproben aus n- elementigen Mengen:

Beispiel 3

Wie viele Worte mit 4 Buchstaben kann man mit den Buchstaben A, R, T, E, N und S bilden? (mit Doppelbenutzung) 1. Buchstabe: 6 Möglichkeiten 2. Buchstabe: 6 Möglichkeiten 3. Buchstabe: 6 Möglichkeiten 4. Buchstabe: 6 Möglichkeiten

Also gibt es 6666=64 Möglichkeiten.


Allgemein:
Es gibt nk Möglichkeiten der Anordnung, die beim k- maligen Auswählen aus n Objekten mit Wiederholung und mit Berücksichtigung der Reihenfolge entstehen können.

Beispiel 4

Wie zuvor bei Beispiel 3 nur ohne Doppelbenutzung der Buchstaben.

1.Ziehen : 6 Möglichkeiten 2.Ziehen : 5 Möglichkeiten 3.Ziehen : 4 Möglichkeiten 4.Ziehen : 3 Möglichkeiten insgesamt: 6543 Möglichkeiten. 6543=2!6!=6!(6−4)!


Allgemein:
Es gibt n(n−1)(n−2)(n−k+1)=n!(n−k)! Möglichkeiten aus n Objekten k Stück unter Berücksichtigung der Reihenfolge und ohne Zurücklegen auszusuchen.

Beispiel 5

„Lotto“ mit Reihenfolge

Anzahl der Möglichkeiten: 49!(49−6)!=49484746454410109()

Aber: Die Reihenfolge ist bei echtem Lotto unwichtig. Für sechs feste Zahlen sind 6! Kombinationen in (*) enthalten.

Beispiel 6

Also: „echtes“ Lotto 49!(49−6)!16!=49!(49−6)!6!=64913106  Möglichkeiten.

Auswahlmöglichkeiten für k aus n Elementen ohne Zurücklegen und ohne Reihenfolge:

kn=n!(n−k)!k! 

Hierf&uume;r ben&oome;tigt man den Binomialkoeffizient der hier noch einmal ausf&uume;rlicher erkl&aame;rt wird.

mit ninNkinNngek

Zusammenfassung Urnenmodell: Das Urnenmodell ist ein allgemeines Beispiel für die Kombinatorik. Hier ist die Idee ein Behältnis mit n Kugeln zu haben aus dem man k mal zieht. Die Beispiele von oben lassen sich durch das Modell und die dazugehörigen Formeln alle rechnen.

x Mit Zurücklegen Ohne Zurücklegen
Reihenfolge wichtig nk

(Beispiel 3)

n!(n−k)!

(Beispiel 4)

Reihenfolge unwichtig kn+k−1 

(wird selten gebraucht, hier ist es aber der Vollständigkeit halber aufgeführt)

kn=n!(n−k)!k! 

(Beispiel 6)


Beispiel 7

Wähle 3 Personen aus 10 aus. Wie viele Möglichkeiten gibt es?

Nach Urnenmodell: Ziehe 3 aus 10, ohne Zurück legen und ohne Reihenfolge.

Es gilt 310=3211098=120  Möglichkeiten

Beispiel 8

Wie viele Möglichkeiten gibt es beim Skat spielen 32 Karten auf 3 Spieler (10 Karten) zu und Skat (2 Karten) zu verteilen?

Kombinationen f&ume;r den 1.Spieler Kombinationen f&ume;r den 2. Spieler Kombinationen f&ume;r den 3. Spieler \displaystyle \cdot Kombinationen f&ume;r den 4. Spieler \displaystyle = \binom{32}{10} \cdot \binom{22}{10} \cdot \binom{12}{10} \cdot \binom{2}{2} \displaystyle =\dfrac{32!}{22! \cdot 10!} \cdot \dfrac{22!}{12! \cdot 10!} \cdot \dfrac{12!}{2! \cdot 10!} \cdot \dfrac{2!}{2! \cdot 0!} \displaystyle =\dfrac{32!}{10! \cdot 10! \cdot 10! \cdot 2!}.

(Bemerkung: Es gibt auch noch andere Rechnungen, die auf das gleiche Ergebnis führen.)

Allgemein:
Es gibt \displaystyle \dfrac{n!}{k_1! k_2! … k_i!} Möglichkeiten, n Objekte auf i Gruppen zu verteilen, wobei jede Gruppe \displaystyle k_j Elemente haben soll. (im Beispiel: \displaystyle n=32, j=4 Gruppen \displaystyle , k_1=10, k_2=10, k_3=10, k_4=2)

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