5.2 Mathematische Texte schreiben

Aus Online Mathematik Brückenkurs 1

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'''Lernziele'''
'''Lernziele'''
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Nach diesem Abschnitt sollten Sie folgendes können:
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Nach diesem Abschnitt solltest du folgendes können:
* Mathematische Sachverhalte ausdrücken
* Mathematische Sachverhalte ausdrücken
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}}
}}
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==Hinweise==
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== A - Hinweise==
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====Erläutern Sie Ihre Lösung====
+
==== B - Erläutere deine Lösung====
Der wichtigste Hinweis ist:
Der wichtigste Hinweis ist:
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<center>Erläutern Sie ihre Lösung stets hinreichend.</center>
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<center>Erläutere deine Lösung stets ausreichend.</center>
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Die Lösung eines Problems oder einer Aufgabe darf nicht nur darin bestehen, die verwendete Formel zu erwähnen, sondern muss eine Beschreibung enthalten, wie gedacht wurde. Verwenden Sie Worte, um dies zu tun! Stellen Sie sich vor, Sie würden die Lösung einem Klassenkameraden erklären, der Schwierigkeiten damit hat, die einzelnen Schritte zu begreifen. Sie brauchen nicht jede kleine Rechnung zu erklären, jedoch dürfen Sie keinen wichtigen Schritt auslassen. Wenn Sie diesen Rat befolgen, werden Sie 80% dessen erreicht haben, was nötig ist, um eine angemessene Lösung zu liefern.
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Die Lösung eines Problems oder einer Aufgabe darf nicht nur darin bestehen, die verwendete Formel zu erwähnen, sondern muss eine Beschreibung enthalten, wie gedacht wurde. Verwende Worte, um dies zu tun! Stelle dir vor, du würdest die Lösung einem Klassenkameraden erklären, der Schwierigkeiten damit hat, die einzelnen Schritte zu begreifen. Du brauchst nicht jede kleine Rechnung zu erklären, jedoch darfst du keinen wichtigen Schritt auslassen. Wenn du diesen Rat befolgst, wirst du 80% dessen erreicht haben, was nötig ist, um eine angemessene Lösung zu liefern.
-
====Schreiben Sie gutes Deutsch====
+
==== C - Schreibe gutes Deutsch====
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Obwohl dies keine Hausaufgabe im Fach Deutsch ist und der mathematische Inhalt selbstverständlich am wichtigsten ist, sollten Sie trotzdem stets auf Ausdrucksweise und grammatikalische Sauberkeit etc. achten. Wenn Ihre Lösung zu viele sprachliche Fehler aufweist, kann dies einen sehr negativen Eindruck bewirken und damit die Glaubwürdigkeit Ihrer Lösung unterlaufen. Ihre Ausdrucksweise ist wichtig!
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Obwohl dies keine Hausaufgabe im Fach Deutsch ist und der mathematische Inhalt selbstverständlich am wichtigsten ist, solltest du trotzdem stets auf Ausdrucksweise und grammatikalische Sauberkeit etc. achten. Wenn deine Lösung zu viele sprachliche Fehler aufweist, kann dies einen sehr negativen Eindruck hinterlassen und damit die Überzeugungskraft deiner Lösung schmälern. Deine Ausdrucksweise ist wichtig!
-
====Schreiben Sie Ihre Lösung zum Schluss sauber auf====
+
==== D - Schreibe deine Lösung zum Schluss sauber auf====
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Nachdem Sie das Problem gelöst haben, sollten Sie Ihre Lösung aufschreiben. Dabei können Sie sich auf die Präsentation der Lösung konzentrieren, was sogar zu Verbesserungen an der Lösung selbst führen kann. Ein Tipp ist, eine andere Person Ihre Lösung lesen zu lassen, um Unklarheiten zu entdecken. Es ist besser, die Präsentationsphase auf ein späteres Datum zu verschieben, damit Sie, wenn Sie zum ersten Mal das Problem lösen, frei arbeiten können und sich nicht zu früh auf eine bestimmte Lösungsmethode festlegen müssen.
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Nachdem du das Problem gelöst hast, solltest du deine Lösung aufschreiben. Dabei kannst du dich auf die Präsentation der Lösung konzentrieren, was sogar zu Verbesserungen an der Lösung selbst führen kann. Ein Tipp ist, eine andere Person deine Lösung lesen zu lassen, um Unklarheiten zu entdecken. Es ist besser, die Präsentationsphase auf ein späteres Datum zu verschieben, damit du, wenn du zum ersten Mal das Problem löst, frei arbeiten kannst und dich nicht zu früh auf eine bestimmte Lösungsmethode festlegen musst.
-
Wenn Sie eine Lösung eingeben, verwenden Sie ein Textformat und keinen Screenshot eines Textverarbeitungsprogramms. Es mag einfacher für Sie sein, die Lösung auf ihrem eigenen PC mit Ihrem bevorzugten Programm zu schreiben, aber im nächsten Schritt wird Ihre Lösung als Teil in der Gruppenarbeit enthalten sein. Deshalb ist es notwendig, dass Ihre Lösung editierbar bleibt, was ein Screenshot nicht leistet.
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Wenn du eine Lösung eingibst, verwende ein Textformat und keinen Screenshot eines Textverarbeitungsprogramms oder gar eine eingescannte handschriftliche Lösung. Es mag einfacher für dich sein, die Lösung auf deinem eigenen PC mit deinen bevorzugten Programm oder mit der Hand zu schreiben, aber im nächsten Schritt wird deine Lösung als Teil in der Gruppenarbeit enthalten sein. Deshalb ist es notwendig, dass deine Lösung für die Gruppe editierbar bleibt, was ein Screenshot oder Scan nicht leistet.
-
====Klare Antworten====
+
==== E - Klare Antworten====
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Schreiben Sie zum Schluss eine klare Antwort. Dies ist besonders dann notwendig, wenn die Lösung lang und die Antwort auf verschiedene Textstellen verteilt ist. Allerdings gibt es auch Probleme vom Typ "Zeigen Sie...". Dann ist zum Schluss keine separate Antwort nötig.
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Schreibe zum Schluss eine klare Antwort. Dies ist besonders dann notwendig, wenn die Lösung lang und die Antwort auf verschiedene Textstellen verteilt ist. Allerdings gibt es auch Probleme vom Typ "Zeigen Sie...". Dann ist zum Schluss keine separate Antwort nötig.
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Vereinfachen Sie Ihre Antwort so weit wie möglich.
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Vereinfache deine Antwort so weit wie möglich.
<div class="exempel">
<div class="exempel">
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<ol type="a">
<ol type="a">
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<li>Antworten Sie nicht <math>\sqrt8</math>, sondern <math>2\sqrt2</math>. </li>
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<li>Antworte nicht <math>\sqrt8</math>, sondern <math>2\sqrt2</math>. </li>
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<li>Antworten Sie nicht <math>\sin^2 x + \cos^2x + 2\sin 2x</math>, sondern <math>1 + 2\sin 2x</math>.</li>
+
<li>Antworte nicht <math>\sin^2 x + \cos^2x + 2\sin 2x</math>, sondern <math>1 + 2\sin 2x</math>.</li>
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<li>Antworten Sie nicht <math>x = \left\{\begin{align}&\pi/4+ n\pi\\ &3\pi / 4 + n\pi\end{align}\right.\ \ (n\ \text{ganzzahlig})\ </math>, sondern <math>\ x = \pi / 4 + n\pi / 2\ \ (n\ \text{ganzzahlig})</math>.</li>
+
<li>Antworte nicht <math>x = \left\{\begin{align}&\pi/4+ n\pi\\ &3\pi / 4 + n\pi\end{align}\right.\ \ (n\ \text{ganzzahlig})\ </math>, sondern <math>\ x = \pi / 4 + n\pi / 2\ \ (n\ \text{ganzzahlig})</math>.</li>
</ol>
</ol>
</div>
</div>
-
====Gehen Sie schrittweise vor====
+
==== F - Gehe schrittweise vor====
-
Es kommt vor, dass Sie so genannte Scheinlösungen erhalten, wenn Sie Gleichungen lösen. Erklären Sie in diesem Fall, warum diese auftauchten und testen Sie die Lösungen, um zu erkennen, welche tatsächlich Lösungen sind.
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Es kommt vor, dass du sogenannte Scheinlösungen erhälst, wenn du Gleichungen löst. Erkläre in diesem Fall, warum diese auftauchten und teste die Lösungen, um zu erkennen, welche tatsächlich Lösungen sind.
<!--
<!--
<div class="regel">
<div class="regel">
-
'''Scheinlösingen'''
+
'''Scheinlösungen'''
*können beim Quadrieren auftauchen
*können beim Quadrieren auftauchen
*können beim Multiplizieren einer Gleichung mit <math>x</math> auftauchen
*können beim Multiplizieren einer Gleichung mit <math>x</math> auftauchen
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'''Beispiel 2'''
'''Beispiel 2'''
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Wenn Sie die Gleichung <math>2x^2-5x=0</math> "lösen", indem <math>5x</math> auf die rechte Seite schreiben,
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Wenn du die Gleichung <math>2x^2-5x=0</math> "löst", indem du <math>5x</math> auf die rechte Seite bringst,
{{Abgesetzte Formel||<math>2x^2=5x\,,</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>2x^2=5x\,,</math>}}
-
dann <math>x</math> auf beiden Seiten kürzen
+
und dann <math>x</math> auf beiden Seiten kürzt
{{Abgesetzte Formel||<math>2x=5\,,</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>2x=5\,,</math>}}
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verlieren Sie <math>x=0</math>.
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verlierst du die Lösung <math>x=0</math>.
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Wenn Sie anstatt dessen die linke Seite faktorisieren
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Wenn du stattdessen die linke Seite faktorisierst
{{Abgesetzte Formel||<math>x(2x-5) = 0\,\textrm{,}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>x(2x-5) = 0\,\textrm{,}</math>}}
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finden Sie beide Lösungen: <math>x=0</math> und <math>2x-5=0</math> (d.h. <math>x=\tfrac{5}{2}</math>).
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findest du beide Lösungen: <math>x=0</math> und <math>2x-5=0</math> (d.h. <math>x=\tfrac{5}{2}</math>).
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Gehen Sie zu [[2.1 Übungen#Übung 2.1:3 |Übung 2.1:3]] um Faktorisieren zu üben.
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Gehe zu [[2.1 Übungen#Übung 2.1:3 |Übung 2.1:3]] um Faktorisieren zu üben.
</div>
</div>
-
Ein wichtiger Teil des Lösungsprozesses ist es, Plausibilitätsmethoden zu nutzen, um eine Lösung zu prüfen. Zum Beispiel kann man die Lösung einer Gleichung wieder in die Gleichung einsetzen, um sicher zu gehen, dass diese wirklich eine Lösung ist, weil man sich verrechnet haben könnte (Vorsicht: verwechseln Sie diese Vorgehensweise nicht mit dem Untersuchen von Scheinlösungen). Diese Vorgehensweise können Sie auch für Teilschritte durchführen.
+
Ein wichtiger Teil des Lösungsprozesses ist es, Plausibilitätsprüfungen oder Proben zu nutzen, um eine Lösung zu prüfen. Zum Beispiel kann man die Lösung einer Gleichung wieder in die Gleichung einsetzen, um sicher zu gehen, dass diese wirklich eine Lösung ist, weil man sich verrechnet haben könnte
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(Vorsicht: verwechsele diese Vorgehensweise nicht mit dem Untersuchen auf Scheinlösungen). Diese Vorgehensweise kannst du auch für Teilschritte durchführen.
-
Ein weiterer Punkt ist abzuschätzen, ob die Antwort plausibel ist. Setzen Sie Werte für einige der Parameter ein und vergewissern Sie sich damit, dass Sie die richtige Lösung haben. Was passiert z.B. wenn <math>a = 0</math>, <math>a = 1</math> oder wenn a nach unendlich geht.
+
Ein weiterer Punkt ist abzuschätzen, ob die Antwort plausibel ist. Setze Werte für einige der Parameter ein und vergewissere dich damit, dass du die richtige Lösung hast. Was passiert z.B. wenn <math>a = 0</math>, <math>a = 1</math> oder wenn a nach unendlich geht.
-
====Zeichnen Sie klare Bilder====
+
==== G - Zeichne klare Bilder====
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Ein Bild kann oft viel besser als Text eingeführte Symbole erklären oder verdeutlichen. Verwenden Sie Bilder! Vergessen Sie nicht, diese übersichtlich zu zeichnen und überladen Sie sie nicht mit zu vielen Details.
+
Ein Bild ist oft viel besser als Text, um eingeführte Symbole zu erklären oder zu verdeutlichen. Verwende Bilder! Vergiss nicht, diese übersichtlich zu zeichnen und überlade sie nicht mit zu vielen Details.
-
Es ist oft besser, mehrere, fast identische Bilder zu haben, wo jede einen Gedanken verdeutlicht, als ein großes Bild, das alles enthält.
+
Es ist oft besser, mehrere, fast identische Bilder zu haben, die jeweils einen Gedanken erläutern, als ein großes Bild, das alles enthält.
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+
== H - Behandle Formeln als Teil des Texts==
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==Behandeln Sie Formeln als Teil des Texts==
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Es ist wichtig, dass du deine Lösung in einer Weise aufschreibst, die es anderen leicht macht, ihr zu folgen. Um dir dabei zu helfen, präsentieren wir dir hier einige Beispiele, um einige Tipps und häufige Fehler zu illustrieren, die auftauchen können, wenn man Formeln und Text mischt.
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Es ist wichtig, dass Sie Ihre Lösung auf eine Weise aufschreiben, welche es anderen einfach macht, ihr zu folgen. Um Ihnen zu helfen, präsentieren wir Ihnen hier einige Beispiele, um einige Tipps und häufige Fehler zu demonstrieren, welche auftauchen, wenn man Formeln und Text mischt.
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<div class="regel">
<div class="regel">
'''Rat zum Mischen von Formeln und Text:'''
'''Rat zum Mischen von Formeln und Text:'''
-
# Schreiben Sie den erläuternden Text in die vorige Linie
+
# Schreibe den erläuternden Text in die vorige Linie
-
# Beachten Sie die Interpunktion
+
# Beachte die Interpunktion
-
# Schreiben Sie Gleichungen eingerückt oder zentriert.
+
# Schreibe Gleichungen eingerückt oder zentriert.
</div>
</div>
-
Formeln sollten nicht als etwas betrachtet werden, welches ohne Bezug zum Text ist (bzw. umgekehrt), sondern als ein Baustein mit einer klaren Linie. Schreiben Sie deshalb Text nicht eingeklammert hinter Formeln, sondern als Erläuterung, die dem Text voraus gehen.
+
Formeln sollten nicht als etwas betrachtet werden, welches ohne Bezug zum Text ist (bzw. umgekehrt), sondern als ein Baustein mit einer klaren Linie. Schreibe deshalb Text nicht eingeklammert hinter Formeln, sondern als Erläuterung, die der Formel voraus geht.
<div class="exempel">
<div class="exempel">
Zeile 139: Zeile 139:
</div>
</div>
-
Formeln können als Teil des Text oder abgesetzt geschrieben werden. Wenn Formeln vom Text abgesetzt werden, erscheinen Sie in einer eigenen Zeile und sind entweder eingerückt oder zentriert.
+
Formeln können als Teil des Textes oder abgesetzt geschrieben werden. Wenn Formeln vom Text abgesetzt werden, erscheinen Sie in einer eigenen Zeile und sind entweder eingerückt oder zentriert.
''' Gut '''
''' Gut '''
Zeile 151: Zeile 151:
text text text text text text text text...
text text text text text text text text...
-
(Beachten Sie, dass das Einrücken sowohl die Formel als auch den Text hervorhebt.)
+
(Beachte, dass das Einrücken sowohl die Formel als auch den Text hervorhebt.)
</div>
</div>
Zeile 166: Zeile 166:
Wir starten mit...
Wir starten mit...
-
(Beachten Sie, dass hinter der Formel auch ein Punkt sein sollte.)
+
(Beachte, dass hinter der Formel auch ein Punkt sein sollte.)
</div>
</div>
-
Da eine Formel ein Teil des Texts ist, sollte sie auch als Teil des Satzes betrachtet werden. Achten Sie deshalb auf die korrekte Interpunktion. Vergessen Sie insbesondere nicht den Punkt am Ende eines Satzes.
+
Da eine Formel ein Teil des Texts ist, sollte sie auch als Teil des Satzes betrachtet werden. Achte deshalb auf die korrekte Interpunktion. Vergiss insbesondere nicht den Punkt am Ende eines Satzes.
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Der nächste Schritt ist...
Der nächste Schritt ist...
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(Beachten Sie den Punkt hinter der Formel.)
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(Beachte den Punkt hinter der Formel.)
</div>
</div>
-
Eine schlechte Gewohnheit ist umfassendes Nummerieren. Ein Beispiel hierfür ist, jeden Schritt in einer Lösung zu nummerieren. Die zusätzlichen Ziffern helfen nicht, lenken aber ab. Selten müssen Sie später auf einzelne Schritte innerhalb einer Rechnung verweisen, und wenn Sie müssen, können Sie oft etwas wie "als wir die Gleichung quadrierten" etc. schreiben.
+
Eine schlechte Gewohnheit ist umfassendes Nummerieren. Ein Beispiel hierfür ist, jeden Schritt in einer Lösung zu nummerieren. Die zusätzlichen Ziffern helfen nicht, lenken aber ab. Selten musst du später auf einzelne Schritte innerhalb einer Rechnung verweisen, und wenn du musst, kannst du oft etwas wie "als wir die Gleichung quadrierten" etc. schreiben.
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-
==Häufige Fehler==
+
== I - Häufige Fehler==
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====Seien Sie vorsichtig mit Pfeilen und ähnlichem====
+
====Sei vorsichtig mit Pfeilen und ähnlichem====
Es gibt einen Unterschied zwischen <math>\Rightarrow</math> (Implikationspfeil), <math>\Leftrightarrow</math> (Äquivalenzpfeil) und <math>=</math> (Gleichheitszeichen). Für zwei Gleichungen, für die direkt bekannt ist, dass sie die gleichen Lösungen haben, verwendet man <math>\Leftrightarrow</math>, um dies auszudrücken.
Es gibt einen Unterschied zwischen <math>\Rightarrow</math> (Implikationspfeil), <math>\Leftrightarrow</math> (Äquivalenzpfeil) und <math>=</math> (Gleichheitszeichen). Für zwei Gleichungen, für die direkt bekannt ist, dass sie die gleichen Lösungen haben, verwendet man <math>\Leftrightarrow</math>, um dies auszudrücken.
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</div>
</div>
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Oft kümmert man sich nicht darum, das Symbol <math>\Leftrightarrow</math> zwischen verschiedene Schritte einer Lösung zu schreiben, solange sie in verschiedenen Zeilen stehen (und damit die Äquivalenz implizieren). Oft ist es besser, erklärenden Text zu verwenden als Pfeile in den einzelnen Schritten. Verwenden Sie den Implikationspfeil keinesfalls als allgemeines Symbol zur Fortsetzung einer Lösung (im Sinne von "der nächste Schritt ist").
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Oft kümmert man sich nicht darum, das Symbol <math>\Leftrightarrow</math> zwischen verschiedene Schritte einer Lösung zu schreiben, solange sie in verschiedenen Zeilen stehen (und damit die Äquivalenz implizieren). Oft ist es besser, erklärenden Text zu verwenden als Pfeile in den einzelnen Schritten. Verwende den Implikationspfeil keinesfalls als allgemeines Symbol zur Fortsetzung einer Lösung (im Sinne von "der nächste Schritt ist").
-
Das Gleichheitszeichen (<math>=</math>) wird üblicherweise auf zwei Arten benutzt. Erstens, um auszudrücken, dass zwei Dinge gleich sind, d.h. <math>(x - 2)^2 = x^2-4x + 4</math>, was für alle <math>x</math> gilt und zweitens in Gleichungen, wo beide Seiten gleich sind für bestimmte <math>x</math>. Zum Beispiel gilt <math>(x - 2) ^2 = 4</math> nur für <math>x = 0</math> oder <math>x = 4</math>. Sie sollten diese zwei verschiedenen Verwendungen nicht durcheinanderbringen.
+
Das Gleichheitszeichen (<math>=</math>) wird üblicherweise auf zwei Arten benutzt. Erstens, um auszudrücken, dass zwei Dinge gleich sind, d.h. <math>(x - 2)^2 = x^2-4x + 4</math>, was für alle <math>x</math> gilt und zweitens in Gleichungen, wo beide Seiten gleich sind für bestimmte <math>x</math>. Zum Beispiel gilt <math>(x - 2) ^2 = 4</math> nur für <math>x = 0</math> oder <math>x = 4</math>. Du solltest diese zwei verschiedenen Verwendungen nicht durcheinanderbringen.
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'''Beispiel 4'''
'''Beispiel 4'''
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Schreiben Sie nicht
+
Schreibe nicht
:<math>x^2 - 2x + 1 = (x - 1)^2 = 4\,,</math>
:<math>x^2 - 2x + 1 = (x - 1)^2 = 4\,,</math>
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wenn Sie die Gleichung <math>x^2 - 2x + 1 = 4</math> lösen, da dies zu Fehlschlüssen führen kann.
+
wenn du die Gleichung <math>x^2 - 2x + 1 = 4</math> löst, da dies zu Fehlschlüssen führen kann.
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Schreiben Sie eher
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Schreibe eher
:<math>x^2 - 2x + 1 = 4\quad \Leftrightarrow\quad (x - 1) ^2 = 4</math>.
:<math>x^2 - 2x + 1 = 4\quad \Leftrightarrow\quad (x - 1) ^2 = 4</math>.
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(Es gibt auch noch einen dritten Sinn für die Verwendung des Gleichheitszeichens, der darin besteht, einen Ausdruck oder eine Zuordnungsvorschrift zu definieren.)
(Es gibt auch noch einen dritten Sinn für die Verwendung des Gleichheitszeichens, der darin besteht, einen Ausdruck oder eine Zuordnungsvorschrift zu definieren.)
-
Der einfache Pfeil (<math>\rightarrow</math>) wird in der Mathematik oft verwendet, um mit verschiedenen Arten von Grenzwerten umzugehen: <math>a \to \infty</math> bedeutet, dass a zunimmt und nicht beschränkt ist (d.h. nach Unendlich geht). Sie werden vermutlich keinen einzigen einfachen Pfeil in diesem Kurs brauchen.
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Der einfache Pfeil (<math>\rightarrow</math>) wird in der Mathematik oft verwendet, um mit verschiedenen Arten von Grenzwerten umzugehen: <math>a \to \infty</math> bedeutet, dass a zunimmt und nicht beschränkt ist (d.h. nach Unendlich geht). Du wirst vermutlich keinen einzigen einfachen Pfeil in diesem Kurs brauchen.
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====Gehen Sie nicht unbedacht mit Klammern um====
+
====Gehe nicht unbedacht mit Klammern um====
Da Multiplikation und Division eine höhere Priorität haben als Addition und Subtraktion, muss man Klammern nur verwenden, wenn Addition und Subtraktion zuerst durchgeführt werden sollen.
Da Multiplikation und Division eine höhere Priorität haben als Addition und Subtraktion, muss man Klammern nur verwenden, wenn Addition und Subtraktion zuerst durchgeführt werden sollen.
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<ol type="a">
<ol type="a">
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<li>Schreiben Sie nicht <math>1 + x / \cos x</math>, wenn Sie tatsächlich meinen <math>(1 + x) / \cos x</math>.</li>
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<li>Schreibe nicht <math>1 + x / \cos x</math>, wenn du tatsächlich meinst <math>(1 + x) / \cos x</math>.</li>
-
<li>Schreiben Sie nicht <math>1 + (1/\sin x)</math>, wenn <math>1 + 1/\sin x</math> reicht (auch wenn der erste Ausdruck formal nicht falsch ist).</li>
+
<li>Schreibe nicht <math>1 + (1/\sin x)</math>, wenn <math>1 + 1/\sin x</math> reicht (auch wenn der erste Ausdruck formal nicht falsch ist).</li>
</ol>
</ol>
</div>
</div>
-
Wenn Sie mit algebraischen Ausdrücken arbeiten, lässt man normalerweise das Zeichen für die Multiplikation weg. Zum Beispiel schreibt man kaum <math>4\times x\times y\times z</math>, sonder eher <math>4xyz</math>.
+
Wenn du mit algebraischen Ausdrücken arbeitest, lässt man normalerweise das Zeichen für die Multiplikation weg. Zum Beispiel schreibt man kaum <math>4\cdot x\cdot y\cdot z</math>, sonder eher <math>4xyz</math>.
-
Der Verzicht auf das Multiplikationszeichen behandelt eine solche prioritär gegenüber anderen Multiplikationen und Divisionen (nicht aber gegenüber Potenzen). Wenn man <math>1/2R</math> schreibt, heißt dies <math>1 / (2R)</math> und nicht <math>(1 / 2) R</math>. Da dies eine Quelle für Mißverständnisse sein könnte, ist es nicht unüblich, die Klammern in beiden Situationen zu schreiben.
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Der Verzicht auf das Multiplikationszeichen behandelt eine solche prioritär gegenüber anderen Multiplikationen und Divisionen (nicht aber gegenüber Potenzen). Wenn man <math>1/2R</math> schreibt, heißt dies <math>1 / (2R)</math> und nicht <math>(1 / 2) R</math>. Da dies eine Quelle für Mißverständnisse sein könnte, ist es nicht unüblich, die Klammern in beiden Situationen zu schreiben oder einen Bruchstrich zu verwenden.
-
Argumente von grundlegenden elementaren Funktionen werden ebenfalls ohne Klammer geschrieben. Deshalb sollte Sie nicht schreiben:
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Argumente von grundlegenden elementaren Funktionen werden ebenfalls ohne Klammer geschrieben. Deshalb solltest du nicht schreiben:
<center><math>\cos (x)</math>, <math>\sin (x)</math>, <math>\tan (x)</math>, <math>\cot (x)</math>, <math>\lg (x)</math> und <math>\ln (x)\,,</math></center>
<center><math>\cos (x)</math>, <math>\sin (x)</math>, <math>\tan (x)</math>, <math>\cot (x)</math>, <math>\lg (x)</math> und <math>\ln (x)\,,</math></center>
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<center><math>\cos x</math>, <math>\sin x</math>, <math>\tan x</math>, <math>\cot x</math>, <math>\lg x</math> und <math>\ln x\,.</math></center>
<center><math>\cos x</math>, <math>\sin x</math>, <math>\tan x</math>, <math>\cot x</math>, <math>\lg x</math> und <math>\ln x\,.</math></center>
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Tatsächlich sollten Sie <math>\cos 2x</math> und nicht <math>\cos (2x)</math> schreiben (da das Argument <math>2x</math> durch das Aneinanderschreiben stärker gebunden ist), aber Klammern sind nötig, wenn Sie <math>\sin (x + y)</math> schreiben, genauso bei <math>\sin(x / 2)</math> oder <math>(\sin x)^2</math> (wobei Sie letzteres auch als <math>\sin ^2\!x</math> schreiben können).
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Tatsächlich solltest du <math>\cos 2x</math> und nicht <math>\cos (2x)</math> schreiben (da das Argument <math>2x</math> durch das Aneinanderschreiben stärker gebunden ist), aber Klammern sind nötig, wenn du <math>\sin (x + y)</math> schreibst, genauso bei <math>\sin(x / 2)</math> oder <math>(\sin x)^2</math> (wobei du letzteres auch als <math>\sin ^2\!x</math> schreiben kansst).
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Noch Fragen zu diesem Kapitel? Dann schau nach im Kursforum (Du findest den Link in der Student Lounge) oder frag nach per Skype bei ombTutor <skype style="call" action="call">ombTutor</skype> <skype style="chat" action="chat">ombTutor</skype>
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Keine Fragen mehr? Dann mache weiter mit den '''[[5.2 Übungen|Übungen]]''' .
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'''Nützliche Websites'''
'''Nützliche Websites'''
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* [http://scpd.stanford.edu/knuth/index.jsp Ein Video Kurs] über mathematische Texte schreiben von Donald Knuth (Ein Auszug über den Kurs ist erhältlich in [http://www-cs-faculty.stanford.edu/~knuth/papers/mathwriting.tex.gz source form] (eine .gz - gezippte Datei, zu &ouml;ffnen mit gzip unter Unix/Linux oder mit winzip unter Windows) oder in Auszügen von [http://books.google.com/books?id=dDOehHMbUMcC&printsec=frontcover&dq=inauthor:Donald+inauthor:Ervin+inauthor:Knuth&lr=&ei=JbN1SZfvFZysMqPPhM8M&hl=sv#PPP9,M1 Google books]).
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* [http://scpd.stanford.edu/knuth/index.jsp Ein Video Kurs] über das Schreiben von mathematischen Texten von Donald Knuth (Ein Auszug des Kurses ist erhältlich in [http://www-cs-faculty.stanford.edu/~knuth/papers/mathwriting.tex.gz source form] (eine .gz - gezippte Datei, zu öffnen mit gzip unter Unix/Linux oder mit winzip unter Windows) oder in Auszügen von [http://books.google.com/books?id=dDOehHMbUMcC&printsec=frontcover&dq=inauthor:Donald+inauthor:Ervin+inauthor:Knuth&lr=&ei=JbN1SZfvFZysMqPPhM8M&hl=sv#PPP9,M1 Google books]).
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Aktuelle Version

       Theorie          Übungen      

Inhalt:

  • Allgemeine Hinweise
  • Mischen von Formel und Text
  • Häufige Fehler

Lernziele

Nach diesem Abschnitt solltest du folgendes können:

  • Mathematische Sachverhalte ausdrücken
  • Mathematische Sachverhalte erklären

A - Hinweise

B - Erläutere deine Lösung

Der wichtigste Hinweis ist:

Erläutere deine Lösung stets ausreichend.

Die Lösung eines Problems oder einer Aufgabe darf nicht nur darin bestehen, die verwendete Formel zu erwähnen, sondern muss eine Beschreibung enthalten, wie gedacht wurde. Verwende Worte, um dies zu tun! Stelle dir vor, du würdest die Lösung einem Klassenkameraden erklären, der Schwierigkeiten damit hat, die einzelnen Schritte zu begreifen. Du brauchst nicht jede kleine Rechnung zu erklären, jedoch darfst du keinen wichtigen Schritt auslassen. Wenn du diesen Rat befolgst, wirst du 80% dessen erreicht haben, was nötig ist, um eine angemessene Lösung zu liefern.

C - Schreibe gutes Deutsch

Obwohl dies keine Hausaufgabe im Fach Deutsch ist und der mathematische Inhalt selbstverständlich am wichtigsten ist, solltest du trotzdem stets auf Ausdrucksweise und grammatikalische Sauberkeit etc. achten. Wenn deine Lösung zu viele sprachliche Fehler aufweist, kann dies einen sehr negativen Eindruck hinterlassen und damit die Überzeugungskraft deiner Lösung schmälern. Deine Ausdrucksweise ist wichtig!

D - Schreibe deine Lösung zum Schluss sauber auf

Nachdem du das Problem gelöst hast, solltest du deine Lösung aufschreiben. Dabei kannst du dich auf die Präsentation der Lösung konzentrieren, was sogar zu Verbesserungen an der Lösung selbst führen kann. Ein Tipp ist, eine andere Person deine Lösung lesen zu lassen, um Unklarheiten zu entdecken. Es ist besser, die Präsentationsphase auf ein späteres Datum zu verschieben, damit du, wenn du zum ersten Mal das Problem löst, frei arbeiten kannst und dich nicht zu früh auf eine bestimmte Lösungsmethode festlegen musst.

Wenn du eine Lösung eingibst, verwende ein Textformat und keinen Screenshot eines Textverarbeitungsprogramms oder gar eine eingescannte handschriftliche Lösung. Es mag einfacher für dich sein, die Lösung auf deinem eigenen PC mit deinen bevorzugten Programm oder mit der Hand zu schreiben, aber im nächsten Schritt wird deine Lösung als Teil in der Gruppenarbeit enthalten sein. Deshalb ist es notwendig, dass deine Lösung für die Gruppe editierbar bleibt, was ein Screenshot oder Scan nicht leistet.


E - Klare Antworten

Schreibe zum Schluss eine klare Antwort. Dies ist besonders dann notwendig, wenn die Lösung lang und die Antwort auf verschiedene Textstellen verteilt ist. Allerdings gibt es auch Probleme vom Typ "Zeigen Sie...". Dann ist zum Schluss keine separate Antwort nötig.

Vereinfache deine Antwort so weit wie möglich.

Beispiel 1

  1. Antworte nicht \displaystyle \sqrt8, sondern \displaystyle 2\sqrt2.
  2. Antworte nicht \displaystyle \sin^2 x + \cos^2x + 2\sin 2x, sondern \displaystyle 1 + 2\sin 2x.
  3. Antworte nicht \displaystyle x = \left\{\begin{align}&\pi/4+ n\pi\\ &3\pi / 4 + n\pi\end{align}\right.\ \ (n\ \text{ganzzahlig})\ , sondern \displaystyle \ x = \pi / 4 + n\pi / 2\ \ (n\ \text{ganzzahlig}).

F - Gehe schrittweise vor

Es kommt vor, dass du sogenannte Scheinlösungen erhälst, wenn du Gleichungen löst. Erkläre in diesem Fall, warum diese auftauchten und teste die Lösungen, um zu erkennen, welche tatsächlich Lösungen sind.


Verlorene Lösungen. Wenn z.B. ein Faktor auf beiden Seiten einer Gleichung herausgekürzt wird und nicht bemerkt wird, dass die Gleichung, die entsteht, wenn man den betreffenden Faktor gleich 0 setzt, zusätzliche Lösungen liefert.

Beispiel 2

Wenn du die Gleichung \displaystyle 2x^2-5x=0 "löst", indem du \displaystyle 5x auf die rechte Seite bringst,

\displaystyle 2x^2=5x\,,

und dann \displaystyle x auf beiden Seiten kürzt

\displaystyle 2x=5\,,

verlierst du die Lösung \displaystyle x=0.

Wenn du stattdessen die linke Seite faktorisierst

\displaystyle x(2x-5) = 0\,\textrm{,}

findest du beide Lösungen: \displaystyle x=0 und \displaystyle 2x-5=0 (d.h. \displaystyle x=\tfrac{5}{2}).

Gehe zu Übung 2.1:3 um Faktorisieren zu üben.

Ein wichtiger Teil des Lösungsprozesses ist es, Plausibilitätsprüfungen oder Proben zu nutzen, um eine Lösung zu prüfen. Zum Beispiel kann man die Lösung einer Gleichung wieder in die Gleichung einsetzen, um sicher zu gehen, dass diese wirklich eine Lösung ist, weil man sich verrechnet haben könnte (Vorsicht: verwechsele diese Vorgehensweise nicht mit dem Untersuchen auf Scheinlösungen). Diese Vorgehensweise kannst du auch für Teilschritte durchführen.

Ein weiterer Punkt ist abzuschätzen, ob die Antwort plausibel ist. Setze Werte für einige der Parameter ein und vergewissere dich damit, dass du die richtige Lösung hast. Was passiert z.B. wenn \displaystyle a = 0, \displaystyle a = 1 oder wenn a nach unendlich geht.


G - Zeichne klare Bilder

Ein Bild ist oft viel besser als Text, um eingeführte Symbole zu erklären oder zu verdeutlichen. Verwende Bilder! Vergiss nicht, diese übersichtlich zu zeichnen und überlade sie nicht mit zu vielen Details. Es ist oft besser, mehrere, fast identische Bilder zu haben, die jeweils einen Gedanken erläutern, als ein großes Bild, das alles enthält.

H - Behandle Formeln als Teil des Texts

Es ist wichtig, dass du deine Lösung in einer Weise aufschreibst, die es anderen leicht macht, ihr zu folgen. Um dir dabei zu helfen, präsentieren wir dir hier einige Beispiele, um einige Tipps und häufige Fehler zu illustrieren, die auftauchen können, wenn man Formeln und Text mischt.

Rat zum Mischen von Formeln und Text:

  1. Schreibe den erläuternden Text in die vorige Linie
  2. Beachte die Interpunktion
  3. Schreibe Gleichungen eingerückt oder zentriert.

Formeln sollten nicht als etwas betrachtet werden, welches ohne Bezug zum Text ist (bzw. umgekehrt), sondern als ein Baustein mit einer klaren Linie. Schreibe deshalb Text nicht eingeklammert hinter Formeln, sondern als Erläuterung, die der Formel voraus geht.

Schlecht

Formel (text text text text text text ...)

Formel (text text text text text text ...)

Gut

Text text text text

Formel.

Text text text text

Formel.

Formeln können als Teil des Textes oder abgesetzt geschrieben werden. Wenn Formeln vom Text abgesetzt werden, erscheinen Sie in einer eigenen Zeile und sind entweder eingerückt oder zentriert.

Gut

...text text text Formel text text text text.

Text text text

Formel

text text text text text text text text...

(Beachte, dass das Einrücken sowohl die Formel als auch den Text hervorhebt.)

</div>

Ein häufiger Fehler ist es, einen Doppelpunkt vor einer Formel zu verwenden.

Schlecht

...was zeigt, dass:

Formel

Wir starten mit...

(Beachte, dass hinter der Formel auch ein Punkt sein sollte.)

Da eine Formel ein Teil des Texts ist, sollte sie auch als Teil des Satzes betrachtet werden. Achte deshalb auf die korrekte Interpunktion. Vergiss insbesondere nicht den Punkt am Ende eines Satzes.


Gut

... und damit gilt

Formel.

Der nächste Schritt ist...

(Beachte den Punkt hinter der Formel.)

Eine schlechte Gewohnheit ist umfassendes Nummerieren. Ein Beispiel hierfür ist, jeden Schritt in einer Lösung zu nummerieren. Die zusätzlichen Ziffern helfen nicht, lenken aber ab. Selten musst du später auf einzelne Schritte innerhalb einer Rechnung verweisen, und wenn du musst, kannst du oft etwas wie "als wir die Gleichung quadrierten" etc. schreiben.


Schlecht

3. text text text text text text text text ...

Formel

4. text text text text text text text text ...

Manchmal möchte man auf eine abgesetzte Formel oder Gleichung verweisen. In diesem Fall kann dies eine Nummer (oder ein Stern) sein in Klammern auf dem rechten oder linken Rand.

Gut

...text text text text text text text text

Formel. (1)

Text text (1) text text text text text text

Formel.

Text text text text text text text text...


I - Häufige Fehler

Sei vorsichtig mit Pfeilen und ähnlichem

Es gibt einen Unterschied zwischen \displaystyle \Rightarrow (Implikationspfeil), \displaystyle \Leftrightarrow (Äquivalenzpfeil) und \displaystyle = (Gleichheitszeichen). Für zwei Gleichungen, für die direkt bekannt ist, dass sie die gleichen Lösungen haben, verwendet man \displaystyle \Leftrightarrow, um dies auszudrücken.

Wenn wir jedoch "Gleichung 1 \displaystyle \Rightarrow Gleichung 2" schreiben, heisst dies, dass Gleichung 2 alle Lösungen hat, die auch Gleichung 1 hat, nicht aber umgekehrt. (D.h. Gleichung 2 könnte mehr Lösungen haben.)

Beispiel 3

  1. \displaystyle x + 5 = 3\quad \Leftrightarrow\quad x = -2
  2. \displaystyle x^2-4x-1=0\quad\Leftrightarrow\quad (x-2)^2-5=0
  3. \displaystyle \sqrt x = x - 2\quad\Rightarrow\quad x = (x - 2)^2

Oft kümmert man sich nicht darum, das Symbol \displaystyle \Leftrightarrow zwischen verschiedene Schritte einer Lösung zu schreiben, solange sie in verschiedenen Zeilen stehen (und damit die Äquivalenz implizieren). Oft ist es besser, erklärenden Text zu verwenden als Pfeile in den einzelnen Schritten. Verwende den Implikationspfeil keinesfalls als allgemeines Symbol zur Fortsetzung einer Lösung (im Sinne von "der nächste Schritt ist").

Das Gleichheitszeichen (\displaystyle =) wird üblicherweise auf zwei Arten benutzt. Erstens, um auszudrücken, dass zwei Dinge gleich sind, d.h. \displaystyle (x - 2)^2 = x^2-4x + 4, was für alle \displaystyle x gilt und zweitens in Gleichungen, wo beide Seiten gleich sind für bestimmte \displaystyle x. Zum Beispiel gilt \displaystyle (x - 2) ^2 = 4 nur für \displaystyle x = 0 oder \displaystyle x = 4. Du solltest diese zwei verschiedenen Verwendungen nicht durcheinanderbringen.


Beispiel 4

Schreibe nicht

\displaystyle x^2 - 2x + 1 = (x - 1)^2 = 4\,,

wenn du die Gleichung \displaystyle x^2 - 2x + 1 = 4 löst, da dies zu Fehlschlüssen führen kann.

Schreibe eher

\displaystyle x^2 - 2x + 1 = 4\quad \Leftrightarrow\quad (x - 1) ^2 = 4.

(Es gibt auch noch einen dritten Sinn für die Verwendung des Gleichheitszeichens, der darin besteht, einen Ausdruck oder eine Zuordnungsvorschrift zu definieren.)

Der einfache Pfeil (\displaystyle \rightarrow) wird in der Mathematik oft verwendet, um mit verschiedenen Arten von Grenzwerten umzugehen: \displaystyle a \to \infty bedeutet, dass a zunimmt und nicht beschränkt ist (d.h. nach Unendlich geht). Du wirst vermutlich keinen einzigen einfachen Pfeil in diesem Kurs brauchen.


Gehe nicht unbedacht mit Klammern um

Da Multiplikation und Division eine höhere Priorität haben als Addition und Subtraktion, muss man Klammern nur verwenden, wenn Addition und Subtraktion zuerst durchgeführt werden sollen.

Beispiel 5

  1. Schreibe nicht \displaystyle 1 + x / \cos x, wenn du tatsächlich meinst \displaystyle (1 + x) / \cos x.
  2. Schreibe nicht \displaystyle 1 + (1/\sin x), wenn \displaystyle 1 + 1/\sin x reicht (auch wenn der erste Ausdruck formal nicht falsch ist).

Wenn du mit algebraischen Ausdrücken arbeitest, lässt man normalerweise das Zeichen für die Multiplikation weg. Zum Beispiel schreibt man kaum \displaystyle 4\cdot x\cdot y\cdot z, sonder eher \displaystyle 4xyz.

Der Verzicht auf das Multiplikationszeichen behandelt eine solche prioritär gegenüber anderen Multiplikationen und Divisionen (nicht aber gegenüber Potenzen). Wenn man \displaystyle 1/2R schreibt, heißt dies \displaystyle 1 / (2R) und nicht \displaystyle (1 / 2) R. Da dies eine Quelle für Mißverständnisse sein könnte, ist es nicht unüblich, die Klammern in beiden Situationen zu schreiben oder einen Bruchstrich zu verwenden.

Argumente von grundlegenden elementaren Funktionen werden ebenfalls ohne Klammer geschrieben. Deshalb solltest du nicht schreiben:

\displaystyle \cos (x), \displaystyle \sin (x), \displaystyle \tan (x), \displaystyle \cot (x), \displaystyle \lg (x) und \displaystyle \ln (x)\,,

sondern

\displaystyle \cos x, \displaystyle \sin x, \displaystyle \tan x, \displaystyle \cot x, \displaystyle \lg x und \displaystyle \ln x\,.

Tatsächlich solltest du \displaystyle \cos 2x und nicht \displaystyle \cos (2x) schreiben (da das Argument \displaystyle 2x durch das Aneinanderschreiben stärker gebunden ist), aber Klammern sind nötig, wenn du \displaystyle \sin (x + y) schreibst, genauso bei \displaystyle \sin(x / 2) oder \displaystyle (\sin x)^2 (wobei du letzteres auch als \displaystyle \sin ^2\!x schreiben kansst).

Noch Fragen zu diesem Kapitel? Dann schau nach im Kursforum (Du findest den Link in der Student Lounge) oder frag nach per Skype bei ombTutor My status My status

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Tipps fürs Lernen

Nützliche Websites

  • Ein Video Kurs über das Schreiben von mathematischen Texten von Donald Knuth (Ein Auszug des Kurses ist erhältlich in source form (eine .gz - gezippte Datei, zu öffnen mit gzip unter Unix/Linux oder mit winzip unter Windows) oder in Auszügen von Google books).
Von „http://wiki.sommarmatte.se/wikis/2009/bridgecourse1-TU-Berlin/index.php/5.2_Mathematische_Texte_schreiben“