Lösung 3.2:2

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Wir testen schließlich, ob die Lösungen die ursprüngliche Wurzelgleichung erfüllen:
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||<math>\ \text{Linke Seite} = \sqrt{2\cdot (-3)+7} = \sqrt{-6+7} = \sqrt{1} = 1</math> und
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Daher ist <math>x=1</math> die einzige Lösung der Gleichung (<math>x=-3</math> ist eine Scheinlösung).
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Hinweis: Es ist nicht wirklich notwendig zu testen, ob die Lösungen die Gleichung (*) erfüllen. Es ist aber immer notwendig zu testen, ob die Lösungen die ursprüngliche Wurzelgleichung erfüllen.

Aktuelle Version

Wir quadrieren zuerst die Gleichung

\displaystyle 2x+7 = (x+2)^2 (*)

und erhalten so eine Gleichung ohne Wurzeln. Wir erweitern die rechte Seite der Gleichung und erhalten

\displaystyle 2x+7=x^{2}+4x+4

oder

\displaystyle x^{2}+2x-3=0\,\textrm{.}

Quadratische Ergänzung auf der linken Seite gibt

\displaystyle x^2+2x-3 = (x+1)^2-1^2-3 = (x+1)^2-4\,\textrm{.}

Wir erhalten die Gleichung

\displaystyle (x+1)^2 = 4

mit den Lösungen

  • \displaystyle x=-1+\sqrt{4}=-1+2=1
  • \displaystyle x=-1-\sqrt{4}=-1-2=-3

Eine schnelle Kontrolle zeigt, dass die Lösungen die Gleichung (*) erfüllen:

  • x = -3:
\displaystyle \ \text{Linke Seite} = 2\cdot (-3)+7 = -6+7 = 1 und
\displaystyle \ \text{Rechte Seite} = (-3+2)^{2} = 1
  • x = 1:
\displaystyle \ \text{Linke Seite} = 2\cdot 1+7 = 2+7 = 9 und
\displaystyle \ \text{Rechte Seite} = (1+2)^2 = 9

Wir testen schließlich, ob die Lösungen die ursprüngliche Wurzelgleichung erfüllen:

  • x = -3:
\displaystyle \ \text{Linke Seite} = \sqrt{2\cdot (-3)+7} = \sqrt{-6+7} = \sqrt{1} = 1 und
\displaystyle \ \text{Rechte Seite} = -3+2 = -1
  • x = 1:
\displaystyle \ \text{Linke Seite} = \sqrt{2\cdot 1+7} = \sqrt{2+7} = \sqrt{9} = 3
\displaystyle \ \text{Rechte Seite} = 1+2 = 3

Daher ist \displaystyle x=1 die einzige Lösung der Gleichung (\displaystyle x=-3 ist eine Scheinlösung).


Hinweis: Es ist nicht wirklich notwendig zu testen, ob die Lösungen die Gleichung (*) erfüllen. Es ist aber immer notwendig zu testen, ob die Lösungen die ursprüngliche Wurzelgleichung erfüllen.

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