Lösung 4.2:5a
Aus Online Mathematik Brückenkurs 1
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Da der Winkel <math>135^{\circ} = 90^{\circ} + 45^{\circ}</math>, <math>135^{\circ}</math> im zweiten Quadranten liegt, bildet er den Winkel <math>45^{\circ}</math> mit der positiven ''y''-Achse | Da der Winkel <math>135^{\circ} = 90^{\circ} + 45^{\circ}</math>, <math>135^{\circ}</math> im zweiten Quadranten liegt, bildet er den Winkel <math>45^{\circ}</math> mit der positiven ''y''-Achse | ||
| - | + | <center>{{:4.2.5a - Solution - The unit circle with angle 90° + 45°}}</center> | |
Wir betrachten das Dreieck im zweiten Quadrant wie im Bild, um die Koordinaten des Punktes am Einheitskreis, der den Winkel <math>135^{\circ}</math> entspricht, zu bestimmen. | Wir betrachten das Dreieck im zweiten Quadrant wie im Bild, um die Koordinaten des Punktes am Einheitskreis, der den Winkel <math>135^{\circ}</math> entspricht, zu bestimmen. | ||
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| - | |width="50%" align="center"| | + | |width="50%" align="center"|{{:4.2.5a - Solution - An auxiliary triangle in the second quadrant}} |
|width="50%" align="left"|<math>\begin{align}\text{Gegenkathete} &= 1\cdot\sin 45^{\circ} = \dfrac{1}{\sqrt{2}}\\[5pt] \text{Ankathete} &= 1\cdot\cos 45^{\circ} = \frac{1}{\sqrt{2}}\end{align}</math> | |width="50%" align="left"|<math>\begin{align}\text{Gegenkathete} &= 1\cdot\sin 45^{\circ} = \dfrac{1}{\sqrt{2}}\\[5pt] \text{Ankathete} &= 1\cdot\cos 45^{\circ} = \frac{1}{\sqrt{2}}\end{align}</math> | ||
|} | |} | ||
Der Punkt hat also die Koordinaten <math>( -1/\!\sqrt{2}, 1/\!\sqrt{2})</math>. Daher ist <math>\cos 135^{\circ} = -1/\!\sqrt{2}\,</math>. | Der Punkt hat also die Koordinaten <math>( -1/\!\sqrt{2}, 1/\!\sqrt{2})</math>. Daher ist <math>\cos 135^{\circ} = -1/\!\sqrt{2}\,</math>. | ||
Aktuelle Version
Da der Winkel \displaystyle 135^{\circ} = 90^{\circ} + 45^{\circ}, \displaystyle 135^{\circ} im zweiten Quadranten liegt, bildet er den Winkel \displaystyle 45^{\circ} mit der positiven y-Achse
![[Image]](/wikis/2009/bridgecourse1-TU-Berlin/img_auth.php/metapost/5/4/b/54b0d1d65396a7cf3943eb02079e24c7.png)
Wir betrachten das Dreieck im zweiten Quadrant wie im Bild, um die Koordinaten des Punktes am Einheitskreis, der den Winkel \displaystyle 135^{\circ} entspricht, zu bestimmen.
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| \displaystyle \begin{align}\text{Gegenkathete} &= 1\cdot\sin 45^{\circ} = \dfrac{1}{\sqrt{2}}\\[5pt] \text{Ankathete} &= 1\cdot\cos 45^{\circ} = \frac{1}{\sqrt{2}}\end{align} |
![[Image]](/wikis/2009/bridgecourse1-TU-Berlin/img_auth.php/metapost/d/5/8/d58fd6ca09445611dcbe705d024fa8c5.png)
Der Punkt hat also die Koordinaten \displaystyle ( -1/\!\sqrt{2}, 1/\!\sqrt{2}). Daher ist \displaystyle \cos 135^{\circ} = -1/\!\sqrt{2}\,.
