Lösung 4.2:3e

Aus Online Mathematik Brückenkurs 1

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Die Gerade mit dem Winkel <math>3\pi/4</math> zur positiven ''x''-Achse wird den Einheitskreis im zweiten Quadranten schneiden.
Die Gerade mit dem Winkel <math>3\pi/4</math> zur positiven ''x''-Achse wird den Einheitskreis im zweiten Quadranten schneiden.
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[[Image:4_2_3_e1.gif|center]]
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<center>{{:4.2.3e - Solution - The unit circle with angle 3π/4 and point (cos (3π/4), sin (3π/4))}}</center>
Nachdem die ''y''-Koordinate vom Schnittpunkt positiv ist, ist auch <math>\sin (3\pi/4)</math> positiv.
Nachdem die ''y''-Koordinate vom Schnittpunkt positiv ist, ist auch <math>\sin (3\pi/4)</math> positiv.
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Wir betrachten das Dreieck im zweiten Quadrant, das die Gerade mit dem Winkel <math>\sin (3\pi/4)</math> zur ''x''-Achse als Hypotenuse hat und bei dem die Katheten parallel mit den Koordinatenachsen sind:
Wir betrachten das Dreieck im zweiten Quadrant, das die Gerade mit dem Winkel <math>\sin (3\pi/4)</math> zur ''x''-Achse als Hypotenuse hat und bei dem die Katheten parallel mit den Koordinatenachsen sind:
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[[Image:4_2_3_e_2.gif|center]]
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<center>{{:4.2.3e - Solution - An auxiliary triangle in the second quadrant}}</center>
In diesen Dreieck sehen wir, dass der Winkel <math>\alpha</math> zwischen der Hypotenuse und der ''y''-Achse der Teil des Winkels <math>3\pi/4</math> ist, der im zweiten Quadranten liegt. Also ist <math>\alpha = 3\pi/4 - \pi/2 = \pi/4\,</math>. Wir können nun die Seiten des Dreiecks berechnen:
In diesen Dreieck sehen wir, dass der Winkel <math>\alpha</math> zwischen der Hypotenuse und der ''y''-Achse der Teil des Winkels <math>3\pi/4</math> ist, der im zweiten Quadranten liegt. Also ist <math>\alpha = 3\pi/4 - \pi/2 = \pi/4\,</math>. Wir können nun die Seiten des Dreiecks berechnen:
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|width="50%" align="center"|[[Image:4_2_3_e3.gif|center]]
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|width="50%" align="center"|{{:4.2.3e - Solution - A triangle with hypotenuse 1 and angle π/4}}
|width="50%" align="left"|<math>\begin{align}\text{Gegenkathete} &= 1\cdot\sin\frac{\pi}{4} = \frac{1}{\sqrt{2}}\\[5pt] \text{Ankathete} &= 1\cdot\cos\frac{\pi}{4} = \frac{1}{\sqrt{2}}\end{align}</math>
|width="50%" align="left"|<math>\begin{align}\text{Gegenkathete} &= 1\cdot\sin\frac{\pi}{4} = \frac{1}{\sqrt{2}}\\[5pt] \text{Ankathete} &= 1\cdot\cos\frac{\pi}{4} = \frac{1}{\sqrt{2}}\end{align}</math>
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Aktuelle Version

Die Gerade mit dem Winkel \displaystyle 3\pi/4 zur positiven x-Achse wird den Einheitskreis im zweiten Quadranten schneiden.

[Image]

Nachdem die y-Koordinate vom Schnittpunkt positiv ist, ist auch \displaystyle \sin (3\pi/4) positiv.

Wir betrachten das Dreieck im zweiten Quadrant, das die Gerade mit dem Winkel \displaystyle \sin (3\pi/4) zur x-Achse als Hypotenuse hat und bei dem die Katheten parallel mit den Koordinatenachsen sind:

[Image]

In diesen Dreieck sehen wir, dass der Winkel \displaystyle \alpha zwischen der Hypotenuse und der y-Achse der Teil des Winkels \displaystyle 3\pi/4 ist, der im zweiten Quadranten liegt. Also ist \displaystyle \alpha = 3\pi/4 - \pi/2 = \pi/4\,. Wir können nun die Seiten des Dreiecks berechnen:

[Image]

\displaystyle \begin{align}\text{Gegenkathete} &= 1\cdot\sin\frac{\pi}{4} = \frac{1}{\sqrt{2}}\\[5pt] \text{Ankathete} &= 1\cdot\cos\frac{\pi}{4} = \frac{1}{\sqrt{2}}\end{align}

Also hat die Schnittstelle zwischen der geraden und dem Einheitskreis die Koordinaten \displaystyle (-1/\!\sqrt{2}, 1/\!\sqrt{2}), somit ist \displaystyle \sin (3\pi/4) = 1/\!\sqrt{2}\,.

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