5.2 Mathematische Texte schreiben

Aus Online Mathematik Brückenkurs 1

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'''Lernziele'''
'''Lernziele'''
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Nach diesem Abschnitt sollten Sie folgendes können:
+
Nach diesem Abschnitt solltest du folgendes können:
* Mathematische Sachverhalte ausdrücken
* Mathematische Sachverhalte ausdrücken
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}}
}}
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==Hinweise==
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== A - Hinweise==
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====Erläutern Sie ihre Lösung====
+
==== B - Erläutere deine Lösung====
Der wichtigste Hinweis ist:
Der wichtigste Hinweis ist:
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<center>Erläutern sie stets hinreichend ihre Lösung.</center>
+
<center>Erläutere deine Lösung stets ausreichend.</center>
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Die Lösung eines Problems oder einer Aufgabe darf nicht nur darin bestehen, die verwendete Formel zu erwähnen, sondern muss eine Beschreibung enthalten, wie gedacht wurde. Verwenden Sie Worte, um dies zu tun! Stellen Sie sich vor, Sie würden die Lösung einem Klassenkameraden erklären, der Schwierigkeiten damit hat, die einzelnen Schritte zu begreifen. Sie brauchen nicht jede kleine Rechnung zu erklären, jedoch dürfen Sie keinen wichtigen Schritt auslassen. Wenn Sie diesen Rat befolgen, werden Sie 80% dessen erreicht haben, was nötig ist, um eine angemessene Lösung zu liefern.
+
Die Lösung eines Problems oder einer Aufgabe darf nicht nur darin bestehen, die verwendete Formel zu erwähnen, sondern muss eine Beschreibung enthalten, wie gedacht wurde. Verwende Worte, um dies zu tun! Stelle dir vor, du würdest die Lösung einem Klassenkameraden erklären, der Schwierigkeiten damit hat, die einzelnen Schritte zu begreifen. Du brauchst nicht jede kleine Rechnung zu erklären, jedoch darfst du keinen wichtigen Schritt auslassen. Wenn du diesen Rat befolgst, wirst du 80% dessen erreicht haben, was nötig ist, um eine angemessene Lösung zu liefern.
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====Schreiben Sie gutes Deutsch====
+
==== C - Schreibe gutes Deutsch====
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Obwohl dies keine Hausaufgabe im Fach Deutsch ist und der mathematische Inhalt selbstverständlich am wichtigsten ist, sollten Sie trotzdem stets auf Ausdrucksweise und grammatikalische Sauberkeit etc. achten.
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Obwohl dies keine Hausaufgabe im Fach Deutsch ist und der mathematische Inhalt selbstverständlich am wichtigsten ist, solltest du trotzdem stets auf Ausdrucksweise und grammatikalische Sauberkeit etc. achten. Wenn deine Lösung zu viele sprachliche Fehler aufweist, kann dies einen sehr negativen Eindruck hinterlassen und damit die Überzeugungskraft deiner Lösung schmälern. Deine Ausdrucksweise ist wichtig!
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Although this is not an assignment in English and, of course, it is the
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mathematical content that is the most important, you should nonetheless think about things like typos, grammatical errors, etc. If your solution has too many language errors it can give a very negative impression and affect the credibility of the solution. Impression is important!
+
-
====Make a clean copy of the solution====
+
==== D - Schreibe deine Lösung zum Schluss sauber auf====
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After you have solved the problem, you should rewrite the solution. Then you can concentrate on its presentation; this even may lead to improvements in the solution itself. A tip is to ask someone else to read your solution to detect ambiguities. It is better to postpone the presentation phase for a later date, so that when you solve the problem the first time you are able to work freely and not commit yourself too early to a specific solution method.
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Nachdem du das Problem gelöst hast, solltest du deine Lösung aufschreiben. Dabei kannst du dich auf die Präsentation der Lösung konzentrieren, was sogar zu Verbesserungen an der Lösung selbst führen kann. Ein Tipp ist, eine andere Person deine Lösung lesen zu lassen, um Unklarheiten zu entdecken. Es ist besser, die Präsentationsphase auf ein späteres Datum zu verschieben, damit du, wenn du zum ersten Mal das Problem löst, frei arbeiten kannst und dich nicht zu früh auf eine bestimmte Lösungsmethode festlegen musst.
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When you enter the solution, be sure to enter it as text, rather than (say) a screen capture from a word processor. It may be easier to write the solution on your own computer using your favourite program, but you should remember that in the next phase your solution is to be included as part of a group project and thus it is important that the solution can be edited, which a screen capture cannot.
+
Wenn du eine Lösung eingibst, verwende ein Textformat und keinen Screenshot eines Textverarbeitungsprogramms oder gar eine eingescannte handschriftliche Lösung. Es mag einfacher für dich sein, die Lösung auf deinem eigenen PC mit deinen bevorzugten Programm oder mit der Hand zu schreiben, aber im nächsten Schritt wird deine Lösung als Teil in der Gruppenarbeit enthalten sein. Deshalb ist es notwendig, dass deine Lösung für die Gruppe editierbar bleibt, was ein Screenshot oder Scan nicht leistet.
-
====A clear answer====
 
-
Write a clear answer at the end. This is especially important if the solution is long and the answer is scattered in various parts of the text. However, there are problems where the actual solution constitutes the answer (e.g. "Show that ...") and then of course no separate answer at the end is required.
 
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Simplify the answer as far as possible.
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==== E - Klare Antworten====
 +
Schreibe zum Schluss eine klare Antwort. Dies ist besonders dann notwendig, wenn die Lösung lang und die Antwort auf verschiedene Textstellen verteilt ist. Allerdings gibt es auch Probleme vom Typ "Zeigen Sie...". Dann ist zum Schluss keine separate Antwort nötig.
 +
 
 +
Vereinfache deine Antwort so weit wie möglich.
<div class="exempel">
<div class="exempel">
Zeile 52: Zeile 51:
<ol type="a">
<ol type="a">
-
<li>Do not return the answer <math>\sqrt8</math>, but give <math>2\sqrt2</math> as the answer. </li>
+
<li>Antworte nicht <math>\sqrt8</math>, sondern <math>2\sqrt2</math>. </li>
-
<li>Do not give the answer as <math>\sin^2 x + \cos^2x + 2\sin 2x</math> but as <math>1 + 2\sin 2x</math>.</li>
+
<li>Antworte nicht <math>\sin^2 x + \cos^2x + 2\sin 2x</math>, sondern <math>1 + 2\sin 2x</math>.</li>
-
<li> Do not give the answer as <math>x = \left\{\begin{align}&\pi/4+ n\pi\\ &3\pi / 4 + n\pi\end{align}\right.\ \ (n\ \text{integer})\ </math> but as <math>\ x = \pi / 4 + n\pi / 2\ \ (n\ \text{integer})</math>.</li>
+
<li>Antworte nicht <math>x = \left\{\begin{align}&\pi/4+ n\pi\\ &3\pi / 4 + n\pi\end{align}\right.\ \ (n\ \text{ganzzahlig})\ </math>, sondern <math>\ x = \pi / 4 + n\pi / 2\ \ (n\ \text{ganzzahlig})</math>.</li>
</ol>
</ol>
</div>
</div>
-
====Try and check sub-steps and answers====
+
==== F - Gehe schrittweise vor====
-
It can happen that when you solve some equations so called spurious roots turn up as a consequence of the method of solution that is being used. In these cases, explain why spurious roots may have appeared and test the solutions to see which are real solutions and which are spurious roots.
+
Es kommt vor, dass du sogenannte Scheinlösungen erhälst, wenn du Gleichungen löst. Erkläre in diesem Fall, warum diese auftauchten und teste die Lösungen, um zu erkennen, welche tatsächlich Lösungen sind.
<!--
<!--
<div class="regel">
<div class="regel">
-
'''Spurious roots '''
+
'''Scheinlösungen'''
-
*Can occur by squaring
+
*können beim Quadrieren auftauchen
-
*Can occur by multiplying equations with factors containing <math>x</math>
+
*können beim Multiplizieren einer Gleichung mit <math>x</math> auftauchen
-
*Roots outside the functions definition volume are false
+
*Wurzeln außerhalb des Definitionsgebietes sind falsch.
</div>
</div>
-->
-->
-
Lost solutions. Eg a factor on both sides of the equation is cancelled out and one does not realize that the equation obtained by setting this factor to zero provides additional solutions.
+
Verlorene Lösungen. Wenn z.B. ein Faktor auf beiden Seiten einer Gleichung herausgekürzt wird und nicht bemerkt wird, dass die Gleichung, die entsteht, wenn man den betreffenden Faktor gleich 0 setzt, zusätzliche Lösungen liefert.
<!-- Example -->
<!-- Example -->
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'''Beispiel 2'''
'''Beispiel 2'''
-
If you solve the equation <math>2x^2-5x=0</math> by first moving <math>5x</math> to the right-hand side,
+
Wenn du die Gleichung <math>2x^2-5x=0</math> "löst", indem du <math>5x</math> auf die rechte Seite bringst,
{{Abgesetzte Formel||<math>2x^2=5x\,,</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>2x^2=5x\,,</math>}}
-
and then cancel <math>x</math> on both sides,
+
und dann <math>x</math> auf beiden Seiten kürzt
{{Abgesetzte Formel||<math>2x=5\,,</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>2x=5\,,</math>}}
-
you will lose the solution <math>x=0</math>.
+
verlierst du die Lösung <math>x=0</math>.
-
If you instead factorize the left-hand side,
+
Wenn du stattdessen die linke Seite faktorisierst
{{Abgesetzte Formel||<math>x(2x-5) = 0\,\textrm{,}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>x(2x-5) = 0\,\textrm{,}</math>}}
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you will be able to read off both solutions: <math>x=0</math> and <math>2x-5=0</math> (i.e. <math>x=\tfrac{5}{2}</math>).
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findest du beide Lösungen: <math>x=0</math> und <math>2x-5=0</math> (d.h. <math>x=\tfrac{5}{2}</math>).
-
Go to [[2.1 Exercises#Exercise 2.1:3 |Exercise 2.1:3]] to practice factorization.
+
Gehe zu [[2.1 Übungen#Übung 2.1:3 |Übung 2.1:3]] um Faktorisieren zu üben.
</div>
</div>
-
An important part of the solution process is to think of reasonable methods to check the answer. For example, one might substitute the solution of an equation back into that equation, and make sure that it really is a solution, because one may well have calculated wrongly (do not confuse this with the investigation of spurious roots). This may also be done for the sub-steps in a solution.
+
Ein wichtiger Teil des Lösungsprozesses ist es, Plausibilitätsprüfungen oder Proben zu nutzen, um eine Lösung zu prüfen. Zum Beispiel kann man die Lösung einer Gleichung wieder in die Gleichung einsetzen, um sicher zu gehen, dass diese wirklich eine Lösung ist, weil man sich verrechnet haben könnte
 +
(Vorsicht: verwechsele diese Vorgehensweise nicht mit dem Untersuchen auf Scheinlösungen). Diese Vorgehensweise kannst du auch für Teilschritte durchführen.
-
Another point is to assess if the answer is reasonable. Insert values for some of the parameters and ensure that you get the right answer. Eg what happens if <math>a = 0</math>, <math>a = 1</math> or a goes to infinity?
+
Ein weiterer Punkt ist abzuschätzen, ob die Antwort plausibel ist. Setze Werte für einige der Parameter ein und vergewissere dich damit, dass du die richtige Lösung hast. Was passiert z.B. wenn <math>a = 0</math>, <math>a = 1</math> oder wenn a nach unendlich geht.
-
====Draw clear figures====
 
-
A figure may explain introduced symbols or reasoning many times
 
-
better than text, so please use figures. Bear in mind to draw them clearly and do not overload a figure with too many details. It may be better to have several nearly identical figures where each illustrates one point rather than have a great combination-figure which illustrates everything.
 
 +
==== G - Zeichne klare Bilder====
 +
Ein Bild ist oft viel besser als Text, um eingeführte Symbole zu erklären oder zu verdeutlichen. Verwende Bilder! Vergiss nicht, diese übersichtlich zu zeichnen und überlade sie nicht mit zu vielen Details.
 +
Es ist oft besser, mehrere, fast identische Bilder zu haben, die jeweils einen Gedanken erläutern, als ein großes Bild, das alles enthält.
-
==Treat formulas as part of the text==
+
== H - Behandle Formeln als Teil des Texts==
-
It is important that you write your solution in a way that makes it easy for others to follow. To help you we will present some don'ts and dos below to illustrate some tips and common errors that can occur when you mix formulas and text.
+
Es ist wichtig, dass du deine Lösung in einer Weise aufschreibst, die es anderen leicht macht, ihr zu folgen. Um dir dabei zu helfen, präsentieren wir dir hier einige Beispiele, um einige Tipps und häufige Fehler zu illustrieren, die auftauchen können, wenn man Formeln und Text mischt.
<div class="regel">
<div class="regel">
-
'''Advice about mixing formulas and text:'''
+
'''Rat zum Mischen von Formeln und Text:'''
-
# Write the explanatory text on previos line
+
# Schreibe den erläuternden Text in die vorige Linie
-
# Think about the punctuation
+
# Beachte die Interpunktion
-
# Write displayed equations with indentation (or centered)
+
# Schreibe Gleichungen eingerückt oder zentriert.
</div>
</div>
-
Formulas should not be seen as something that is extraneous to the text (or vice versa), but both text and formulas are to be integrated together in a linear flow. Therefore don´t write the text inside brackets behind the formulas. Instead, write the explanatory text on the previous line.
+
Formeln sollten nicht als etwas betrachtet werden, welches ohne Bezug zum Text ist (bzw. umgekehrt), sondern als ein Baustein mit einer klaren Linie. Schreibe deshalb Text nicht eingeklammert hinter Formeln, sondern als Erläuterung, die der Formel voraus geht.
<div class="exempel">
<div class="exempel">
-
''' Don't '''
+
''' Schlecht '''
-
''formula'' (text text text text text text ...)
+
''Formel'' (text text text text text text ...)
-
''formula'' (text text text text text text ...)
+
''Formel'' (text text text text text text ...)
</div>
</div>
<div class="exempel">
<div class="exempel">
-
''' Do '''
+
''' Gut '''
Text text text text
Text text text text
-
::''formula''.
+
::''Formel''.
Text text text text
Text text text text
-
::''formula''.
+
::''Formel''.
</div>
</div>
-
Formulas can be either written as part of the text or as separate formulas. When formulas are separated from the text they appear on their own line and are either centered or slightly indented.
+
Formeln können als Teil des Textes oder abgesetzt geschrieben werden. Wenn Formeln vom Text abgesetzt werden, erscheinen Sie in einer eigenen Zeile und sind entweder eingerückt oder zentriert.
-
<div class="exempel">
+
''' Gut '''
-
''' Do '''
+
-
...text text text ''<span style="color:green">formula</span>'' text text text text.
+
...text text text ''<span style="color:green">Formel</span>'' text text text text.
Text text text
Text text text
-
::''<span style="color:green">formula</span>''
+
::''<span style="color:green">Formel</span>''
text text text text text text text text...
text text text text text text text text...
-
(Note how the indentation highlights both the explanatory text and the formula. )
+
(Beachte, dass das Einrücken sowohl die Formel als auch den Text hervorhebt.)
</div>
</div>
-
A common mistake is to use a colon in front of all displayed formulas.
+
Ein häufiger Fehler ist es, einen Doppelpunkt vor einer Formel zu verwenden.
<div class="exempel">
<div class="exempel">
-
''' Don't'''
+
''' Schlecht'''
-
...which provides that'''<span style="color:red">:</span>'''
+
...was zeigt, dass'''<span style="color:red">:</span>'''
-
::''formula''
+
::''Formel''
-
We start...
+
Wir starten mit...
-
(Note also there should be a full stop after the formula above.)
+
(Beachte, dass hinter der Formel auch ein Punkt sein sollte.)
</div>
</div>
-
As a formula is to be part of the text, it must be treated as part of the sentence. Think therefore about the punctuation. For example, do not forget the full stop after a formula if it ends a sentence.
+
Da eine Formel ein Teil des Texts ist, sollte sie auch als Teil des Satzes betrachtet werden. Achte deshalb auf die korrekte Interpunktion. Vergiss insbesondere nicht den Punkt am Ende eines Satzes.
 +
 
<div class="exempel">
<div class="exempel">
-
''' Do '''
+
''' Gut '''
-
... and it is
+
... und damit gilt
-
::''formula'''''<span style="color:green;">.</span>'''
+
::''Formel'''''<span style="color:green;">.</span>'''
-
The next step is ...
+
Der nächste Schritt ist...
-
(Note the full stop after the formula above.)
+
(Beachte den Punkt hinter der Formel.)
</div>
</div>
-
A bad habit is excessive numbering. For example, to put a number in front of each step in a solution (numbering should be used for enumeration). The extra digits do not add anything but rather distract. You seldom need to refer back to the individual steps, and when you need to, you can often write something of the sort "when we squared the equation" etc.
+
Eine schlechte Gewohnheit ist umfassendes Nummerieren. Ein Beispiel hierfür ist, jeden Schritt in einer Lösung zu nummerieren. Die zusätzlichen Ziffern helfen nicht, lenken aber ab. Selten musst du später auf einzelne Schritte innerhalb einer Rechnung verweisen, und wenn du musst, kannst du oft etwas wie "als wir die Gleichung quadrierten" etc. schreiben.
 +
 
<div class="exempel">
<div class="exempel">
-
''' Don't'''
+
''' Schlecht'''
'''<span style="color:red;">3.</span>''' text text text text text text text text ...
'''<span style="color:red;">3.</span>''' text text text text text text text text ...
-
::''formula''
+
::''Formel''
'''<span style="color:red;">4.</span>''' text text text text text text text text ...
'''<span style="color:red;">4.</span>''' text text text text text text text text ...
Zeile 199: Zeile 200:
</div>
</div>
-
Sometimes one wants to refer back to a separate formula or equation, and in this case it can be given a number (or star) in brackets in the right or left margin.
+
Manchmal möchte man auf eine abgesetzte Formel oder Gleichung verweisen. In diesem Fall kann dies eine Nummer (oder ein Stern) sein in Klammern auf dem rechten oder linken Rand.
<div class="exempel">
<div class="exempel">
-
''' Do'''
+
'''Gut'''
...text text text text text text text text
...text text text text text text text text
::{|width="100%"
::{|width="100%"
-
|align="left" width="100%"|''formula''.
+
|align="left" width="100%"|''Formel''.
||<span style="color:green;">(1)</span>
||<span style="color:green;">(1)</span>
|}
|}
Zeile 213: Zeile 214:
Text text <span style="color: green;">(1)</span> text text text text text text
Text text <span style="color: green;">(1)</span> text text text text text text
-
::''formula''.
+
::''Formel''.
Text text text text text text text text...
Text text text text text text text text...
Zeile 220: Zeile 221:
-
==Common errors==
+
== I - Häufige Fehler==
-
====Be careful with arrows and similarities====
+
====Sei vorsichtig mit Pfeilen und ähnlichem====
-
There is a difference between <math>\Rightarrow</math> (implication arrow), <math>\Leftrightarrow</math> (equivalence arrow) and <math>=</math> (equals sign). For two equations that are known a priori to have the same solutions one uses the equivalence arrow <math>\Leftrightarrow</math> to represent this.
+
Es gibt einen Unterschied zwischen <math>\Rightarrow</math> (Implikationspfeil), <math>\Leftrightarrow</math> (Äquivalenzpfeil) und <math>=</math> (Gleichheitszeichen). Für zwei Gleichungen, für die direkt bekannt ist, dass sie die gleichen Lösungen haben, verwendet man <math>\Leftrightarrow</math>, um dies auszudrücken.
-
However, if we write "Equation 1 <math>\Rightarrow</math> Equation 2", it means that all solutions that Equation 1 has, Equation 2 also has, (but Equation 2 may have more solutions).
+
Wenn wir jedoch "Gleichung 1 <math>\Rightarrow</math> Gleichung 2" schreiben, heisst dies, dass Gleichung 2 alle Lösungen hat, die auch Gleichung 1 hat, nicht aber umgekehrt. (D.h. Gleichung 2 könnte mehr Lösungen haben.)
<div class="exempel">
<div class="exempel">
Zeile 236: Zeile 237:
</div>
</div>
-
One often does not bother to write the symbol <math>\Leftrightarrow</math> between the different steps in a solution when they are on different lines (and thus the equivalence is implied). It is also often better to use explanatory text instead of arrows between the different steps in the solution. Do not use the implication arrow as a general continuation symbol (in the sense "The next step is").
+
Oft kümmert man sich nicht darum, das Symbol <math>\Leftrightarrow</math> zwischen verschiedene Schritte einer Lösung zu schreiben, solange sie in verschiedenen Zeilen stehen (und damit die Äquivalenz implizieren). Oft ist es besser, erklärenden Text zu verwenden als Pfeile in den einzelnen Schritten. Verwende den Implikationspfeil keinesfalls als allgemeines Symbol zur Fortsetzung einer Lösung (im Sinne von "der nächste Schritt ist").
 +
 
 +
Das Gleichheitszeichen (<math>=</math>) wird üblicherweise auf zwei Arten benutzt. Erstens, um auszudrücken, dass zwei Dinge gleich sind, d.h. <math>(x - 2)^2 = x^2-4x + 4</math>, was für alle <math>x</math> gilt und zweitens in Gleichungen, wo beide Seiten gleich sind für bestimmte <math>x</math>. Zum Beispiel gilt <math>(x - 2) ^2 = 4</math> nur für <math>x = 0</math> oder <math>x = 4</math>. Du solltest diese zwei verschiedenen Verwendungen nicht durcheinanderbringen.
-
The equal sign (<math>=</math>) is commonly used in two senses, firstly between things that are identical, eg <math>(x - 2)^2 = x^2-4x + 4</math> which is true for all <math>x</math>, and secondly in equations in which both sides are equal for some <math>x</math>, such as <math>(x - 2) ^2 = 4</math>, which only is satisfied if <math>x = 0</math> or <math>x = 4</math>. You should not mix these two different uses of the same symbol.
 
<div class="exempel">
<div class="exempel">
'''Beispiel 4'''
'''Beispiel 4'''
-
Don't write
+
Schreibe nicht
-
:<math>x^2 - 2x + 1 = (x - 1)^2 = 4</math>
+
:<math>x^2 - 2x + 1 = (x - 1)^2 = 4\,,</math>
-
when solving the equation <math>x^2 - 2x + 1 = 4</math>, since it can lead to misinterpretations.
+
wenn du die Gleichung <math>x^2 - 2x + 1 = 4</math> löst, da dies zu Fehlschlüssen führen kann.
-
Write rather
+
Schreibe eher
:<math>x^2 - 2x + 1 = 4\quad \Leftrightarrow\quad (x - 1) ^2 = 4</math>.
:<math>x^2 - 2x + 1 = 4\quad \Leftrightarrow\quad (x - 1) ^2 = 4</math>.
Zeile 255: Zeile 257:
</div>
</div>
-
(There is also a third use of the equals sign, which occurs when defining an expression or for example an operation.)
+
(Es gibt auch noch einen dritten Sinn für die Verwendung des Gleichheitszeichens, der darin besteht, einen Ausdruck oder eine Zuordnungsvorschrift zu definieren.)
-
Simple arrow (<math>\rightarrow</math>) is used in mathematics often to handle different kinds of limits: <math>a \to \infty</math> means that a increases without limit (goes towards infinity). You will probably not need to use a simple arrow in this course.
+
Der einfache Pfeil (<math>\rightarrow</math>) wird in der Mathematik oft verwendet, um mit verschiedenen Arten von Grenzwerten umzugehen: <math>a \to \infty</math> bedeutet, dass a zunimmt und nicht beschränkt ist (d.h. nach Unendlich geht). Du wirst vermutlich keinen einzigen einfachen Pfeil in diesem Kurs brauchen.
-
====Do not be careless with brackets====
+
 
-
Since multiplication and division have higher priority than addition and subtraction, one must use brackets when addition and/or subtraction is to be carried out first.
+
====Gehe nicht unbedacht mit Klammern um====
 +
Da Multiplikation und Division eine höhere Priorität haben als Addition und Subtraktion, muss man Klammern nur verwenden, wenn Addition und Subtraktion zuerst durchgeführt werden sollen.
<div class="exempel">
<div class="exempel">
Zeile 266: Zeile 269:
<ol type="a">
<ol type="a">
-
<li>Do not write <math>1 + x / \cos x</math> when you really mean <math>(1 + x) / \cos x</math>.</li>
+
<li>Schreibe nicht <math>1 + x / \cos x</math>, wenn du tatsächlich meinst <math>(1 + x) / \cos x</math>.</li>
-
<li>Do not write <math>1 + (1/\sin x)</math> when <math>1 + 1/\sin x</math> will do (even if the first expression is, formally, not wrong).</li>
+
<li>Schreibe nicht <math>1 + (1/\sin x)</math>, wenn <math>1 + 1/\sin x</math> reicht (auch wenn der erste Ausdruck formal nicht falsch ist).</li>
</ol>
</ol>
</div>
</div>
-
When dealing with algebraic expressions one usually omits the multiplication sign. For example, one almost never would write <math>4\times x\times y\times z</math> but rather <math>4xyz</math>.
+
Wenn du mit algebraischen Ausdrücken arbeitest, lässt man normalerweise das Zeichen für die Multiplikation weg. Zum Beispiel schreibt man kaum <math>4\cdot x\cdot y\cdot z</math>, sonder eher <math>4xyz</math>.
-
This omission of the multiplication gives precedence over other multiplication and division (but not exponentiation). When one therefore writes <math>1/2R</math> it means <math>1 / (2R)</math> and not <math>(1 / 2) R</math>. Since this can be a source of misunderstanding, it is not entirely unusual to print the brackets in both situations.
+
Der Verzicht auf das Multiplikationszeichen behandelt eine solche prioritär gegenüber anderen Multiplikationen und Divisionen (nicht aber gegenüber Potenzen). Wenn man <math>1/2R</math> schreibt, heißt dies <math>1 / (2R)</math> und nicht <math>(1 / 2) R</math>. Da dies eine Quelle für Mißverständnisse sein könnte, ist es nicht unüblich, die Klammern in beiden Situationen zu schreiben oder einen Bruchstrich zu verwenden.
-
Arguments to the basic elementary functions are written without parentheses. Therefore, you should not write
+
Argumente von grundlegenden elementaren Funktionen werden ebenfalls ohne Klammer geschrieben. Deshalb solltest du nicht schreiben:
-
<center><math>\cos (x)</math>, <math>\sin (x)</math>, <math>\tan (x)</math>, <math>\cot (x)</math>, <math>\lg (x)</math> and <math>\ln (x)</math></center>
+
<center><math>\cos (x)</math>, <math>\sin (x)</math>, <math>\tan (x)</math>, <math>\cot (x)</math>, <math>\lg (x)</math> und <math>\ln (x)\,,</math></center>
-
but
+
sondern
-
<center><math>\cos x</math>, <math>\sin x</math>, <math>\tan x</math>, <math>\cot x</math>, <math>\lg x</math> and <math>\ln x</math>.</center>
+
<center><math>\cos x</math>, <math>\sin x</math>, <math>\tan x</math>, <math>\cot x</math>, <math>\lg x</math> und <math>\ln x\,.</math></center>
 +
 
 +
Tatsächlich solltest du <math>\cos 2x</math> und nicht <math>\cos (2x)</math> schreiben (da das Argument <math>2x</math> durch das Aneinanderschreiben stärker gebunden ist), aber Klammern sind nötig, wenn du <math>\sin (x + y)</math> schreibst, genauso bei <math>\sin(x / 2)</math> oder <math>(\sin x)^2</math> (wobei du letzteres auch als <math>\sin ^2\!x</math> schreiben kansst).
 +
<br><br>
 +
 
 +
Noch Fragen zu diesem Kapitel? Dann schau nach im Kursforum (Du findest den Link in der Student Lounge) oder frag nach per Skype bei ombTutor <skype style="call" action="call">ombTutor</skype> <skype style="chat" action="chat">ombTutor</skype>
 +
 
 +
Keine Fragen mehr? Dann mache weiter mit den '''[[5.2 Übungen|Übungen]]''' .
-
In fact you should write <math>\cos 2x</math> and not <math>\cos (2x)</math> (since the argument <math>2x</math> is tightly linked together via a juxtaposition), but brackets are necessary when you write <math>\sin (x + y)</math>;
 
-
<math>\sin(x / 2)</math> or <math>(\sin x)^2</math> (which you, alternatively, can write as <math>\sin ^2\!x</math>).
 
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'''Nützliche Websites'''
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* [http://scpd.stanford.edu/knuth/index.jsp A video course] in mathematical writing by Donald Knuth (A compendium accompaning the course is avalable in [http://www-cs-faculty.stanford.edu/~knuth/papers/mathwriting.tex.gz source form] or in excerpts from [http://books.google.com/books?id=dDOehHMbUMcC&printsec=frontcover&dq=inauthor:Donald+inauthor:Ervin+inauthor:Knuth&lr=&ei=JbN1SZfvFZysMqPPhM8M&hl=sv#PPP9,M1 Google books]).
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* [http://scpd.stanford.edu/knuth/index.jsp Ein Video Kurs] über das Schreiben von mathematischen Texten von Donald Knuth (Ein Auszug des Kurses ist erhältlich in [http://www-cs-faculty.stanford.edu/~knuth/papers/mathwriting.tex.gz source form] (eine .gz - gezippte Datei, zu öffnen mit gzip unter Unix/Linux oder mit winzip unter Windows) oder in Auszügen von [http://books.google.com/books?id=dDOehHMbUMcC&printsec=frontcover&dq=inauthor:Donald+inauthor:Ervin+inauthor:Knuth&lr=&ei=JbN1SZfvFZysMqPPhM8M&hl=sv#PPP9,M1 Google books]).
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Aktuelle Version

       Theorie          Übungen      

Inhalt:

  • Allgemeine Hinweise
  • Mischen von Formel und Text
  • Häufige Fehler

Lernziele

Nach diesem Abschnitt solltest du folgendes können:

  • Mathematische Sachverhalte ausdrücken
  • Mathematische Sachverhalte erklären

A - Hinweise

B - Erläutere deine Lösung

Der wichtigste Hinweis ist:

Erläutere deine Lösung stets ausreichend.

Die Lösung eines Problems oder einer Aufgabe darf nicht nur darin bestehen, die verwendete Formel zu erwähnen, sondern muss eine Beschreibung enthalten, wie gedacht wurde. Verwende Worte, um dies zu tun! Stelle dir vor, du würdest die Lösung einem Klassenkameraden erklären, der Schwierigkeiten damit hat, die einzelnen Schritte zu begreifen. Du brauchst nicht jede kleine Rechnung zu erklären, jedoch darfst du keinen wichtigen Schritt auslassen. Wenn du diesen Rat befolgst, wirst du 80% dessen erreicht haben, was nötig ist, um eine angemessene Lösung zu liefern.

C - Schreibe gutes Deutsch

Obwohl dies keine Hausaufgabe im Fach Deutsch ist und der mathematische Inhalt selbstverständlich am wichtigsten ist, solltest du trotzdem stets auf Ausdrucksweise und grammatikalische Sauberkeit etc. achten. Wenn deine Lösung zu viele sprachliche Fehler aufweist, kann dies einen sehr negativen Eindruck hinterlassen und damit die Überzeugungskraft deiner Lösung schmälern. Deine Ausdrucksweise ist wichtig!

D - Schreibe deine Lösung zum Schluss sauber auf

Nachdem du das Problem gelöst hast, solltest du deine Lösung aufschreiben. Dabei kannst du dich auf die Präsentation der Lösung konzentrieren, was sogar zu Verbesserungen an der Lösung selbst führen kann. Ein Tipp ist, eine andere Person deine Lösung lesen zu lassen, um Unklarheiten zu entdecken. Es ist besser, die Präsentationsphase auf ein späteres Datum zu verschieben, damit du, wenn du zum ersten Mal das Problem löst, frei arbeiten kannst und dich nicht zu früh auf eine bestimmte Lösungsmethode festlegen musst.

Wenn du eine Lösung eingibst, verwende ein Textformat und keinen Screenshot eines Textverarbeitungsprogramms oder gar eine eingescannte handschriftliche Lösung. Es mag einfacher für dich sein, die Lösung auf deinem eigenen PC mit deinen bevorzugten Programm oder mit der Hand zu schreiben, aber im nächsten Schritt wird deine Lösung als Teil in der Gruppenarbeit enthalten sein. Deshalb ist es notwendig, dass deine Lösung für die Gruppe editierbar bleibt, was ein Screenshot oder Scan nicht leistet.


E - Klare Antworten

Schreibe zum Schluss eine klare Antwort. Dies ist besonders dann notwendig, wenn die Lösung lang und die Antwort auf verschiedene Textstellen verteilt ist. Allerdings gibt es auch Probleme vom Typ "Zeigen Sie...". Dann ist zum Schluss keine separate Antwort nötig.

Vereinfache deine Antwort so weit wie möglich.

Beispiel 1

  1. Antworte nicht \displaystyle \sqrt8, sondern \displaystyle 2\sqrt2.
  2. Antworte nicht \displaystyle \sin^2 x + \cos^2x + 2\sin 2x, sondern \displaystyle 1 + 2\sin 2x.
  3. Antworte nicht \displaystyle x = \left\{\begin{align}&\pi/4+ n\pi\\ &3\pi / 4 + n\pi\end{align}\right.\ \ (n\ \text{ganzzahlig})\ , sondern \displaystyle \ x = \pi / 4 + n\pi / 2\ \ (n\ \text{ganzzahlig}).

F - Gehe schrittweise vor

Es kommt vor, dass du sogenannte Scheinlösungen erhälst, wenn du Gleichungen löst. Erkläre in diesem Fall, warum diese auftauchten und teste die Lösungen, um zu erkennen, welche tatsächlich Lösungen sind.


Verlorene Lösungen. Wenn z.B. ein Faktor auf beiden Seiten einer Gleichung herausgekürzt wird und nicht bemerkt wird, dass die Gleichung, die entsteht, wenn man den betreffenden Faktor gleich 0 setzt, zusätzliche Lösungen liefert.

Beispiel 2

Wenn du die Gleichung \displaystyle 2x^2-5x=0 "löst", indem du \displaystyle 5x auf die rechte Seite bringst,

\displaystyle 2x^2=5x\,,

und dann \displaystyle x auf beiden Seiten kürzt

\displaystyle 2x=5\,,

verlierst du die Lösung \displaystyle x=0.

Wenn du stattdessen die linke Seite faktorisierst

\displaystyle x(2x-5) = 0\,\textrm{,}

findest du beide Lösungen: \displaystyle x=0 und \displaystyle 2x-5=0 (d.h. \displaystyle x=\tfrac{5}{2}).

Gehe zu Übung 2.1:3 um Faktorisieren zu üben.

Ein wichtiger Teil des Lösungsprozesses ist es, Plausibilitätsprüfungen oder Proben zu nutzen, um eine Lösung zu prüfen. Zum Beispiel kann man die Lösung einer Gleichung wieder in die Gleichung einsetzen, um sicher zu gehen, dass diese wirklich eine Lösung ist, weil man sich verrechnet haben könnte (Vorsicht: verwechsele diese Vorgehensweise nicht mit dem Untersuchen auf Scheinlösungen). Diese Vorgehensweise kannst du auch für Teilschritte durchführen.

Ein weiterer Punkt ist abzuschätzen, ob die Antwort plausibel ist. Setze Werte für einige der Parameter ein und vergewissere dich damit, dass du die richtige Lösung hast. Was passiert z.B. wenn \displaystyle a = 0, \displaystyle a = 1 oder wenn a nach unendlich geht.


G - Zeichne klare Bilder

Ein Bild ist oft viel besser als Text, um eingeführte Symbole zu erklären oder zu verdeutlichen. Verwende Bilder! Vergiss nicht, diese übersichtlich zu zeichnen und überlade sie nicht mit zu vielen Details. Es ist oft besser, mehrere, fast identische Bilder zu haben, die jeweils einen Gedanken erläutern, als ein großes Bild, das alles enthält.

H - Behandle Formeln als Teil des Texts

Es ist wichtig, dass du deine Lösung in einer Weise aufschreibst, die es anderen leicht macht, ihr zu folgen. Um dir dabei zu helfen, präsentieren wir dir hier einige Beispiele, um einige Tipps und häufige Fehler zu illustrieren, die auftauchen können, wenn man Formeln und Text mischt.

Rat zum Mischen von Formeln und Text:

  1. Schreibe den erläuternden Text in die vorige Linie
  2. Beachte die Interpunktion
  3. Schreibe Gleichungen eingerückt oder zentriert.

Formeln sollten nicht als etwas betrachtet werden, welches ohne Bezug zum Text ist (bzw. umgekehrt), sondern als ein Baustein mit einer klaren Linie. Schreibe deshalb Text nicht eingeklammert hinter Formeln, sondern als Erläuterung, die der Formel voraus geht.

Schlecht

Formel (text text text text text text ...)

Formel (text text text text text text ...)

Gut

Text text text text

Formel.

Text text text text

Formel.

Formeln können als Teil des Textes oder abgesetzt geschrieben werden. Wenn Formeln vom Text abgesetzt werden, erscheinen Sie in einer eigenen Zeile und sind entweder eingerückt oder zentriert.

Gut

...text text text Formel text text text text.

Text text text

Formel

text text text text text text text text...

(Beachte, dass das Einrücken sowohl die Formel als auch den Text hervorhebt.)

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Ein häufiger Fehler ist es, einen Doppelpunkt vor einer Formel zu verwenden.

Schlecht

...was zeigt, dass:

Formel

Wir starten mit...

(Beachte, dass hinter der Formel auch ein Punkt sein sollte.)

Da eine Formel ein Teil des Texts ist, sollte sie auch als Teil des Satzes betrachtet werden. Achte deshalb auf die korrekte Interpunktion. Vergiss insbesondere nicht den Punkt am Ende eines Satzes.


Gut

... und damit gilt

Formel.

Der nächste Schritt ist...

(Beachte den Punkt hinter der Formel.)

Eine schlechte Gewohnheit ist umfassendes Nummerieren. Ein Beispiel hierfür ist, jeden Schritt in einer Lösung zu nummerieren. Die zusätzlichen Ziffern helfen nicht, lenken aber ab. Selten musst du später auf einzelne Schritte innerhalb einer Rechnung verweisen, und wenn du musst, kannst du oft etwas wie "als wir die Gleichung quadrierten" etc. schreiben.


Schlecht

3. text text text text text text text text ...

Formel

4. text text text text text text text text ...

Manchmal möchte man auf eine abgesetzte Formel oder Gleichung verweisen. In diesem Fall kann dies eine Nummer (oder ein Stern) sein in Klammern auf dem rechten oder linken Rand.

Gut

...text text text text text text text text

Formel. (1)

Text text (1) text text text text text text

Formel.

Text text text text text text text text...


I - Häufige Fehler

Sei vorsichtig mit Pfeilen und ähnlichem

Es gibt einen Unterschied zwischen \displaystyle \Rightarrow (Implikationspfeil), \displaystyle \Leftrightarrow (Äquivalenzpfeil) und \displaystyle = (Gleichheitszeichen). Für zwei Gleichungen, für die direkt bekannt ist, dass sie die gleichen Lösungen haben, verwendet man \displaystyle \Leftrightarrow, um dies auszudrücken.

Wenn wir jedoch "Gleichung 1 \displaystyle \Rightarrow Gleichung 2" schreiben, heisst dies, dass Gleichung 2 alle Lösungen hat, die auch Gleichung 1 hat, nicht aber umgekehrt. (D.h. Gleichung 2 könnte mehr Lösungen haben.)

Beispiel 3

  1. \displaystyle x + 5 = 3\quad \Leftrightarrow\quad x = -2
  2. \displaystyle x^2-4x-1=0\quad\Leftrightarrow\quad (x-2)^2-5=0
  3. \displaystyle \sqrt x = x - 2\quad\Rightarrow\quad x = (x - 2)^2

Oft kümmert man sich nicht darum, das Symbol \displaystyle \Leftrightarrow zwischen verschiedene Schritte einer Lösung zu schreiben, solange sie in verschiedenen Zeilen stehen (und damit die Äquivalenz implizieren). Oft ist es besser, erklärenden Text zu verwenden als Pfeile in den einzelnen Schritten. Verwende den Implikationspfeil keinesfalls als allgemeines Symbol zur Fortsetzung einer Lösung (im Sinne von "der nächste Schritt ist").

Das Gleichheitszeichen (\displaystyle =) wird üblicherweise auf zwei Arten benutzt. Erstens, um auszudrücken, dass zwei Dinge gleich sind, d.h. \displaystyle (x - 2)^2 = x^2-4x + 4, was für alle \displaystyle x gilt und zweitens in Gleichungen, wo beide Seiten gleich sind für bestimmte \displaystyle x. Zum Beispiel gilt \displaystyle (x - 2) ^2 = 4 nur für \displaystyle x = 0 oder \displaystyle x = 4. Du solltest diese zwei verschiedenen Verwendungen nicht durcheinanderbringen.


Beispiel 4

Schreibe nicht

\displaystyle x^2 - 2x + 1 = (x - 1)^2 = 4\,,

wenn du die Gleichung \displaystyle x^2 - 2x + 1 = 4 löst, da dies zu Fehlschlüssen führen kann.

Schreibe eher

\displaystyle x^2 - 2x + 1 = 4\quad \Leftrightarrow\quad (x - 1) ^2 = 4.

(Es gibt auch noch einen dritten Sinn für die Verwendung des Gleichheitszeichens, der darin besteht, einen Ausdruck oder eine Zuordnungsvorschrift zu definieren.)

Der einfache Pfeil (\displaystyle \rightarrow) wird in der Mathematik oft verwendet, um mit verschiedenen Arten von Grenzwerten umzugehen: \displaystyle a \to \infty bedeutet, dass a zunimmt und nicht beschränkt ist (d.h. nach Unendlich geht). Du wirst vermutlich keinen einzigen einfachen Pfeil in diesem Kurs brauchen.


Gehe nicht unbedacht mit Klammern um

Da Multiplikation und Division eine höhere Priorität haben als Addition und Subtraktion, muss man Klammern nur verwenden, wenn Addition und Subtraktion zuerst durchgeführt werden sollen.

Beispiel 5

  1. Schreibe nicht \displaystyle 1 + x / \cos x, wenn du tatsächlich meinst \displaystyle (1 + x) / \cos x.
  2. Schreibe nicht \displaystyle 1 + (1/\sin x), wenn \displaystyle 1 + 1/\sin x reicht (auch wenn der erste Ausdruck formal nicht falsch ist).

Wenn du mit algebraischen Ausdrücken arbeitest, lässt man normalerweise das Zeichen für die Multiplikation weg. Zum Beispiel schreibt man kaum \displaystyle 4\cdot x\cdot y\cdot z, sonder eher \displaystyle 4xyz.

Der Verzicht auf das Multiplikationszeichen behandelt eine solche prioritär gegenüber anderen Multiplikationen und Divisionen (nicht aber gegenüber Potenzen). Wenn man \displaystyle 1/2R schreibt, heißt dies \displaystyle 1 / (2R) und nicht \displaystyle (1 / 2) R. Da dies eine Quelle für Mißverständnisse sein könnte, ist es nicht unüblich, die Klammern in beiden Situationen zu schreiben oder einen Bruchstrich zu verwenden.

Argumente von grundlegenden elementaren Funktionen werden ebenfalls ohne Klammer geschrieben. Deshalb solltest du nicht schreiben:

\displaystyle \cos (x), \displaystyle \sin (x), \displaystyle \tan (x), \displaystyle \cot (x), \displaystyle \lg (x) und \displaystyle \ln (x)\,,

sondern

\displaystyle \cos x, \displaystyle \sin x, \displaystyle \tan x, \displaystyle \cot x, \displaystyle \lg x und \displaystyle \ln x\,.

Tatsächlich solltest du \displaystyle \cos 2x und nicht \displaystyle \cos (2x) schreiben (da das Argument \displaystyle 2x durch das Aneinanderschreiben stärker gebunden ist), aber Klammern sind nötig, wenn du \displaystyle \sin (x + y) schreibst, genauso bei \displaystyle \sin(x / 2) oder \displaystyle (\sin x)^2 (wobei du letzteres auch als \displaystyle \sin ^2\!x schreiben kansst).

Noch Fragen zu diesem Kapitel? Dann schau nach im Kursforum (Du findest den Link in der Student Lounge) oder frag nach per Skype bei ombTutor My status My status

Keine Fragen mehr? Dann mache weiter mit den Übungen .


Tipps fürs Lernen

Nützliche Websites

  • Ein Video Kurs über das Schreiben von mathematischen Texten von Donald Knuth (Ein Auszug des Kurses ist erhältlich in source form (eine .gz - gezippte Datei, zu öffnen mit gzip unter Unix/Linux oder mit winzip unter Windows) oder in Auszügen von Google books).
Von „http://wiki.sommarmatte.se/wikis/2009/bridgecourse1-TU-Berlin/index.php/5.2_Mathematische_Texte_schreiben“