Lösung 4.4:8c

Aus Online Mathematik Brückenkurs 1

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Wir versuchen die Gleichung durch trigonometrische Identitäten umzuschreiben, sodass sie nur einen trigonometrische Funktion enthält. Durch den trigonometrischen Pythagoras erhalten wir
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Wir versuchen, die Gleichung durch trigonometrische Identitäten umzuschreiben, sodass sie nur eine trigonometrische Funktion enthält. Durch den trigonometrischen Pythagoras erhalten wir
{{Abgesetzte Formel||<math>\frac{1}{\cos ^{2}x} = \frac{\cos^2\!x + \sin^2\!x}{\cos^2\!x} = 1 + \frac{\sin^2\!x}{\cos^2\!x} = 1+\tan^2\!x</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>\frac{1}{\cos ^{2}x} = \frac{\cos^2\!x + \sin^2\!x}{\cos^2\!x} = 1 + \frac{\sin^2\!x}{\cos^2\!x} = 1+\tan^2\!x</math>}}
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Und wir können die Gleichung in nur tan x-Terme Schreiben,
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Wir können die Gleichung in nur <math>\tan x</math>-Terme schreiben:
{{Abgesetzte Formel||<math>1 + \tan^2\!x = 1 - \tan x\,\textrm{.}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>1 + \tan^2\!x = 1 - \tan x\,\textrm{.}</math>}}
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{{Abgesetzte Formel||<math>\left\{\begin{align}
{{Abgesetzte Formel||<math>\left\{\begin{align}
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x &= n\pi\,,\\[5pt]
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x &= n\pi\,\text{ und}\\[5pt]
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x &= \frac{3\pi}{4}+n\pi\,,
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x &= \frac{3\pi}{4}+n\pi\,.
\end{align}\right.</math>}}
\end{align}\right.</math>}}

Aktuelle Version

Wir versuchen, die Gleichung durch trigonometrische Identitäten umzuschreiben, sodass sie nur eine trigonometrische Funktion enthält. Durch den trigonometrischen Pythagoras erhalten wir

\displaystyle \frac{1}{\cos ^{2}x} = \frac{\cos^2\!x + \sin^2\!x}{\cos^2\!x} = 1 + \frac{\sin^2\!x}{\cos^2\!x} = 1+\tan^2\!x

Wir können die Gleichung in nur \displaystyle \tan x-Terme schreiben:

\displaystyle 1 + \tan^2\!x = 1 - \tan x\,\textrm{.}

Benennen wir \displaystyle t=\tan x, erhalten wir eine quadratische Gleichung für t, die vereinfacht \displaystyle t^2+t=0 ist. Diese Gleichung hat die Lösungen \displaystyle t=0 und \displaystyle t=-1. Daher muss x entweder die Gleichung \displaystyle \tan x=0 oder die Gleichung \displaystyle \tan x=-1\, erfüllen. Die erste Gleichung hat die Lösungen \displaystyle x=n\pi und die zweite die Lösungen \displaystyle x=3\pi/4+n\pi\,.

Also erhalten wir zusammen die Lösungen

\displaystyle \left\{\begin{align}

x &= n\pi\,\text{ und}\\[5pt] x &= \frac{3\pi}{4}+n\pi\,. \end{align}\right.

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