4.4 Trigonometrische Gleichungen

Aus Online Mathematik Brückenkurs 1

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{{Gewählter Tab|[[4.4 Trigonometric equations|Theorie]]}}
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{{Gewählter Tab|[[4.4 Trigonometrische Gleichungen|Theorie]]}}
{{Nicht gewählter Tab|[[4.4 Übungen|Übungen]]}}
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'''Lernziele: '''
'''Lernziele: '''
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Nach diesem Abschnitt sollten Sie folgendes können:
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Nach diesem Abschnitt solltest Du folgendes können:
* Grundlegende trigonometrische Gleichungen lösen.
* Grundlegende trigonometrische Gleichungen lösen.
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* Trigonometrische Gleichungen lösen, die in andere Gleichungen umgewandelt werden könnenö.
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* Trigonometrische Gleichungen lösen, die in andere Gleichungen umgewandelt werden können.
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== Grundlegende Gleichungen ==
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Die Lernziele sind Dir aus der Schule noch bestens vertraut und Du weißt ganz genau, wie man die zugehörigen Rechnungen ausführt? Dann kannst Du auch gleich mit den <b>Prüfungen</b> beginnen (Du findest den Link in der Student Lounge).
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Trigonometrische Gleichungen können sehr kompliziert sein, und oft nicht einmal analytisch lösbar. Es gibt aber einige grundlegende trigonometrische Gleichungen, sowie <math>\sin x = a</math>, <math>\cos x = a</math> und <math>\tan x = a</math> die relativ einfache Lösungen besitzen.
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== A - Grundlegende Gleichungen ==
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Solche Gleichungen haben im allgemeinen Fall entweder gar keine, oder unendlich viele Lösungen. Wen man aber den Winkel ''x'' irgendwie begrenzt, gibt es endlich viele Lösungen, sowie wenn man zum Beispiel einen scharfen Winkel ersucht.
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Trigonometrische Gleichungen können sehr kompliziert sein und sind oft nicht einmal analytisch lösbar. Es gibt aber einige grundlegende trigonometrische Gleichungen, wie <math>\sin x = a</math>, <math>\cos x = a</math> und <math>\tan x = a</math> , die relativ einfache Lösungen haben.
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Solche Gleichungen haben im allgemeinen Fall entweder gar keine, oder unendlich viele Lösungen. Wenn man aber den Winkel ''x'' irgendwie begrenzt, gibt es endlich viele Lösungen, genauso, wenn man zum Beispiel einen spitzen Winkel sucht.
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''' Beispiel 1'''
''' Beispiel 1'''
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Lösen Sie die Gleichung <math>\,\sin x = \frac{1}{2}</math>.
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Löse die Gleichung <math>\,\sin x = \frac{1}{2}</math>.
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Wir wollen alle Winkel finden, die den Sinus <math>\tfrac{1}{2}</math> haben. Betrachten wir den Einheitskreis, sehen wir dass es zwei solche winkel <math>x</math> gibt.
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Wir wollen alle Winkel finden, die den Sinus <math>\tfrac{1}{2}</math> haben. Betrachten wir den Einheitskreis, sehen wir, dass es zwei solche Winkel <math>x</math> gibt.
<center>{{:4.4 - Bild - Zwei Einheitskreise mit Winkeln π/6 und 5π/6,}}</center>
<center>{{:4.4 - Bild - Zwei Einheitskreise mit Winkeln π/6 und 5π/6,}}</center>
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Wir haben hier also die beiden Winkeln <math>30^\circ = \pi / 6</math> und, durch Symmetrie, <math>180^\circ – 30^\circ = 150^\circ</math>, die den ''y''-Wert <math>\sin x = \tfrac{1}{2}</math> entsprechen. Im Intervall zwischen <math>0</math> und <math>2\pi</math> sind dies auch die einzigen solchen Winkeln.
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Wir haben hier also die beiden Winkel <math>30^\circ = \pi / 6</math> und (durch Symmetrie) <math>180^\circ – 30^\circ = 150^\circ</math>, die dem ''y''-Wert <math>\sin x = \tfrac{1}{2}</math> entsprechen. Zwischen <math>0</math> und <math>2\pi</math> sind dies auch die einzigen solchen Winkel.
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Aber, nachdem wir zu einen Winkel einen Multipel von <math>2\pi</math> addieren können ohne den Sinus zu ändern, haben wir auch folgende Lösungen,
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Aber nachdem wir zu einem Winkel ein Vielfaches von <math>2\pi</math> addieren können, ohne den Sinus zu ändern, haben wir auch folgende Lösungen:
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{cases}
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{cases}
-
x &= \dfrac{\pi}{6} + 2n\pi\\
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x &= \dfrac{\pi}{6} + 2n\pi\\
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x &= \dfrac{5\pi}{6} + 2n\pi
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x &= \dfrac{5\pi}{6} + 2n\pi
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\end{cases}</math>}}
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\end{cases}</math>}}
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wo <math>n</math> eine beliebige ganze Zahl ist. Dies wird die allgemeine Lösung der Gleichung genannt.
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wobei <math>n</math> eine beliebige ganze Zahl ist. Dies wird die allgemeine Lösung der Gleichung genannt.
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Betrachtet man den Graph von <math>y = \sin x</math>, sieht man auch dass die Gleichung unendlich viele Lösungen hat, nachdem die Kurven <math>y = \sin x</math> und <math>y=\tfrac{1}{2}</math> unendlich viele Schnittstellen haben.
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Betrachtet man den Graph von <math>y = \sin x</math>, sieht man auch, dass die Gleichung unendlich viele Lösungen hat, nachdem die Kurven <math>y = \sin x</math> und <math>y=\tfrac{1}{2}</math> unendlich viele Schnittstellen haben.
<center>{{:4.4 - Bild - Die Kurven y = sin x und y = ½}}</center>
<center>{{:4.4 - Bild - Die Kurven y = sin x und y = ½}}</center>
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''' Beispiel 2'''
''' Beispiel 2'''
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Lösen Sie die Gleichung <math>\,\cos x = \frac{1}{2}</math>.
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Löse die Gleichung <math>\,\cos x = \frac{1}{2}</math>.
Wir betrachten den Einheitskreis.
Wir betrachten den Einheitskreis.
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<center>{{:4.4 - Bild - Zwei Einheitskreise mit Winkeln π/3 und -π/3,}}</center>
<center>{{:4.4 - Bild - Zwei Einheitskreise mit Winkeln π/3 und -π/3,}}</center>
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Wir wissen dass der Kosinus für <math>\pi/3</math>, <math>\tfrac{1}{2}</math> ist. Betrachten wir den Einheitskreis sehen wir dass der Winkel <math>-\pi/3</math> auch den Kosinus <math>\tfrac{1}{2}</math> hat. Addieren wir einen Multipel von <math>2\pi</math> zu diesen Winkeln, erhalten wir die Allgemeine Lösung,
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Wir wissen, dass der Kosinus von <math>\pi/3</math> <math>\tfrac{1}{2}</math> ist. Betrachten wir den Einheitskreis, sehen wir, dass der Winkel <math>-\pi/3</math> auch den Kosinus <math>\tfrac{1}{2}</math> hat. Addieren wir ein Vielfaches von <math>2\pi</math> zu diesen Winkeln, erhalten wir die allgemeine Lösung,
{{Abgesetzte Formel||<math>x = \pm \pi/3 + n \cdot 2\pi\,\mbox{,}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>x = \pm \pi/3 + n \cdot 2\pi\,\mbox{,}</math>}}
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wo <math>n</math> eine beliebige ganze Zahl ist.
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wobei <math>n</math> eine beliebige ganze Zahl ist.
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''' Beispiel 3'''
''' Beispiel 3'''
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Lösen Sie die Gleichung <math>\,\tan x = \sqrt{3}</math>.
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Löse die Gleichung <math>\,\tan x = \sqrt{3}</math>.
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Wir wissen von vorher dass der Winkel <math>x=\pi/3</math> die Gleichung erfüllt.
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Wir wissen von vorher, dass der Winkel <math>x=\pi/3</math> die Gleichung erfüllt.
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Betrachten wir den Einheitskreis, sehen wir dass jede halbe Umdrehung des Winkels, dieselbe Steigung wie der Winkel hat, und also denselben Tangens.
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Betrachten wir den Einheitskreis, sehen wir, dass jede halbe Umdrehung des Winkels dieselbe Steigung wie der Winkel hat und daher den selben Tangens.
<center>{{:4.4 - Bild - Zwei Einheitskreise mit Winkeln π/3 und π+π/3,}}</center>
<center>{{:4.4 - Bild - Zwei Einheitskreise mit Winkeln π/3 und π+π/3,}}</center>
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Daher erhalten wir die allgemeine Lösung indem <math>\pi</math> mehrmals zur Lösung addieren. So erhalten wir die Lösungen <math>\pi/3</math>, <math>\pi/3 +\pi</math>, <math>\pi/3+ \pi +\pi</math> etc. Die allgemeine Lösung der Gleichung ist daher
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Daher erhalten wir die allgemeine Lösung, indem wir <math>\pi</math> mehrmals zur Lösung addieren. So erhalten wir die Lösungen <math>\pi/3</math>, <math>\pi/3 +\pi</math>, <math>\pi/3+ \pi +\pi</math> etc. Die allgemeine Lösung der Gleichung ist daher
{{Abgesetzte Formel||<math>x = \pi/3 + n \cdot \pi\,\mbox{,}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>x = \pi/3 + n \cdot \pi\,\mbox{,}</math>}}
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wo <math>n</math> eine beliebige ganze Zahl ist.
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wobei <math>n</math> eine beliebige ganze Zahl ist.
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== Mehr komplizierte Gleichungen ==
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== B - Kompliziertere Gleichungen ==
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Wir werden hier einige Beispiele von mehr komplizierten trigonometrischen Gleichungen geben.
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Wir werden hier einige Beispiele von komplizierteren trigonometrischen Gleichungen geben.
Manche trigonometrische Gleichungen können vereinfacht werden, indem man die trigonometrischen Identitäten benutzt.
Manche trigonometrische Gleichungen können vereinfacht werden, indem man die trigonometrischen Identitäten benutzt.
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''' Beispiel 4'''
''' Beispiel 4'''
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Lösen Sie die Gleichung <math>\,\cos 2x – 4\cos x + 3= 0</math>.
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Löse die Gleichung <math>\,\cos 2x – 4\cos x + 3= 0</math>.
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{{Abgesetzte Formel||<math>(\cos x-1)^2 = 0\,\mbox{.}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>(\cos x-1)^2 = 0\,\mbox{.}</math>}}
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Diese Gleichung ist nur erfüllt wenn <math>\cos x = 1</math>. Diese Gleichung lösen wir wir vorher, und die allgemeine Lösung ist
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Diese Gleichung ist nur erfüllt, wenn <math>\cos x = 1</math>. Diese Gleichung lösen wir wie vorhin und die allgemeine Lösung ist
{{Abgesetzte Formel||<math>
{{Abgesetzte Formel||<math>
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x = 2n\pi</math>}}
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x = 2n\pi</math>}}
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''' Beispiel 5'''
''' Beispiel 5'''
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Lösen Sie die Gleichung <math>\,\frac{1}{2}\sin x + 1 – \cos^2 x = 0</math>.
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Löse die Gleichung <math>\,\frac{1}{2}\sin x + 1 – \cos^2 x = 0</math>.
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Durch das Gesetz des Pythagoras erhalten wir <math>1 – \cos^2\!x = \sin^2\!x</math>, und wir bekommen
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Durch den Satz des Pythagoras erhalten wir <math>1 – \cos^2\!x = \sin^2\!x</math> und wir bekommen
{{Abgesetzte Formel||<math>\tfrac{1}{2}\sin x + \sin^2\!x = 0\,\mbox{.}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>\tfrac{1}{2}\sin x + \sin^2\!x = 0\,\mbox{.}</math>}}
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Wir hohlen den Faktor <math>\sin x</math> heraus und erhalten
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Wir klammern den Faktor <math>\sin x</math> aus und erhalten
{{Abgesetzte Formel||<math>
{{Abgesetzte Formel||<math>
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\sin x\,\cdot\,\bigl(\tfrac{1}{2} + \sin x\bigr) = 0 \, \mbox{.}</math>}}
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\sin x\,\cdot\,\bigl(\tfrac{1}{2} + \sin x\bigr) = 0 \, \mbox{.}</math>}}
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So sehen wir dass die Lösungen der Gleichung, die Gleichungen <math>\sin x = 0</math> oder <math>\sin x = -\tfrac{1}{2}</math> erfüllen müssen. Diese Gleichungen lösen wir wie im Beispiel 1. Die Lösungen sind
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So sehen wir, dass die Lösungen der Gleichung die Gleichungen <math>\sin x = 0</math> oder <math>\sin x = -\tfrac{1}{2}</math> erfüllen müssen. Diese Gleichungen lösen wir wie in Beispiel 1. Die Lösungen sind
{{Abgesetzte Formel||<math>
{{Abgesetzte Formel||<math>
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\begin{cases}
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\begin{cases}
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x &= n\pi\\
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x &= n\pi\\
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x &= -\pi/6+2n\pi\\
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x &= -\pi/6+2n\pi\\
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x &= 7\pi/6+2n\pi
+
x &= 7\pi/6+2n\pi
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\end{cases}
+
\end{cases}
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<div class="exempel">
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''' Beispiel 6'''
''' Beispiel 6'''
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Lösen Sie die Gleichung <math>\,\sin 2x =4 \cos x</math>.
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Löse die Gleichung <math>\,\sin 2x =4 \cos x</math>.
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Durch die Doppelwinkelfunktion für Kosinus erhalten wir
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Durch die Doppelwinkelfunktion für den Kosinus erhalten wir
{{Abgesetzte Formel||<math>2\sin x\,\cos x – 4 \cos x = 0\,\mbox{.}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>2\sin x\,\cos x – 4 \cos x = 0\,\mbox{.}</math>}}
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Dividieren wir durch 2, und hohlen den Faktor <math>\cos x</math> heraus, erhalten wir
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Dividieren wir durch 2 und klammern den Faktor <math>\cos x</math> aus, erhalten wir
{{Abgesetzte Formel||<math>\cos x\,\cdot\,( \sin x – 2) = 0\,\mbox{.}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>\cos x\,\cdot\,( \sin x – 2) = 0\,\mbox{.}</math>}}
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Also müssen die Lösungen dieser Gleichung einer der Gleichungen
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Also müssen die Lösungen dieser Gleichung eine der Gleichungen
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* <math>\cos x = 0</math>,
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* <math>\cos x = 0\,\text{ oder}</math>
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* <math>\sin x = 2</math>.
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* <math>\sin x = 2</math>
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erfüllen. Nachdem <math>\sin x</math> nie größer als 1 ist, hat die zweite Gleichung keine Lösungen. Die erste Gleichung hingegen, hat die Lösungen
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erfüllen. Nachdem <math>\sin x</math> nie größer als 1 ist, hat die zweite Gleichung keine Lösungen. Die erste Gleichung hingegen hat die Lösungen
<math>x = \pi / 2 + n \cdot \pi</math>.
<math>x = \pi / 2 + n \cdot \pi</math>.
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''' Beispiel 7'''
''' Beispiel 7'''
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Lösen Sie die Gleichung <math>\,4\sin^2\!x – 4\cos x = 1</math>.
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Löse die Gleichung <math>\,4\sin^2\!x – 4\cos x = 1</math>.
Wir verwenden das Gesetz des Pythagoras, und ersetzen <math>\sin^2\!x</math> mit <math>1 – \cos^2\!x</math>. So erhalten wir
Wir verwenden das Gesetz des Pythagoras, und ersetzen <math>\sin^2\!x</math> mit <math>1 – \cos^2\!x</math>. So erhalten wir
{{Abgesetzte Formel||<math>
{{Abgesetzte Formel||<math>
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\begin{align*}
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\begin{align*}
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4 (1 – \cos^2\!x) – 4 \cos x &= 1\,\mbox{,}\\
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4 (1 – \cos^2\!x) – 4 \cos x &= 1\,\mbox{,}\\
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4 – 4 \cos^2\!x – 4 \cos x &= 1\,\mbox{,}\\
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4 – 4 \cos^2\!x – 4 \cos x &= 1\,\mbox{,}\\
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–4\cos^2\!x – 4 \cos x + 4 – 1 &= 0\,\mbox{,}\\
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–4\cos^2\!x – 4 \cos x + 4 – 1 &= 0\,\mbox{,}\\
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\cos^2\!x + \cos x – \tfrac{3}{4} &= 0\,\mbox{.}\\
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\cos^2\!x + \cos x – \tfrac{3}{4} &= 0\,\mbox{.}\\
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\end{align*}</math>}}
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\end{align*}</math>}}
Dies ist eine quadratische Gleichung für <math>\cos x</math>, mit den Lösungen
Dies ist eine quadratische Gleichung für <math>\cos x</math>, mit den Lösungen
{{Abgesetzte Formel||<math>
{{Abgesetzte Formel||<math>
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\cos x = -\tfrac{3}{2} \quad\text{und}\quad
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\cos x = -\tfrac{3}{2} \quad\text{und}\quad
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\cos x = \tfrac{1}{2}\,\mbox{.}</math>}}
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\cos x = \tfrac{1}{2}\,\mbox{.}</math>}}
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Nachdem <math>\cos x</math> nie kleiner als <math>–1</math> ist, hat die erste Gleichung keine Lösung. Also hat die Gleichung nur dieselbe Lösungen wie die Gleichung
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Nachdem <math>\cos x</math> nie kleiner als <math>–1</math> ist, hat die erste Gleichung keine Lösung. Also hat die Gleichung nur dieselben Lösungen wie die Gleichung
{{Abgesetzte Formel||<math>\cos x = \tfrac{1}{2}\,\mbox{,}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>\cos x = \tfrac{1}{2}\,\mbox{,}</math>}}
die wir im Beispiel 2 gelöst haben.
die wir im Beispiel 2 gelöst haben.
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Noch Fragen zu diesem Kapitel? Dann schau nach im Kursforum (Du findest den Link in der Student Lounge) oder frag nach per Skype bei ombTutor <skype style="call" action="call">ombTutor</skype> <skype style="chat" action="chat">ombTutor</skype>
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Keine Fragen mehr? Dann mache weiter mit den '''[[4.4 Übungen|Übungen]]''' .
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[[4.4 Übungen|Übungen]]
 
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'''Tipps fürs lernen'''
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'''Tipps fürs Lernen'''
'''Diagnostische Prüfung und Schlussprüfung'''
'''Diagnostische Prüfung und Schlussprüfung'''
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Nachdem Sie mit der Theorie fertig sind sollten Sie die diagnostische Prüfung und die Schlussprüfung machen. Sie finden die links zu den Prüfungen in Ihrer "Student Lounge".
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Nachdem du mit der Theorie und den Übungen fertig bist, solltest Du die diagnostische Prüfung und die Schlussprüfung machen. Du findest die Links zu den Prüfungen in Deiner "Student Lounge".
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'''Bedenken Sie folgendes'''
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'''Bedenke folgendes'''
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Lernen Sie sich die Grundlegenden trigonometrischen Identitäten, und wie sie verwendet werden um trigonometrische Ausdrücke zu vereinfachen.
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Lerne die grundlegenden trigonometrischen Identitäten und wie sie verwendet werden, um trigonometrische Ausdrücke zu vereinfachen.
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Es ist wichtig mit den grundlegenden trigonometrischen Gleichungen bekannt zu sein, um kompliziertere Gleichungen lösen zu können. Es ist auch wichtig zu wissen dass diese Gleichungen unendlich viele Lösungen haben.
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Es ist wichtig mit den grundlegenden trigonometrischen Gleichungen vertraut zu sein, um kompliziertere Gleichungen lösen zu können. Es ist auch wichtig, zu wissen, dass diese Gleichungen unendlich viele Lösungen haben.
'''Nützliche Websites'''
'''Nützliche Websites'''
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[http://www.ies.co.jp/math/java/trig/ABCsinX/ABCsinX.html Experiment with the graph y = a sin b (x-c) ]
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[http://www.ies.co.jp/math/java/trig/ABCsinX/ABCsinX.html Experimentiere Mit dem Graphen der Funktion y = a sin b (x-c) ]
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Aktuelle Version

       Theorie          Übungen      

Inhalt:

  • Grundlegende trigonometrische Gleichungen
  • Einfache trigonometrische Gleichungen

Lernziele:

Nach diesem Abschnitt solltest Du folgendes können:

  • Grundlegende trigonometrische Gleichungen lösen.
  • Trigonometrische Gleichungen lösen, die in andere Gleichungen umgewandelt werden können.

Die Lernziele sind Dir aus der Schule noch bestens vertraut und Du weißt ganz genau, wie man die zugehörigen Rechnungen ausführt? Dann kannst Du auch gleich mit den Prüfungen beginnen (Du findest den Link in der Student Lounge).

A - Grundlegende Gleichungen

Trigonometrische Gleichungen können sehr kompliziert sein und sind oft nicht einmal analytisch lösbar. Es gibt aber einige grundlegende trigonometrische Gleichungen, wie \displaystyle \sin x = a, \displaystyle \cos x = a und \displaystyle \tan x = a , die relativ einfache Lösungen haben.

Solche Gleichungen haben im allgemeinen Fall entweder gar keine, oder unendlich viele Lösungen. Wenn man aber den Winkel x irgendwie begrenzt, gibt es endlich viele Lösungen, genauso, wenn man zum Beispiel einen spitzen Winkel sucht.

Beispiel 1

Löse die Gleichung \displaystyle \,\sin x = \frac{1}{2}.

Wir wollen alle Winkel finden, die den Sinus \displaystyle \tfrac{1}{2} haben. Betrachten wir den Einheitskreis, sehen wir, dass es zwei solche Winkel \displaystyle x gibt.

[Image]

Wir haben hier also die beiden Winkel \displaystyle 30^\circ = \pi / 6 und (durch Symmetrie) \displaystyle 180^\circ – 30^\circ = 150^\circ, die dem y-Wert \displaystyle \sin x = \tfrac{1}{2} entsprechen. Zwischen \displaystyle 0 und \displaystyle 2\pi sind dies auch die einzigen solchen Winkel.

Aber nachdem wir zu einem Winkel ein Vielfaches von \displaystyle 2\pi addieren können, ohne den Sinus zu ändern, haben wir auch folgende Lösungen:

\displaystyle \begin{cases}

x &= \dfrac{\pi}{6} + 2n\pi\\ x &= \dfrac{5\pi}{6} + 2n\pi \end{cases}

wobei \displaystyle n eine beliebige ganze Zahl ist. Dies wird die allgemeine Lösung der Gleichung genannt.

Betrachtet man den Graph von \displaystyle y = \sin x, sieht man auch, dass die Gleichung unendlich viele Lösungen hat, nachdem die Kurven \displaystyle y = \sin x und \displaystyle y=\tfrac{1}{2} unendlich viele Schnittstellen haben.

[Image]

Beispiel 2

Löse die Gleichung \displaystyle \,\cos x = \frac{1}{2}.

Wir betrachten den Einheitskreis.

[Image]

Wir wissen, dass der Kosinus von \displaystyle \pi/3 \displaystyle \tfrac{1}{2} ist. Betrachten wir den Einheitskreis, sehen wir, dass der Winkel \displaystyle -\pi/3 auch den Kosinus \displaystyle \tfrac{1}{2} hat. Addieren wir ein Vielfaches von \displaystyle 2\pi zu diesen Winkeln, erhalten wir die allgemeine Lösung,

\displaystyle x = \pm \pi/3 + n \cdot 2\pi\,\mbox{,}

wobei \displaystyle n eine beliebige ganze Zahl ist.

Beispiel 3

Löse die Gleichung \displaystyle \,\tan x = \sqrt{3}.

Wir wissen von vorher, dass der Winkel \displaystyle x=\pi/3 die Gleichung erfüllt.

Betrachten wir den Einheitskreis, sehen wir, dass jede halbe Umdrehung des Winkels dieselbe Steigung wie der Winkel hat und daher den selben Tangens.

[Image]

Daher erhalten wir die allgemeine Lösung, indem wir \displaystyle \pi mehrmals zur Lösung addieren. So erhalten wir die Lösungen \displaystyle \pi/3, \displaystyle \pi/3 +\pi, \displaystyle \pi/3+ \pi +\pi etc. Die allgemeine Lösung der Gleichung ist daher

\displaystyle x = \pi/3 + n \cdot \pi\,\mbox{,}

wobei \displaystyle n eine beliebige ganze Zahl ist.


B - Kompliziertere Gleichungen

Wir werden hier einige Beispiele von komplizierteren trigonometrischen Gleichungen geben.

Manche trigonometrische Gleichungen können vereinfacht werden, indem man die trigonometrischen Identitäten benutzt.

Beispiel 4

Löse die Gleichung \displaystyle \,\cos 2x – 4\cos x + 3= 0.


Wir verwenden \displaystyle \cos 2x = 2 \cos^2\!x – 1 und erhalten

\displaystyle (2 \cos^2\!x – 1) – 4\cos x + 3 = 0\,\mbox{,}

Durch Division durch 2 erhalten wir

\displaystyle \cos^2\!x - 2 \cos x +1 =0\,\mbox{.}

Wir faktorisieren die linke Seite

\displaystyle (\cos x-1)^2 = 0\,\mbox{.}

Diese Gleichung ist nur erfüllt, wenn \displaystyle \cos x = 1. Diese Gleichung lösen wir wie vorhin und die allgemeine Lösung ist

\displaystyle

x = 2n\pi

Beispiel 5

Löse die Gleichung \displaystyle \,\frac{1}{2}\sin x + 1 – \cos^2 x = 0.


Durch den Satz des Pythagoras erhalten wir \displaystyle 1 – \cos^2\!x = \sin^2\!x und wir bekommen

\displaystyle \tfrac{1}{2}\sin x + \sin^2\!x = 0\,\mbox{.}

Wir klammern den Faktor \displaystyle \sin x aus und erhalten

\displaystyle

\sin x\,\cdot\,\bigl(\tfrac{1}{2} + \sin x\bigr) = 0 \, \mbox{.}

So sehen wir, dass die Lösungen der Gleichung die Gleichungen \displaystyle \sin x = 0 oder \displaystyle \sin x = -\tfrac{1}{2} erfüllen müssen. Diese Gleichungen lösen wir wie in Beispiel 1. Die Lösungen sind

\displaystyle

\begin{cases} x &= n\pi\\ x &= -\pi/6+2n\pi\\ x &= 7\pi/6+2n\pi \end{cases}

Beispiel 6 Löse die Gleichung \displaystyle \,\sin 2x =4 \cos x.


Durch die Doppelwinkelfunktion für den Kosinus erhalten wir

\displaystyle 2\sin x\,\cos x – 4 \cos x = 0\,\mbox{.}

Dividieren wir durch 2 und klammern den Faktor \displaystyle \cos x aus, erhalten wir

\displaystyle \cos x\,\cdot\,( \sin x – 2) = 0\,\mbox{.}

Also müssen die Lösungen dieser Gleichung eine der Gleichungen

  • \displaystyle \cos x = 0\,\text{ oder}
  • \displaystyle \sin x = 2

erfüllen. Nachdem \displaystyle \sin x nie größer als 1 ist, hat die zweite Gleichung keine Lösungen. Die erste Gleichung hingegen hat die Lösungen \displaystyle x = \pi / 2 + n \cdot \pi.

Beispiel 7

Löse die Gleichung \displaystyle \,4\sin^2\!x – 4\cos x = 1.

Wir verwenden das Gesetz des Pythagoras, und ersetzen \displaystyle \sin^2\!x mit \displaystyle 1 – \cos^2\!x. So erhalten wir

\displaystyle

\begin{align*} 4 (1 – \cos^2\!x) – 4 \cos x &= 1\,\mbox{,}\\ 4 – 4 \cos^2\!x – 4 \cos x &= 1\,\mbox{,}\\ –4\cos^2\!x – 4 \cos x + 4 – 1 &= 0\,\mbox{,}\\ \cos^2\!x + \cos x – \tfrac{3}{4} &= 0\,\mbox{.}\\ \end{align*}

Dies ist eine quadratische Gleichung für \displaystyle \cos x, mit den Lösungen

\displaystyle

\cos x = -\tfrac{3}{2} \quad\text{und}\quad \cos x = \tfrac{1}{2}\,\mbox{.}

Nachdem \displaystyle \cos x nie kleiner als \displaystyle –1 ist, hat die erste Gleichung keine Lösung. Also hat die Gleichung nur dieselben Lösungen wie die Gleichung

\displaystyle \cos x = \tfrac{1}{2}\,\mbox{,}

die wir im Beispiel 2 gelöst haben.



Noch Fragen zu diesem Kapitel? Dann schau nach im Kursforum (Du findest den Link in der Student Lounge) oder frag nach per Skype bei ombTutor My status My status

Keine Fragen mehr? Dann mache weiter mit den Übungen .


Tipps fürs Lernen

Diagnostische Prüfung und Schlussprüfung

Nachdem du mit der Theorie und den Übungen fertig bist, solltest Du die diagnostische Prüfung und die Schlussprüfung machen. Du findest die Links zu den Prüfungen in Deiner "Student Lounge".


Bedenke folgendes

Lerne die grundlegenden trigonometrischen Identitäten und wie sie verwendet werden, um trigonometrische Ausdrücke zu vereinfachen.

Es ist wichtig mit den grundlegenden trigonometrischen Gleichungen vertraut zu sein, um kompliziertere Gleichungen lösen zu können. Es ist auch wichtig, zu wissen, dass diese Gleichungen unendlich viele Lösungen haben.

Nützliche Websites

Experimentiere Mit dem Graphen der Funktion y = a sin b (x-c)

Von „http://wiki.sommarmatte.se/wikis/2009/bridgecourse1-TU-Berlin/index.php/4.4_Trigonometrische_Gleichungen“