Lösung 4.3:8b
Aus Online Mathematik Brückenkurs 1
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{{Abgesetzte Formel||<math>\frac{1}{\cos v} - \tan v = \frac{1}{\cos v} - \frac{\sin v}{\cos v} = \frac{1-\sin v}{\cos v}\,\textrm{.}</math>}} | {{Abgesetzte Formel||<math>\frac{1}{\cos v} - \tan v = \frac{1}{\cos v} - \frac{\sin v}{\cos v} = \frac{1-\sin v}{\cos v}\,\textrm{.}</math>}} | ||
| - | Erweitern wir den Bruch mit <math>1+\sin v</math>, erhalten wir mit der binomischen Formel und dem | + | Erweitern wir den Bruch mit <math>1+\sin v</math>, erhalten wir mit der binomischen Formel und dem Satz des Pythagoras: |
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align} | {{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align} | ||
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\end{align}</math>}} | \end{align}</math>}} | ||
| - | Wir kürzen den Faktor <math>\cos v</math> | + | Wir kürzen den Faktor <math>\cos v</math> und erhalten |
{{Abgesetzte Formel||<math>\frac{\cos^2\!v}{\cos v\,(1+\sin v)} = \frac{\cos v}{1+\sin v}\,\textrm{.}</math>}} | {{Abgesetzte Formel||<math>\frac{\cos^2\!v}{\cos v\,(1+\sin v)} = \frac{\cos v}{1+\sin v}\,\textrm{.}</math>}} | ||
Aktuelle Version
Nachdem \displaystyle \tan v = \frac{\sin v}{\cos v} ist, kann die linke Seite als ein einziger Bruch mit \displaystyle \cos v als Nenner geschrieben werden,
| \displaystyle \frac{1}{\cos v} - \tan v = \frac{1}{\cos v} - \frac{\sin v}{\cos v} = \frac{1-\sin v}{\cos v}\,\textrm{.} |
Erweitern wir den Bruch mit \displaystyle 1+\sin v, erhalten wir mit der binomischen Formel und dem Satz des Pythagoras:
| \displaystyle \begin{align}
\frac{1-\sin v}{\cos v} &= \frac{1-\sin v}{\cos v}\cdot\frac{1+\sin v}{1+\sin v}\\[5pt] &= \frac{1-\sin^2\!v}{\cos v\,(1+\sin v)}\\[5pt] &= \frac{\cos^2\!v}{\cos v\,(1+\sin v)}\,\textrm{.} \end{align} |
Wir kürzen den Faktor \displaystyle \cos v und erhalten
| \displaystyle \frac{\cos^2\!v}{\cos v\,(1+\sin v)} = \frac{\cos v}{1+\sin v}\,\textrm{.} |
