Lösung 4.3:7a

Aus Online Mathematik Brückenkurs 1

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{{Abgesetzte Formel||<math>\sin (x+y) = \sin x\cdot \cos y + \cos x\cdot \sin y\,\textrm{.}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>\sin (x+y) = \sin x\cdot \cos y + \cos x\cdot \sin y\,\textrm{.}</math>}}
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Weiterhin ist es möglich die Terme <math>\cos x</math> und <math>\cos y</math> in Termen von <math>\sin x</math> und <math>\sin y</math> zu schreiben, mit dem Gesetz des Pythagoras
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Weiterhin ist es möglich, die Terme <math>\cos x</math> und <math>\cos y</math> durch <math>\sin x</math> und <math>\sin y</math> zu schreiben, und zwar mit dem Satz des Pythagoras:
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
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\end{align}</math>}}
\end{align}</math>}}
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Nachdem ''x'' und ''y'' Winkeln im ersten Quadrant sind, sind <math>\cos x</math> und <math>\cos y</math> positiv, und wir erhalten dadurch
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Nachdem ''x'' und ''y'' Winkel im ersten Quadrant sind, sind <math>\cos x</math> und <math>\cos y</math> positiv und wir erhalten dadurch
{{Abgesetzte Formel||<math>\cos x = \frac{\sqrt{5}}{3}\qquad\text{und}\qquad\cos y = \frac{2\sqrt{2}}{3}\,\textrm{.}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>\cos x = \frac{\sqrt{5}}{3}\qquad\text{und}\qquad\cos y = \frac{2\sqrt{2}}{3}\,\textrm{.}</math>}}

Aktuelle Version

Durch das Additionstheorem erhalten wir

\displaystyle \sin (x+y) = \sin x\cdot \cos y + \cos x\cdot \sin y\,\textrm{.}

Weiterhin ist es möglich, die Terme \displaystyle \cos x und \displaystyle \cos y durch \displaystyle \sin x und \displaystyle \sin y zu schreiben, und zwar mit dem Satz des Pythagoras:

\displaystyle \begin{align}

\cos x &= \pm \sqrt{1-\sin^2\!x} = \pm \sqrt{1-(2/3)^2} = \pm\frac{\sqrt{5}}{3}\,,\\[5pt] \cos y &= \pm \sqrt{1-\sin^2\!y} = \pm \sqrt{1-(1/3)^{2}} = \pm \frac{2\sqrt{2}}{3}\,\textrm{.} \end{align}

Nachdem x und y Winkel im ersten Quadrant sind, sind \displaystyle \cos x und \displaystyle \cos y positiv und wir erhalten dadurch

\displaystyle \cos x = \frac{\sqrt{5}}{3}\qquad\text{und}\qquad\cos y = \frac{2\sqrt{2}}{3}\,\textrm{.}

Schließlich erhalten wir

\displaystyle \sin (x+y) = \frac{2}{3}\cdot \frac{2\sqrt{2}}{3} + \frac{\sqrt{5}}{3}\cdot \frac{1}{3} = \frac{4\sqrt{2} + \sqrt{5}}{9}\,\textrm{.}
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