4.3 Trigonometrische Eigenschaften

Aus Online Mathematik Brückenkurs 1

(Unterschied zwischen Versionen)
Wechseln zu: Navigation, Suche
Aktuelle Version (13:33, 11. Aug. 2010) (bearbeiten) (rückgängig)
 
(Der Versionsvergleich bezieht 19 dazwischen liegende Versionen mit ein.)
Zeile 2: Zeile 2:
{| border="0" cellspacing="0" cellpadding="0" height="30" width="100%"
{| border="0" cellspacing="0" cellpadding="0" height="30" width="100%"
| style="border-bottom:1px solid #797979" width="5px" |  
| style="border-bottom:1px solid #797979" width="5px" |  
-
{{Gewählter Tab|[[4.3 Trigonometric relations|Theorie]]}}
+
{{Gewählter Tab|[[4.3 Trigonometrische Eigenschaften|Theorie]]}}
{{Nicht gewählter Tab|[[4.3 Übungen|Übungen]]}}
{{Nicht gewählter Tab|[[4.3 Übungen|Übungen]]}}
| style="border-bottom:1px solid #797979" width="100%"|  
| style="border-bottom:1px solid #797979" width="100%"|  
Zeile 17: Zeile 17:
'''Lernziele:'''
'''Lernziele:'''
-
Nach diesem Abschnitt sollten Sie folgendes können:
+
Nach diesem Abschnitt solltest Du folgendes können:
* Trigonometrische Identitäten durch den Einheitskreis herleiten.
* Trigonometrische Identitäten durch den Einheitskreis herleiten.
-
* Trigonometrische Ausdrücke mit den Trigonometrischen Identitäten vereinfachen.
+
* Trigonometrische Ausdrücke mit den trigonometrischen Identitäten vereinfachen.
}}
}}
-
== Einführung ==
+
Die Lernziele sind Dir aus der Schule noch bestens vertraut und Du weißt ganz genau, wie man die zugehörigen Rechnungen ausführt? Dann kannst Du auch gleich mit den <b>Prüfungen</b> beginnen (Du findest den Link in der Student Lounge).
-
Es gibt viele trigonometrische Formeln um verschiedene trigonometrische Ausdrücke umzuwandeln. Diese Formeln benennt man meistens die Trigonometrische Identitäten- Wir werden hier einige Trigonometrische Identitäten zeigen, aber es gibt noch viele mehr. Die meisten können durch die Doppelwinkelfunktionen und durch den trigonometrische Pythagoras hergeleitet werden, die also sehr zentrale Identitäten sind.
+
-
== Der trigonometrische Pythagoras ==
+
== A - Einführung ==
 +
Es gibt viele trigonometrische Formeln, um verschiedene trigonometrische Ausdrücke umzuwandeln. Diese Formeln nennt man meist die trigonometrischen Identitäten. Wir werden hier einige trigonometrische Identitäten zeigen, aber es gibt noch viele mehr. Die meisten können durch die Doppelwinkelfunktionen und durch den trigonometrischen Pythagoras hergeleitet werden, die deshalb zentrale Identitäten sind.
 +
 
 +
== B - Der trigonometrische Pythagoras ==
{| width="100%"
{| width="100%"
| width="100%" valign="center" |
| width="100%" valign="center" |
-
Dieses Gesetz ist eigentlich nur ein Sonderfall des Gesetz des Pythagoras, für Dreiecke im Einheitskreis. Durch das rechtwinklige Dreieck im Bild, sehen wir dass
+
Dieses Gesetz ist eigentlich nur ein Sonderfall des Gesetzes von Pythagoras für Dreiecke im Einheitskreis. Durch das rechtwinklige Dreieck im Bild sehen wir, dass
{{Abgesetzte Formel||<math>(\sin v)^2 + (\cos v)^2 = 1\,\mbox{,}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>(\sin v)^2 + (\cos v)^2 = 1\,\mbox{,}</math>}}
-
which is usually written as <math>\sin^2\!v + \cos^2\!v = 1</math>.
+
das normalerweise als <math>\sin^2\!v + \cos^2\!v = 1</math> geschrieben wird.
| valign="center" |
| valign="center" |
{{:4.3 - Bild - Sats des Pythagoras}}
{{:4.3 - Bild - Sats des Pythagoras}}
Zeile 39: Zeile 41:
-
== Symmetrien ==
+
== C - Symmetrien ==
-
Mit Spiegelungen im Einheitskreis, kann man viele Symmetrien der trigonometrischen Funktionen zeigen.
+
Mit Spiegelungen im Einheitskreis kann man viele Symmetrien der trigonometrischen Funktionen zeigen.
<div class="regel">
<div class="regel">
{{Abgesetzte Formel||<math>
{{Abgesetzte Formel||<math>
-
\begin{align*}
+
\begin{align*}
-
\cos (-v) &= \cos v\vphantom{\Bigl(}\\
+
\cos (-v) &= \cos v\vphantom{\Bigl(}\\
-
\sin (-v) &= - \sin v\vphantom{\Bigl(}\\
+
\sin (-v) &= - \sin v\vphantom{\Bigl(}\\
-
\cos (\pi-v) &= - \cos v\vphantom{\Bigl(}\\
+
\cos (\pi-v) &= - \cos v\vphantom{\Bigl(}\\
-
\sin (\pi-v) &= \sin v\vphantom{\Bigl(}\\
+
\sin (\pi-v) &= \sin v\vphantom{\Bigl(}\\
-
\end{align*}
+
\end{align*}
-
\qquad\quad
+
\qquad\quad
-
\begin{align*}
+
\begin{align*}
-
\cos \Bigl(\displaystyle \frac{\pi}{2} -v \Bigr) &= \sin v\\
+
\cos \Bigl(\displaystyle \frac{\pi}{2} -v \Bigr) &= \sin v\\
-
\sin \Bigl(\displaystyle \frac{\pi}{2} -v \Bigr) &= \cos v\\
+
\sin \Bigl(\displaystyle \frac{\pi}{2} -v \Bigr) &= \cos v\\
-
\cos \Bigl(v + \displaystyle \frac{\pi}{2} \Bigr) &= - \sin v\\
+
\cos \Bigl(v + \displaystyle \frac{\pi}{2} \Bigr) &= - \sin v\\
-
\sin \Bigl( v + \displaystyle \frac{\pi}{2} \Bigr) &= \cos v\\
+
\sin \Bigl( v + \displaystyle \frac{\pi}{2} \Bigr) &= \cos v\\
-
\end{align*}
+
\end{align*}
</math>}}
</math>}}
</div>
</div>
Zeile 64: Zeile 66:
-
'''Spiegelung in der ''x''-Achse'''
+
'''Spiegelung an der ''x''-Achse'''
{|
{|
|-
|-
Zeile 71: Zeile 73:
| width=45% valign=top |
| width=45% valign=top |
<br>
<br>
-
Durch Spiegelung in der ''x''-Achse bekommt der Winkel <math>v</math>, <math>-v</math>.
+
Durch Spiegelung an der ''x''-Achse wird der Winkel <math>v</math>, <math>-v</math>.
-
Die Spiegelung bewirkt nicht die ''x''-Koordinate, während die ''y''-Koordinate Vorzeichen tauscht.
+
Die Spiegelung wirkt sich nicht auf die ''x''-Koordinate aus, während die ''y''-Koordinate ihr Vorzeichen tauscht.
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align*}
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align*}
-
\cos(-v) &= \cos v\,\mbox{,}\\
+
\cos(-v) &= \cos v\,\mbox{,}\\
-
\sin (-v) &= - \sin v\,\mbox{.}\\
+
\sin (-v) &= - \sin v\,\mbox{.}\\
-
\end{align*}</math>}}
+
\end{align*}</math>}}
| width=5% valign=top |
| width=5% valign=top |
Zeile 83: Zeile 85:
-
'''Spiegelung in der ''x''-Achse'''
+
'''Spiegelung an der ''y''-Achse'''
{|
{|
|-
|-
Zeile 90: Zeile 92:
| width=45% valign=top |
| width=45% valign=top |
<br>
<br>
-
Durch Spiegelung in der ''y''-Achse bekommt der Winkel <math>v</math>, <math>\pi-v</math> (Der gespiegelte Winkel bildet den Winkel <math>v</math> mit der negativen ''x''-Achse)
+
Durch Spiegelung an der ''y''-Achse wird der Winkel <math>v</math>, <math>\pi-v</math> (Der gespiegelte Winkel bildet den Winkel <math>v</math> mit der negativen ''x''-Achse)
-
Die Spiegelung bewirkt nicht die ''y''-Koordinate, während die ''x''-Koordinate Vorzeichen tauscht.
+
Die Spiegelung wirkt sich nicht auf die ''y''-Koordinate aus, während die ''x''-Koordinate ihr Vorzeichen tauscht.
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align*}
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align*}
-
\cos(\pi-v) &= -\cos v\,\mbox{,}\\
+
\cos(\pi-v) &= -\cos v\,\mbox{,}\\
-
\sin (\pi-v) &= \sin v\,\mbox{.}\\
+
\sin (\pi-v) &= \sin v\,\mbox{.}\\
-
\end{align*}</math>}}
+
\end{align*}</math>}}
| width=5% valign=top |
| width=5% valign=top |
Zeile 103: Zeile 105:
-
''' Spiegelung in der Geraden ''y = x'' '''
+
''' Spiegelung an der Geraden ''y = x'' '''
{|
{|
|-
|-
Zeile 110: Zeile 112:
| width=45% valign=top |
| width=45% valign=top |
<br>
<br>
-
Durch eine Spiegelung in der Geraden, bekommt der Winkel <math>v</math>, <math>\pi/2 - v</math> (Der gespiegelte Winkel bildet den Winkel <math>v</math> mit der positiven ''y''-Achse).
+
Durch eine Spiegelung an der Geraden wird der Winkel <math>v</math>, <math>\pi/2 - v</math> (Der gespiegelte Winkel bildet den Winkel <math>v</math> mit der positiven ''y''-Achse).
-
Durch die Spiegelung tauschen die ''x''- und ''y''-Koordinaten Stellen.
+
Durch die Spiegelung tauschen die ''x''- und die ''y''- Koordinaten ihre Plätze.
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align*}
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align*}
-
\cos \Bigl(\frac{\pi}{2} - v \Bigr) &= \sin v\,\mbox{.}\\
+
\cos \Bigl(\frac{\pi}{2} - v \Bigr) &= \sin v\,\mbox{.}\\
-
\sin \Bigl(\frac{\pi}{2} - v \Bigr) &= \cos v\,\mbox{.}\\
+
\sin \Bigl(\frac{\pi}{2} - v \Bigr) &= \cos v\,\mbox{.}\\
-
\end{align*}</math>}}
+
\end{align*}</math>}}
| width=5% valign=top |
| width=5% valign=top |
Zeile 124: Zeile 126:
-
''' Umdrehung mit dem Winkel <math>\mathbf{\pi/2}</math>'''
+
''' Drehung um den Winkel <math>\mathbf{\pi/2}</math>'''
{|
{|
|-
|-
Zeile 131: Zeile 133:
| width=40% valign=top |
| width=40% valign=top |
<br>
<br>
-
Durch eine Umdrehung von <math>\pi/2</math> bekommt der Winkel <math>v</math>, <math>v+\pi/2</math>.
+
Durch eine Umdrehung von <math>\pi/2</math> wird der Winkel <math>v</math> zu <math>v+\pi/2</math>.
-
Durch die Umdrehung bekommt die Koordinate <math>(x,y)</math>, <math>(-y,x)</math>.
+
Durch die Drehung wird die Koordinate <math>(x,y)</math> zu <math>(-y,x)</math>.
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align*}
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align*}
-
\cos \Bigl(v+\frac{\pi}{2}\Bigr) &= -\sin v\,\mbox{,}\\
+
\cos \Bigl(v+\frac{\pi}{2}\Bigr) &= -\sin v\,\mbox{,}\\
-
\sin \Bigl(v+\frac{\pi}{2} \Bigr) &= \cos v\,\mbox{.}
+
\sin \Bigl(v+\frac{\pi}{2} \Bigr) &= \cos v\,\mbox{.}
-
\end{align*}</math>}}
+
\end{align*}</math>}}
| width=10% valign=top |
| width=10% valign=top |
Zeile 143: Zeile 145:
-
== Die Additionstheoreme und die Doppelwinkelfunktionen und die Halbwinkelformeln ==
+
== D - Die Additionstheoreme, die Doppelwinkelfunktionen und die Halbwinkelformeln ==
-
Oft kommen Ausdrücke mit Summen von Winkeln vor, sowie <math>\sin(u+v)</math>. Sehr hilfreich sind bei solchen Ausdrücken die Additionstheoreme. Für Sinus und Kosinus lauten die Additionstheoreme
+
Oft kommen Ausdrücke mit Summen von Winkeln vor, sowie <math>\sin(u+v)</math>. Sehr hilfreich sind bei solchen Ausdrücken die Additionstheoreme. Für Sinus und Cosinus lauten die Additionstheoreme
<div class="regel">
<div class="regel">
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align*}
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align*}
-
\sin(u + v) &= \sin u\,\cos v + \cos u\,\sin v\,\mbox{,}\\
+
\sin(u + v) &= \sin u\,\cos v + \cos u\,\sin v\,\mbox{,}\\
-
\sin(u – v) &= \sin u\,\cos v – \cos u\,\sin v\,\mbox{,}\\
+
\sin(u – v) &= \sin u\,\cos v – \cos u\,\sin v\,\mbox{,}\\
-
\cos(u + v) &= \cos u\,\cos v – \sin u\,\sin v\,\mbox{,}\\
+
\cos(u + v) &= \cos u\,\cos v – \sin u\,\sin v\,\mbox{,}\\
-
\cos(u – v) &= \cos u\,\cos v + \sin u\,\sin v\,\mbox{.}\\
+
\cos(u – v) &= \cos u\,\cos v + \sin u\,\sin v\,\mbox{.}\\
-
\end{align*}</math>}}
+
\end{align*}</math>}}
</div>
</div>
Zeile 160: Zeile 162:
<div class="regel">
<div class="regel">
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align*}
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align*}
-
\sin 2v &= 2 \sin v \cos v\,\mbox{,}\\
+
\sin 2v &= 2 \sin v \cos v\,\mbox{,}\\
-
\cos 2v &= \cos^2\!v – \sin^2\!v \,\mbox{.}\\
+
\cos 2v &= \cos^2\!v – \sin^2\!v \,\mbox{.}\\
-
\end{align*}</math>}}
+
\end{align*}</math>}}
</div>
</div>
-
Indem man in diesen Formeln <math>2v</math> mit <math>v</math> ersetzt, und natürlich auch <math>v</math> mit <math>v/2</math>, erhaltet man für <math>\cos 2v</math>
+
Indem man in diese Formel <math>2v</math> mit <math>v</math> ersetzt und natürlich auch <math>v</math> mit <math>v/2</math>, erhält man für <math>\cos 2v</math>
{{Abgesetzte Formel||<math>
{{Abgesetzte Formel||<math>
-
\cos v = \cos^2\!\frac{v}{2} – \sin^2\!\frac{v}{2}\,\mbox{.}</math>}}
+
\cos v = \cos^2\!\frac{v}{2} – \sin^2\!\frac{v}{2}\,\mbox{.}</math>}}
Durch den trigonometrischen Pythagoras werden wir den Term <math>\cos^2(v/2)</math> los
Durch den trigonometrischen Pythagoras werden wir den Term <math>\cos^2(v/2)</math> los
{{Abgesetzte Formel||<math>
{{Abgesetzte Formel||<math>
-
\cos v = 1 – \sin^2\!\frac{v}{2} – \sin^2\!\frac{v}{2}
+
\cos v = 1 – \sin^2\!\frac{v}{2} – \sin^2\!\frac{v}{2}
-
= 1 – 2\sin^2\!\frac{v}{2}</math>}}
+
= 1 – 2\sin^2\!\frac{v}{2}</math>}}
also
also
<div class="regel">
<div class="regel">
{{Abgesetzte Formel||<math>
{{Abgesetzte Formel||<math>
-
\sin^2\!\frac{v}{2} = \frac{1 – \cos v}{2}\,\mbox{.}</math>}}
+
\sin^2\!\frac{v}{2} = \frac{1 – \cos v}{2}\,\mbox{.}</math>}}
</div>
</div>
-
Man kann natürlich auch den trigonometrischen Pythagoras verwenden um den Term <math>\sin^2(v/2)</math> loszuwerden. So erhalten wir statt dessen
+
Man kann natürlich auch den trigonometrischen Pythagoras verwenden, um den Term <math>\sin^2(v/2)</math> loszuwerden. So erhalten wir statt dessen
<div class="regel">
<div class="regel">
{{Abgesetzte Formel||<math>
{{Abgesetzte Formel||<math>
-
\cos^2\!\frac{v}{2} = \frac{1 + \cos v}{2}\,\mbox{.}</math>}}
+
\cos^2\!\frac{v}{2} = \frac{1 + \cos v}{2}\,\mbox{.}</math>}}
</div>
</div>
 +
<br><br>
 +
 +
Noch Fragen zu diesem Kapitel? Dann schau nach im Kursforum (Du findest den Link in der Student Lounge) oder frag nach per Skype bei ombTutor <skype style="call" action="call">ombTutor</skype> <skype style="chat" action="chat">ombTutor</skype>
 +
Keine Fragen mehr? Dann mache weiter mit den '''[[4.3 Übungen|Übungen]]''' .
-
[[4.3 Übungen|Übungen]]
 
<div class="inforuta" style="width:580px;">
<div class="inforuta" style="width:580px;">
-
'''Tipps fürs lernen'''
+
'''Tipps fürs Lernen'''
'''Diagnostische Prüfung und Schlussprüfung'''
'''Diagnostische Prüfung und Schlussprüfung'''
-
Nachdem Sie mit der Theorie vfind sollten Sie die diagnostische Prüfung und die Schlussprüfung machen. Sie finden die links zu den Prüfungen in Ihrer "Student Lounge".
+
Nachdem du mit der Theorie und den Übungen fertig bist, solltest Du die diagnostische Prüfung und die Schlussprüfung machen. Du findest die Links zu den Prüfungen in Deiner "Student Lounge".
-
'''Bedenken Sie folgendes:'''
+
'''Bedenken folgendes:'''
-
Der Einheitskreis ist ein Sehr nützliches Hilfsmittel um trigonometrische Identitäten herzuleiten. Es gibt sehr viele verschiedene trigonometrische Identitäten, und man kann sich nicht alle auswendig lernen. Deshalb ist es gut sie herleiten zu können. Der trigonometrische Pythagoras ist zum Beispiel nur ein Sonderfall vom Gesetz des Pythagoras im Einheitskreis.
+
Der Einheitskreis ist ein sehr nützliches Hilfsmittel, um trigonometrische Identitäten herzuleiten. Es gibt sehr viele verschiedene trigonometrische Identitäten, und man kann sie nicht alle auswendig lernen. Deshalb ist es gut, sie herleiten zu können. Der trigonometrische Pythagoras ist zum Beispiel nur ein Sonderfall des Gesetzes von Pythagoras im Einheitskreis.
'''Nützliche Websites'''
'''Nützliche Websites'''
-
[http://www.ies.co.jp/math/java/trig/cosbox/cosbox.html Experiment with the cosine “box” ]
+
[http://www.ies.co.jp/math/java/trig/cosbox/cosbox.html Experimentiere mit der "Cosinuskiste" (engl.) ]
</div>
</div>

Aktuelle Version

       Theorie          Übungen      

Inhalt:

  • Der trigonometrische Pythagoras
  • Die Doppelwinkelfunktionen und die Halbwinkelformeln
  • Die Additionstheoreme

Lernziele:

Nach diesem Abschnitt solltest Du folgendes können:

  • Trigonometrische Identitäten durch den Einheitskreis herleiten.
  • Trigonometrische Ausdrücke mit den trigonometrischen Identitäten vereinfachen.

Die Lernziele sind Dir aus der Schule noch bestens vertraut und Du weißt ganz genau, wie man die zugehörigen Rechnungen ausführt? Dann kannst Du auch gleich mit den Prüfungen beginnen (Du findest den Link in der Student Lounge).

A - Einführung

Es gibt viele trigonometrische Formeln, um verschiedene trigonometrische Ausdrücke umzuwandeln. Diese Formeln nennt man meist die trigonometrischen Identitäten. Wir werden hier einige trigonometrische Identitäten zeigen, aber es gibt noch viele mehr. Die meisten können durch die Doppelwinkelfunktionen und durch den trigonometrischen Pythagoras hergeleitet werden, die deshalb zentrale Identitäten sind.

B - Der trigonometrische Pythagoras

Dieses Gesetz ist eigentlich nur ein Sonderfall des Gesetzes von Pythagoras für Dreiecke im Einheitskreis. Durch das rechtwinklige Dreieck im Bild sehen wir, dass

\displaystyle (\sin v)^2 + (\cos v)^2 = 1\,\mbox{,}

das normalerweise als \displaystyle \sin^2\!v + \cos^2\!v = 1 geschrieben wird.

[Image]


C - Symmetrien

Mit Spiegelungen im Einheitskreis kann man viele Symmetrien der trigonometrischen Funktionen zeigen.

\displaystyle

\begin{align*} \cos (-v) &= \cos v\vphantom{\Bigl(}\\ \sin (-v) &= - \sin v\vphantom{\Bigl(}\\ \cos (\pi-v) &= - \cos v\vphantom{\Bigl(}\\ \sin (\pi-v) &= \sin v\vphantom{\Bigl(}\\ \end{align*} \qquad\quad \begin{align*} \cos \Bigl(\displaystyle \frac{\pi}{2} -v \Bigr) &= \sin v\\ \sin \Bigl(\displaystyle \frac{\pi}{2} -v \Bigr) &= \cos v\\ \cos \Bigl(v + \displaystyle \frac{\pi}{2} \Bigr) &= - \sin v\\ \sin \Bigl( v + \displaystyle \frac{\pi}{2} \Bigr) &= \cos v\\ \end{align*}

Wie gesagt kann man diese Symmetrien einfach mit dem Einheitskreis herleiten.


Spiegelung an der x-Achse

[Image]


Durch Spiegelung an der x-Achse wird der Winkel \displaystyle v, \displaystyle -v.

Die Spiegelung wirkt sich nicht auf die x-Koordinate aus, während die y-Koordinate ihr Vorzeichen tauscht.

\displaystyle \begin{align*}

\cos(-v) &= \cos v\,\mbox{,}\\ \sin (-v) &= - \sin v\,\mbox{.}\\ \end{align*}


Spiegelung an der y-Achse

[Image]


Durch Spiegelung an der y-Achse wird der Winkel \displaystyle v, \displaystyle \pi-v (Der gespiegelte Winkel bildet den Winkel \displaystyle v mit der negativen x-Achse)

Die Spiegelung wirkt sich nicht auf die y-Koordinate aus, während die x-Koordinate ihr Vorzeichen tauscht.

\displaystyle \begin{align*}

\cos(\pi-v) &= -\cos v\,\mbox{,}\\ \sin (\pi-v) &= \sin v\,\mbox{.}\\ \end{align*}


Spiegelung an der Geraden y = x

[Image]


Durch eine Spiegelung an der Geraden wird der Winkel \displaystyle v, \displaystyle \pi/2 - v (Der gespiegelte Winkel bildet den Winkel \displaystyle v mit der positiven y-Achse).


Durch die Spiegelung tauschen die x- und die y- Koordinaten ihre Plätze.

\displaystyle \begin{align*}

\cos \Bigl(\frac{\pi}{2} - v \Bigr) &= \sin v\,\mbox{.}\\ \sin \Bigl(\frac{\pi}{2} - v \Bigr) &= \cos v\,\mbox{.}\\ \end{align*}


Drehung um den Winkel \displaystyle \mathbf{\pi/2}

[Image]


Durch eine Umdrehung von \displaystyle \pi/2 wird der Winkel \displaystyle v zu \displaystyle v+\pi/2.

Durch die Drehung wird die Koordinate \displaystyle (x,y) zu \displaystyle (-y,x).

\displaystyle \begin{align*}

\cos \Bigl(v+\frac{\pi}{2}\Bigr) &= -\sin v\,\mbox{,}\\ \sin \Bigl(v+\frac{\pi}{2} \Bigr) &= \cos v\,\mbox{.} \end{align*}


D - Die Additionstheoreme, die Doppelwinkelfunktionen und die Halbwinkelformeln

Oft kommen Ausdrücke mit Summen von Winkeln vor, sowie \displaystyle \sin(u+v). Sehr hilfreich sind bei solchen Ausdrücken die Additionstheoreme. Für Sinus und Cosinus lauten die Additionstheoreme

\displaystyle \begin{align*}

\sin(u + v) &= \sin u\,\cos v + \cos u\,\sin v\,\mbox{,}\\ \sin(u – v) &= \sin u\,\cos v – \cos u\,\sin v\,\mbox{,}\\ \cos(u + v) &= \cos u\,\cos v – \sin u\,\sin v\,\mbox{,}\\ \cos(u – v) &= \cos u\,\cos v + \sin u\,\sin v\,\mbox{.}\\ \end{align*}

Um die Doppelwinkelfunktionen \displaystyle \sin 2v und \displaystyle \cos 2v zu erhalten, kann man die Sonderfälle \displaystyle \sin(v + v) und \displaystyle \cos(v + v) der Additionstheoreme betrachten

\displaystyle \begin{align*}

\sin 2v &= 2 \sin v \cos v\,\mbox{,}\\ \cos 2v &= \cos^2\!v – \sin^2\!v \,\mbox{.}\\ \end{align*}

Indem man in diese Formel \displaystyle 2v mit \displaystyle v ersetzt und natürlich auch \displaystyle v mit \displaystyle v/2, erhält man für \displaystyle \cos 2v

\displaystyle

\cos v = \cos^2\!\frac{v}{2} – \sin^2\!\frac{v}{2}\,\mbox{.}

Durch den trigonometrischen Pythagoras werden wir den Term \displaystyle \cos^2(v/2) los

\displaystyle

\cos v = 1 – \sin^2\!\frac{v}{2} – \sin^2\!\frac{v}{2} = 1 – 2\sin^2\!\frac{v}{2}

also

\displaystyle

\sin^2\!\frac{v}{2} = \frac{1 – \cos v}{2}\,\mbox{.}

Man kann natürlich auch den trigonometrischen Pythagoras verwenden, um den Term \displaystyle \sin^2(v/2) loszuwerden. So erhalten wir statt dessen

\displaystyle

\cos^2\!\frac{v}{2} = \frac{1 + \cos v}{2}\,\mbox{.}



Noch Fragen zu diesem Kapitel? Dann schau nach im Kursforum (Du findest den Link in der Student Lounge) oder frag nach per Skype bei ombTutor My status My status

Keine Fragen mehr? Dann mache weiter mit den Übungen .


Tipps fürs Lernen

Diagnostische Prüfung und Schlussprüfung

Nachdem du mit der Theorie und den Übungen fertig bist, solltest Du die diagnostische Prüfung und die Schlussprüfung machen. Du findest die Links zu den Prüfungen in Deiner "Student Lounge".


Bedenken folgendes:

Der Einheitskreis ist ein sehr nützliches Hilfsmittel, um trigonometrische Identitäten herzuleiten. Es gibt sehr viele verschiedene trigonometrische Identitäten, und man kann sie nicht alle auswendig lernen. Deshalb ist es gut, sie herleiten zu können. Der trigonometrische Pythagoras ist zum Beispiel nur ein Sonderfall des Gesetzes von Pythagoras im Einheitskreis.

Nützliche Websites

Experimentiere mit der "Cosinuskiste" (engl.)

Von „http://wiki.sommarmatte.se/wikis/2009/bridgecourse1-TU-Berlin/index.php/4.3_Trigonometrische_Eigenschaften“