Lösung 4.2:9

Aus Online Mathematik Brückenkurs 1

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Wir betrachten das Dreieck im unteren Bild. Der ersuchter Abstand ist die Hypotenuse ''c''.
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Wir betrachten das Dreieck im unteren Bild. Der gesuchte Abstand ist die Hypotenuse ''c''.
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<center>{{:4.2.9 - Solution - An auxiliary triangle with vertices A to B}}</center>
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Die Hypotenuse können wir durch das Gesetz des Pythagoras bestimmen
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Die Hypotenuse können wir durch den Satz des Pythagoras bestimmen
{{Abgesetzte Formel||<math>c^2 = a^2 + b^2\,\textrm{.}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>c^2 = a^2 + b^2\,\textrm{.}</math>}}
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Wir können die Katheten bestimmen, indem wir das Dreieck APR im nächsten Bild betrachten.
Wir können die Katheten bestimmen, indem wir das Dreieck APR im nächsten Bild betrachten.
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<center>{{:4.2.9 - Solution - An auxiliary triangle with vertices A to P}}</center>
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Nachdem <math>\text{AP}=4</math> erhalten wir einfach ''x'' und ''y'',
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Nachdem <math>\text{AP}=4</math>, erhalten wir einfach ''x'' und ''y'':
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Mit ''x'' und ''y'' erhalten wir die Katheten ''a'' und ''b'' indem wir die horizontalen und vertikalen Abstände in der Figur betrachten.
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Mit ''x'' und ''y'' erhalten wir die Katheten ''a'' und ''b'', indem wir die horizontalen und vertikalen Abstände in der Figur betrachten.
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| align="center" valign="center"|<math>\begin{align}a &= x+5 = 2+5 = 7,\\ b &= 12-y = 12-2\sqrt{3}.\end{align}</math>
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Mit ''a'' und ''b'' erhalten wir c durch das Gesetz des Pythagoras
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Mit ''a'' und ''b'' erhalten wir c durch den Satz des Pythagoras
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
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&= \sqrt{7^2+(12-2\sqrt{3})^2}\\[5pt]
&= \sqrt{7^2+(12-2\sqrt{3})^2}\\[5pt]
&= \sqrt{49+(12^2-2\cdot 12\cdot 2\sqrt{3}+(2\sqrt{3})^2)}\\[5pt]
&= \sqrt{49+(12^2-2\cdot 12\cdot 2\sqrt{3}+(2\sqrt{3})^2)}\\[5pt]
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&= \sqrt{205-38\sqrt{3}}\\[5pt]
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&= \sqrt{205-48\sqrt{3}}\\[5pt]
&\approx 11\textrm{.}0\ \text{km}\textrm{.}
&\approx 11\textrm{.}0\ \text{km}\textrm{.}
\end{align}</math>}}
\end{align}</math>}}

Aktuelle Version

Wir betrachten das Dreieck im unteren Bild. Der gesuchte Abstand ist die Hypotenuse c.

[Image]

Die Hypotenuse können wir durch den Satz des Pythagoras bestimmen

\displaystyle c^2 = a^2 + b^2\,\textrm{.}

Wir können die Katheten bestimmen, indem wir das Dreieck APR im nächsten Bild betrachten.

[Image]

Nachdem \displaystyle \text{AP}=4, erhalten wir einfach x und y:

\displaystyle \begin{align}

x &= 4\sin 30^{\circ } = 4\cdot \frac{1}{2} = 2,\\[5pt] y &= 4\cos 30^{\circ } = 4\cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3}\,\textrm{.} \end{align}

Mit x und y erhalten wir die Katheten a und b, indem wir die horizontalen und vertikalen Abstände in der Figur betrachten.

\displaystyle \begin{align}a &= x+5 = 2+5 = 7,\\ b &= 12-y = 12-2\sqrt{3}.\end{align}  

[Image]

Mit a und b erhalten wir c durch den Satz des Pythagoras

\displaystyle \begin{align}

c &= \sqrt{a^2+b^2}\\[5pt] &= \sqrt{7^2+(12-2\sqrt{3})^2}\\[5pt] &= \sqrt{49+(12^2-2\cdot 12\cdot 2\sqrt{3}+(2\sqrt{3})^2)}\\[5pt] &= \sqrt{205-48\sqrt{3}}\\[5pt] &\approx 11\textrm{.}0\ \text{km}\textrm{.} \end{align}

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