Lösung 3.2:6
Aus Online Mathematik Brückenkurs 1
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| - | Die Gleichung ist etwas anders als die vorigen, nachdem sie zwei Wurzeln enthält. Wir beginnen aber wie immer damit beide Seiten zu quadrieren. | + | Die Gleichung ist etwas anders als die vorigen, nachdem sie zwei Wurzeln enthält. Wir beginnen aber wie immer damit, beide Seiten zu quadrieren. |
{{Abgesetzte Formel||<math>\bigl(\sqrt{x+1}+\sqrt{x+5}\,\bigr)^2 = 4^2</math>}} | {{Abgesetzte Formel||<math>\bigl(\sqrt{x+1}+\sqrt{x+5}\,\bigr)^2 = 4^2</math>}} | ||
| - | Wir erweitern die | + | Wir erweitern die linke Seite, und erhalten |
| - | {{Abgesetzte Formel||<math>\bigl(\sqrt{x+1}\bigr)^2 + 2\sqrt{x+1}\sqrt{x+5} + \bigl(\sqrt{x+5}\bigr)^2 = 16</math>}} | + | {{Abgesetzte Formel||<math>\bigl(\sqrt{x+1}\bigr)^2 + 2\sqrt{x+1}\sqrt{x+5} + \bigl(\sqrt{x+5}\bigr)^2 = 16\,.</math>}} |
| - | + | Also erhalten wir nach Vereinfachung die Gleichung | |
{{Abgesetzte Formel||<math>x+1+2\sqrt{x+1}\sqrt{x+5}+x+5=16\,\textrm{.}</math>}} | {{Abgesetzte Formel||<math>x+1+2\sqrt{x+1}\sqrt{x+5}+x+5=16\,\textrm{.}</math>}} | ||
| - | Wir schreiben die Gleichung | + | Wir schreiben die Gleichung so, dass alle Terme außer die Wurzel auf der rechten Seite sind |
| - | {{Abgesetzte Formel||<math>2\sqrt{x+1}\sqrt{x+5}=-2x+10</math>}} | + | {{Abgesetzte Formel||<math>2\sqrt{x+1}\sqrt{x+5}=-2x+10\,.</math>}} |
| - | Quadrieren wir die Gleichung noch einmal erhalten wir | + | Quadrieren wir die Gleichung noch einmal, erhalten wir |
| - | {{Abgesetzte Formel||<math>\bigl(2\sqrt{x+1}\sqrt{x+5}\bigr)^2 = (-2x+10)^2</math>}} | + | {{Abgesetzte Formel||<math>\bigl(2\sqrt{x+1}\sqrt{x+5}\bigr)^2 = (-2x+10)^2\,.</math>}} |
| - | + | Damit haben wir eine Gleichung ohne Wurzeln. | |
{{Abgesetzte Formel||<math>4(x+1)(x+5) = (-2x+10)^{2}\,\textrm{.}</math>}} | {{Abgesetzte Formel||<math>4(x+1)(x+5) = (-2x+10)^{2}\,\textrm{.}</math>}} | ||
| - | Wir erweitern beide Seiten | + | Wir erweitern beide Seiten und erhalten |
{{Abgesetzte Formel||<math>4(x^{2}+6x+5) = 4x^2-40x+100</math>}} | {{Abgesetzte Formel||<math>4(x^{2}+6x+5) = 4x^2-40x+100</math>}} | ||
| - | Die gemeinsamen <math>x^2</math>-Terme | + | Die gemeinsamen <math>x^2</math>-Terme löschen sich aus und wir bekommen |
{{Abgesetzte Formel||<math>24x+20=-40x+100\,\textrm{.}</math>}} | {{Abgesetzte Formel||<math>24x+20=-40x+100\,\textrm{.}</math>}} | ||
| - | Diese Gleichung kann wie <math>64x = 80</math> geschrieben werden | + | Diese Gleichung kann wie <math>64x = 80</math> geschrieben werden und dies ergibt |
{{Abgesetzte Formel||<math>x = \frac{80}{64} = \frac{2^{4}\cdot 5}{2^{6}} = \frac{5}{2^{2}} = \frac{5}{4}\,\textrm{.}</math>}} | {{Abgesetzte Formel||<math>x = \frac{80}{64} = \frac{2^{4}\cdot 5}{2^{6}} = \frac{5}{2^{2}} = \frac{5}{4}\,\textrm{.}</math>}} | ||
| - | Wir kontrollieren ob die Wurzel <math>x=5/4</math> die ursprüngliche Gleichung erfüllt: | + | Wir kontrollieren, ob die Wurzel <math>x=5/4</math> die ursprüngliche Gleichung erfüllt: |
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align} | {{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align} | ||
Aktuelle Version
Die Gleichung ist etwas anders als die vorigen, nachdem sie zwei Wurzeln enthält. Wir beginnen aber wie immer damit, beide Seiten zu quadrieren.
| \displaystyle \bigl(\sqrt{x+1}+\sqrt{x+5}\,\bigr)^2 = 4^2 |
Wir erweitern die linke Seite, und erhalten
| \displaystyle \bigl(\sqrt{x+1}\bigr)^2 + 2\sqrt{x+1}\sqrt{x+5} + \bigl(\sqrt{x+5}\bigr)^2 = 16\,. |
Also erhalten wir nach Vereinfachung die Gleichung
| \displaystyle x+1+2\sqrt{x+1}\sqrt{x+5}+x+5=16\,\textrm{.} |
Wir schreiben die Gleichung so, dass alle Terme außer die Wurzel auf der rechten Seite sind
| \displaystyle 2\sqrt{x+1}\sqrt{x+5}=-2x+10\,. |
Quadrieren wir die Gleichung noch einmal, erhalten wir
| \displaystyle \bigl(2\sqrt{x+1}\sqrt{x+5}\bigr)^2 = (-2x+10)^2\,. |
Damit haben wir eine Gleichung ohne Wurzeln.
| \displaystyle 4(x+1)(x+5) = (-2x+10)^{2}\,\textrm{.} |
Wir erweitern beide Seiten und erhalten
| \displaystyle 4(x^{2}+6x+5) = 4x^2-40x+100 |
Die gemeinsamen \displaystyle x^2-Terme löschen sich aus und wir bekommen
| \displaystyle 24x+20=-40x+100\,\textrm{.} |
Diese Gleichung kann wie \displaystyle 64x = 80 geschrieben werden und dies ergibt
| \displaystyle x = \frac{80}{64} = \frac{2^{4}\cdot 5}{2^{6}} = \frac{5}{2^{2}} = \frac{5}{4}\,\textrm{.} |
Wir kontrollieren, ob die Wurzel \displaystyle x=5/4 die ursprüngliche Gleichung erfüllt:
| \displaystyle \begin{align}
\text{Linke Seite} &= \sqrt{\frac{5}{4}+1} + \sqrt{\frac{5}{4}+5} = \sqrt{\frac{9}{4}} + \sqrt{\frac{25}{4}}\\[10pt] &= \frac{3}{2} + \frac{5}{2} = \frac{8}{2} = 4 = \text{Rechte Seite}\,\textrm{.} \end{align} |
Also ist die Lösung \displaystyle x=5/4\,.
