Lösung 3.2:2
Aus Online Mathematik Brückenkurs 1
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Wir quadrieren zuerst die Gleichung | Wir quadrieren zuerst die Gleichung | ||
| - | {{Abgesetzte Formel||<math>2x+7 = (x+2)^2</math>}} | + | {{Abgesetzte Formel||<math>2x+7 = (x+2)^2</math>|(*)}} |
| - | und erhalten so eine Gleichung ohne Wurzeln. Wir erweitern die rechte Seite der Gleichung | + | und erhalten so eine Gleichung ohne Wurzeln. Wir erweitern die rechte Seite der Gleichung und erhalten |
| - | {{Abgesetzte Formel||<math>2x+7=x^{2}+4x+4</math> | + | {{Abgesetzte Formel||<math>2x+7=x^{2}+4x+4</math>}} |
oder | oder | ||
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{{Abgesetzte Formel||<math>x^2+2x-3 = (x+1)^2-1^2-3 = (x+1)^2-4\,\textrm{.}</math>}} | {{Abgesetzte Formel||<math>x^2+2x-3 = (x+1)^2-1^2-3 = (x+1)^2-4\,\textrm{.}</math>}} | ||
| - | + | Wir erhalten die Gleichung | |
{{Abgesetzte Formel||<math>(x+1)^2 = 4</math>}} | {{Abgesetzte Formel||<math>(x+1)^2 = 4</math>}} | ||
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:*<math>x=-1-\sqrt{4}=-1-2=-3</math> | :*<math>x=-1-\sqrt{4}=-1-2=-3</math> | ||
| - | Eine schnelle Kontrolle zeigt dass die Lösungen die Gleichung (*) erfüllen: | + | Eine schnelle Kontrolle zeigt, dass die Lösungen die Gleichung (*) erfüllen: |
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| - | Wir testen schließlich ob die Lösungen die ursprüngliche Wurzelgleichung erfüllen: | + | Wir testen schließlich, ob die Lösungen die ursprüngliche Wurzelgleichung erfüllen: |
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||<ul><li>''x'' = -3:</li></ul> | ||<ul><li>''x'' = -3:</li></ul> | ||
| - | ||<math>\ \text{Linke Seite} = \sqrt{2\cdot (-3)+7} = \sqrt{-6+7} = \sqrt{1} = 1</math> | + | ||<math>\ \text{Linke Seite} = \sqrt{2\cdot (-3)+7} = \sqrt{-6+7} = \sqrt{1} = 1</math> und |
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| - | Hinweis: Es ist nicht wirklich notwendig zu testen ob die Lösungen die Gleichung (*) erfüllen. Es ist aber immer notwendig zu testen ob die Lösungen die ursprüngliche Wurzelgleichung erfüllen. | + | Hinweis: Es ist nicht wirklich notwendig zu testen, ob die Lösungen die Gleichung (*) erfüllen. Es ist aber immer notwendig zu testen, ob die Lösungen die ursprüngliche Wurzelgleichung erfüllen. |
Aktuelle Version
Wir quadrieren zuerst die Gleichung
| \displaystyle 2x+7 = (x+2)^2 | (*) |
und erhalten so eine Gleichung ohne Wurzeln. Wir erweitern die rechte Seite der Gleichung und erhalten
| \displaystyle 2x+7=x^{2}+4x+4 |
oder
| \displaystyle x^{2}+2x-3=0\,\textrm{.} |
Quadratische Ergänzung auf der linken Seite gibt
| \displaystyle x^2+2x-3 = (x+1)^2-1^2-3 = (x+1)^2-4\,\textrm{.} |
Wir erhalten die Gleichung
| \displaystyle (x+1)^2 = 4 |
mit den Lösungen
- \displaystyle x=-1+\sqrt{4}=-1+2=1
- \displaystyle x=-1-\sqrt{4}=-1-2=-3
Eine schnelle Kontrolle zeigt, dass die Lösungen die Gleichung (*) erfüllen:
- x = -3:
\displaystyle \ \text{Linke Seite} = 2\cdot (-3)+7 = -6+7 = 1 und \displaystyle \ \text{Rechte Seite} = (-3+2)^{2} = 1 - x = 1:
\displaystyle \ \text{Linke Seite} = 2\cdot 1+7 = 2+7 = 9 und \displaystyle \ \text{Rechte Seite} = (1+2)^2 = 9
Wir testen schließlich, ob die Lösungen die ursprüngliche Wurzelgleichung erfüllen:
- x = -3:
\displaystyle \ \text{Linke Seite} = \sqrt{2\cdot (-3)+7} = \sqrt{-6+7} = \sqrt{1} = 1 und \displaystyle \ \text{Rechte Seite} = -3+2 = -1 - x = 1:
\displaystyle \ \text{Linke Seite} = \sqrt{2\cdot 1+7} = \sqrt{2+7} = \sqrt{9} = 3 \displaystyle \ \text{Rechte Seite} = 1+2 = 3
Daher ist \displaystyle x=1 die einzige Lösung der Gleichung (\displaystyle x=-3 ist eine Scheinlösung).
Hinweis: Es ist nicht wirklich notwendig zu testen, ob die Lösungen die Gleichung (*) erfüllen. Es ist aber immer notwendig zu testen, ob die Lösungen die ursprüngliche Wurzelgleichung erfüllen.
