Lösung 2.3:2d

Aus Online Mathematik Brückenkurs 1

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Wir normalisieren die Gleichung indem wir alle Terme mit 4 dividieren,
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Wir normalisieren die Gleichung, indem wir alle Terme durch 4 dividieren:
{{Abgesetzte Formel||<math>x^{2}-7x+\frac{13}{4}=0\,\textrm{.}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>x^{2}-7x+\frac{13}{4}=0\,\textrm{.}</math>}}
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Die Gleichung kann daher wie
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Die Gleichung kann daher als
{{Abgesetzte Formel||<math>\Bigl(x-\frac{7}{2}\Bigr)^{2} - 9 = 0\,,</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>\Bigl(x-\frac{7}{2}\Bigr)^{2} - 9 = 0\,,</math>}}
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:*<math>x-\frac{7}{2}=-\sqrt{9}=-3\,,\quad</math>, also <math>x=\frac{7}{2}-3=\frac{1}{2}.</math>
:*<math>x-\frac{7}{2}=-\sqrt{9}=-3\,,\quad</math>, also <math>x=\frac{7}{2}-3=\frac{1}{2}.</math>
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Ersetzen wor ''x'' mit 1/2 und 13/2 in der ursprünglichen Gleichung erhalten wir
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Ersetzen wir ''x'' mit 1/2 und 13/2 in der ursprünglichen Gleichung, erhalten wir
:*''x''&nbsp;=&nbsp;1/2: <math>\ \text{Linke Seite} = 4\cdot\bigl(\tfrac{1}{2}\bigr)^{2} - 28\cdot\tfrac{1}{2}+13 = 4\cdot\tfrac{1}{4}-14+13 = \text{Rechte Seite,}</math>
:*''x''&nbsp;=&nbsp;1/2: <math>\ \text{Linke Seite} = 4\cdot\bigl(\tfrac{1}{2}\bigr)^{2} - 28\cdot\tfrac{1}{2}+13 = 4\cdot\tfrac{1}{4}-14+13 = \text{Rechte Seite,}</math>
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:*''x''&nbsp;=&nbsp;13/2: <math>\ \text{Linke Seite} = 4\cdot\bigl(\tfrac{13}{2}\bigr)^{2} - 28\cdot\tfrac{13}{2}+13 = 4\cdot\tfrac{169}{4} - 14\cdot 13 + 13 = \text{Rechte Seite.}</math>
:*''x''&nbsp;=&nbsp;13/2: <math>\ \text{Linke Seite} = 4\cdot\bigl(\tfrac{13}{2}\bigr)^{2} - 28\cdot\tfrac{13}{2}+13 = 4\cdot\tfrac{169}{4} - 14\cdot 13 + 13 = \text{Rechte Seite.}</math>
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und also sind die Lösungen richtig.
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Also sind die Lösungen richtig.
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Alternativer Lösungsweg: [[2.3:2d_alt4|p-q_Formel]]

Aktuelle Version

Wir normalisieren die Gleichung, indem wir alle Terme durch 4 dividieren:

\displaystyle x^{2}-7x+\frac{13}{4}=0\,\textrm{.}

Quadratische Ergänzung ergibt

\displaystyle \begin{align}

x^{2}-7x+\frac{13}{4} &= \Bigl(x-\frac{7}{2}\Bigr)^{2} - \Bigl(\frac{7}{2}\Bigr)^{2} + \frac{13}{4}\\[5pt] &= \Bigl(x-\frac{7}{2}\Bigr)^{2} - \frac{49}{4} + \frac{13}{4}\\[5pt] &= \Bigl(x-\frac{7}{2}\Bigr)^{2} - \frac{36}{4}\\[5pt] &= \Bigl(x-\frac{7}{2}\Bigr)^{2} - 9\,\textrm{.} \end{align}

Die Gleichung kann daher als

\displaystyle \Bigl(x-\frac{7}{2}\Bigr)^{2} - 9 = 0\,,

geschrieben werden, und wir erhalten die Wurzeln

  • \displaystyle x-\frac{7}{2}=\sqrt{9}=3\,,\quad, also \displaystyle x=\frac{7}{2}+3=\frac{13}{2},
  • \displaystyle x-\frac{7}{2}=-\sqrt{9}=-3\,,\quad, also \displaystyle x=\frac{7}{2}-3=\frac{1}{2}.

Ersetzen wir x mit 1/2 und 13/2 in der ursprünglichen Gleichung, erhalten wir

  • x = 1/2: \displaystyle \ \text{Linke Seite} = 4\cdot\bigl(\tfrac{1}{2}\bigr)^{2} - 28\cdot\tfrac{1}{2}+13 = 4\cdot\tfrac{1}{4}-14+13 = \text{Rechte Seite,}
  • x = 13/2: \displaystyle \ \text{Linke Seite} = 4\cdot\bigl(\tfrac{13}{2}\bigr)^{2} - 28\cdot\tfrac{13}{2}+13 = 4\cdot\tfrac{169}{4} - 14\cdot 13 + 13 = \text{Rechte Seite.}

Also sind die Lösungen richtig.

Alternativer Lösungsweg: p-q_Formel

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