1.2 Brüche
Aus Online Mathematik Brückenkurs 1
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'''Lernziele:''' | '''Lernziele:''' | ||
| - | + | Nach diesem Abschnitt solltest Du ... | |
| - | * Ausdrücke bestehend aus Brüchen, den vier Grundrechnungsarten und Klammern berechnen. | + | * ... Ausdrücke bestehend aus Brüchen, den vier Grundrechnungsarten und Klammern berechnen können. |
| - | * Brüche so weit wie möglich kürzen. | + | * ... Brüche so weit wie möglich kürzen können. |
| - | * | + | * ... den Hauptnenner von Brüchen bestimmen können. |
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| - | == Brüche kürzen und erweitern == | + | Die Lernziele sind Dir aus der Schule noch bestens vertraut und Du weisst ganz genau, wie man die zugehörigen Rechnungen ausführt? Dann kannst Du auch gleich mit den <b>Prüfungen</b> beginnen (Du findest den Link in der Student Lounge). |
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| + | == A - Brüche kürzen und erweitern == | ||
Eine rationale Zahl kann in mehreren äquivalenten Formen dargestellt werden, je nach der Wahl des Zählers und Nenners. Zum Beispiel: | Eine rationale Zahl kann in mehreren äquivalenten Formen dargestellt werden, je nach der Wahl des Zählers und Nenners. Zum Beispiel: | ||
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{{Abgesetzte Formel||<math>0{,}25 = \frac{25}{100} = \frac{1}{4} = \frac{2}{8} = \frac{3}{12} = \frac{4}{16}\quad\textrm{etc.}</math>}} | {{Abgesetzte Formel||<math>0{,}25 = \frac{25}{100} = \frac{1}{4} = \frac{2}{8} = \frac{3}{12} = \frac{4}{16}\quad\textrm{etc.}</math>}} | ||
| - | Ein Bruch ändert also nicht seinen Wert, | + | Ein Bruch ändert also nicht seinen Wert, wenn man den Zähler und den Nenner jeweils mit der gleichen Zahl multipliziert oder durch die gleiche Zahl teilt. Diesen Vorgang nennt man erweitern bzw. kürzen. |
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| - | == Addition und Subtraktion von Brüchen == | + | == B - Addition und Subtraktion von Brüchen == |
| - | Um Brüche addieren und subtrahieren zu können, müssen alle Brüche denselben Nenner haben. Wenn das nicht der Fall ist, muss man zuerst die Brüche mit einer | + | Um Brüche addieren und subtrahieren zu können, müssen alle Brüche denselben Nenner haben. Wenn das nicht der Fall ist, muss man zuerst die Brüche mit einer geeigneten Zahl erweitern, sodass sie denselben Nenner bekommen. |
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| - | Das | + | Das Wichtigste hier ist, einen gemeinsamen Nenner zu finden. Einen gemeinsamen Nenner findet man einfach, indem man alle Brüche mit den Nennern der anderen Brüche erweitert. Oft erhält man dadurch aber sehr große Zahlen, die das Weiterrechnen erschweren. Daher ist es ideal, den ''kleinstmöglichen'' gemeinsamen Nenner, den sogenannten Hauptnenner, zu finden. |
| + | Der Hauptnenner zweier oder mehrerer Brüche ist das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV) der Nenner der einzelnen Brüche. | ||
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| - | Man sollte die Bruchrechnung so gut beherrschen, dass man direkt den | + | Man sollte die Bruchrechnung so gut beherrschen, dass man direkt den Hauptnenner von nicht all zu großen Brüchen findet. Eine allgemeine Methode um den Hauptnenner zu finden, besteht darin, dass man die Nenner in ihre Primfaktoren zerlegt. |
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<ol type="a"> | <ol type="a"> | ||
<li>Vereinfache <math>\ \frac{1}{60} + \frac{1}{42}</math>.<br/><br/> | <li>Vereinfache <math>\ \frac{1}{60} + \frac{1}{42}</math>.<br/><br/> | ||
| - | Wir zerlegen die Nenner zuerst in ihre Primfaktoren | + | Wir zerlegen die Nenner zuerst in ihre Primfaktoren. |
| - | {{Abgesetzte Formel||<math> | + | {{Abgesetzte Formel||<math>\eqalign{60 &= 2\cdot &2\cdot &3\cdot &5& \cr 42 &= &2\cdot &3\cdot &&7}</math>}} |
| - | + | Das kgV der beiden Nenner ist das Produkt aus allen Primfaktoren, die in einer der beiden Zerlegungen vorkommen. Gleiche Primfaktoren werden dabei so oft verwendet, wie in der Zerlegung, in der sie am häufigsten vorkommen: | |
| + | {{Abgesetzte Formel||<math>\text{kgV}(60,42) = 2\cdot 2\cdot 3\cdot 5\cdot 7 = 420\,\mbox{.}</math>}} | ||
| + | Anstatt nun jeden Bruch mit dem gesamten Nenner des anderen Bruches zu erweitern, erweitern wir die Brüche nur mit den Primfaktoren, die dem jeweiligen Nenner noch zum kgV fehlen und bringen sie so auf den Hauptnenner. Danach könne wir einfach addieren: | ||
{{Abgesetzte Formel||<math>\frac{1}{60}+\frac{1}{42} = \frac{1\cdot 7}{60\cdot 7} + \frac{1\cdot 2\cdot 5}{42\cdot 2\cdot 5} = \frac{7}{420} + \frac{10}{420} =\frac{17}{420}\,\mbox{.}</math>}} | {{Abgesetzte Formel||<math>\frac{1}{60}+\frac{1}{42} = \frac{1\cdot 7}{60\cdot 7} + \frac{1\cdot 2\cdot 5}{42\cdot 2\cdot 5} = \frac{7}{420} + \frac{10}{420} =\frac{17}{420}\,\mbox{.}</math>}} | ||
</li> | </li> | ||
<li> Vereinfache <math>\ \frac{2}{15}+\frac{1}{6}-\frac{5}{18}</math>.<br/><br/> | <li> Vereinfache <math>\ \frac{2}{15}+\frac{1}{6}-\frac{5}{18}</math>.<br/><br/> | ||
| - | + | Bestimmung des kgV der drei Nenner: | |
| - | + | {{Abgesetzte Formel||<math>\eqalign{15 &= &3\cdot &&5\cr 6&=2\cdot &3\cr 18 &= 2\cdot &3\cdot &3} </math>}} | |
| - | {{Abgesetzte Formel||<math> | + | haben das kgV |
| + | {{Abgesetzte Formel||<math> | ||
| + | \text{kgV}(15, 6, 18) = 2\cdot 3\cdot 3\cdot5 = 90\,\mbox{.}</math>}} | ||
Also haben wir | Also haben wir | ||
{{Abgesetzte Formel||<math> \frac{2}{15}+\frac{1}{6}-\frac{5}{18} = \frac{2\cdot 2\cdot 3}{15\cdot 2\cdot 3} + \frac{1\cdot 3\cdot 5}{6\cdot 3\cdot 5} - \frac{5\cdot 5}{18\cdot 5} = \frac{12}{90} + \frac{15}{90} - \frac{25}{90} = \frac{2}{90} = \frac{1}{45}\,\mbox{.}</math>}} | {{Abgesetzte Formel||<math> \frac{2}{15}+\frac{1}{6}-\frac{5}{18} = \frac{2\cdot 2\cdot 3}{15\cdot 2\cdot 3} + \frac{1\cdot 3\cdot 5}{6\cdot 3\cdot 5} - \frac{5\cdot 5}{18\cdot 5} = \frac{12}{90} + \frac{15}{90} - \frac{25}{90} = \frac{2}{90} = \frac{1}{45}\,\mbox{.}</math>}} | ||
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| + | == C - Multiplikation == | ||
| - | + | Wenn man einen Bruch mit einer ganzen Zahl multipliziert, wird nur der Zähler mit dieser Zahl multipliziert, während der Nenner unverändert bleibt. Es ist offensichtlich, dass zum Beispiel <math>\tfrac{1}{3}</math> mit 2 multipliziert <math>\tfrac{2}{3}</math> ergibt, also: | |
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| - | Wenn man einen Bruch mit einer ganzen Zahl multipliziert, wird nur der Zähler mit dieser Zahl multipliziert, während der Nenner unverändert bleibt. Es ist offensichtlich dass zum Beispiel <math>\tfrac{1}{3}</math> | + | |
{{Abgesetzte Formel||<math>\frac{1}{3}\cdot 2 = \frac{1\cdot 2}{3} = \frac{2}{3}\,\mbox{.}</math>}} | {{Abgesetzte Formel||<math>\frac{1}{3}\cdot 2 = \frac{1\cdot 2}{3} = \frac{2}{3}\,\mbox{.}</math>}} | ||
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| - | Bevor man Brüche multipliziert, sollte man kontrollieren ob man den Bruch kürzen kann. Dies kontrolliert man indem man die Brüche als einen gemeinsamen Bruch schreibt. | + | Bevor man Brüche multipliziert, sollte man kontrollieren, ob man den Bruch kürzen kann. Dies kontrolliert man, indem man die Brüche als einen gemeinsamen Bruch schreibt. |
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''' Beispiel 6''' | ''' Beispiel 6''' | ||
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| - | == Division == | + | == D - Division == |
| - | Wenn man <math>\tfrac{1}{4}</math> durch 2 teilt bekommt man <math>\tfrac{1}{8}</math>. Wenn man <math>\tfrac{1}{2}</math> durch 5 teilt bekommt man <math>\tfrac{1}{10}</math>. Wir haben also: | + | Wenn man <math>\tfrac{1}{4}</math> durch 2 teilt, bekommt man <math>\tfrac{1}{8}</math>. Wenn man <math>\tfrac{1}{2}</math> durch 5 teilt, bekommt man <math>\tfrac{1}{10}</math>. Wir haben also: |
| - | {{Abgesetzte Formel||<math>\frac{\displaystyle \frac{1}{4}}{2} = \frac{1}{4\cdot 2} = \frac{1}{8} \qquad \mbox{ | + | {{Abgesetzte Formel||<math>\frac{\displaystyle \frac{1}{4}}{2} = \frac{1}{4\cdot 2} = \frac{1}{8} \qquad \mbox{ und } \qquad \frac{\displaystyle \frac{1}{2}}{5} = \frac{1}{2\cdot 5} = \frac{1}{10}\,\mbox{.}</math>}} |
Wenn ein Bruch durch eine ganze Zahl dividiert wird, wird also der Nenner mit dieser Zahl multipliziert. | Wenn ein Bruch durch eine ganze Zahl dividiert wird, wird also der Nenner mit dieser Zahl multipliziert. | ||
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{{Abgesetzte Formel||<math>\frac{2}{3}\cdot\frac{3}{2} = \frac{\not{2}}{\not{3}}\cdot\frac{\not{3}}{\not{2}} = 1 \qquad \mbox{ und } \qquad \frac{9}{17}\cdot\frac{17}{9} = \frac{\not{9}}{\not{17}}\cdot\frac{\not{17}}{\not{9}} = 1\mbox{.}</math>}} | {{Abgesetzte Formel||<math>\frac{2}{3}\cdot\frac{3}{2} = \frac{\not{2}}{\not{3}}\cdot\frac{\not{3}}{\not{2}} = 1 \qquad \mbox{ und } \qquad \frac{9}{17}\cdot\frac{17}{9} = \frac{\not{9}}{\not{17}}\cdot\frac{\not{17}}{\not{9}} = 1\mbox{.}</math>}} | ||
| - | + | Bei einer Division von Brüchen erweitert man den ganzen Bruch mit dem Kehrbruch des Nennerbruches. Im Nenner bekommen wir daher nur einen 1:er. | |
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| - | == Brüche als Teil eines Ganzen == | + | == E - Brüche als Teil eines Ganzen == |
| - | Rationale Zahlen können als Dezimalzahlen | + | Rationale Zahlen können als Dezimalzahlen oder auch als Brüche dargestellt werden. Im Alltag verwendet man oft die rationalen Zahlen, um das Verhältnis von verschiedenen Mengen zu beschreiben. Eine Berechnung von einem Verhältnis kann entweder zu einer Multiplikation oder zu einer Division führen. |
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'''Beispiel 11''' | '''Beispiel 11''' | ||
<ol type="a"> | <ol type="a"> | ||
| - | <li>Florian investiert 20 € und Julia 50 €. <br><br> | + | <li>Florian investiert 20 € und Julia 50 €. Mit ihrer Investition erwirtschaften sie einen Gewinn. Wie soll der Gewinn gerecht aufgeteilt werden?<br><br> |
Florians Anteil ist <math>\frac{20}{50 + 20} = \frac{20}{70} = \frac{2}{7}</math> und also sollte er <math>\frac{2}{7}</math> des Gewinns bekommen.</li><br><br> | Florians Anteil ist <math>\frac{20}{50 + 20} = \frac{20}{70} = \frac{2}{7}</math> und also sollte er <math>\frac{2}{7}</math> des Gewinns bekommen.</li><br><br> | ||
| - | <li> Was ist der Anteil von 45 € | + | <li> Was ist der Anteil von 45 € an 100 €? <br><br> |
'''Antwort:''' 45 € ist <math>\frac{45}{100} = \frac{9}{20}</math> von 100 €. .</li><br><br> | '''Antwort:''' 45 € ist <math>\frac{45}{100} = \frac{9}{20}</math> von 100 €. .</li><br><br> | ||
| - | <li> Was ist der Anteil von <math>\frac{1}{3}</math>Liter | + | <li> Was ist der Anteil von <math>\frac{1}{3}</math>Liter an <math>\frac{1}{2}</math> Liter? <br><br> |
'''Antwort:''' <math>\frac{1}{3}</math> Liter sind <math>\frac{\displaystyle \frac{1}{3}}{\displaystyle \frac{1}{2}} = \frac{1}{3}\cdot\frac{2}{1} = \frac{2}{3} </math> von <math>\frac{1}{2}</math> Liter.</li><br><br> | '''Antwort:''' <math>\frac{1}{3}</math> Liter sind <math>\frac{\displaystyle \frac{1}{3}}{\displaystyle \frac{1}{2}} = \frac{1}{3}\cdot\frac{2}{1} = \frac{2}{3} </math> von <math>\frac{1}{2}</math> Liter.</li><br><br> | ||
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| + | == F - Gemischte Ausdrücke == | ||
| - | + | Wenn Brüche in größeren Ausdrücken vorkommen, ist es wichtig sich an die Operatorrangfolge zu erinnern. Wichtig ist auch, dass es um Zähler und Nenner in einem Bruch "unsichtbare Klammern" gibt. Also muss man den Zähler und Nenner zuerst berechnen, bevor man den Bruch kürzt. | |
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| - | Wenn Brüche in größeren Ausdrücken vorkommen, ist es wichtig sich an die Operatorrangfolge zu erinnern. Wichtig ist auch dass es um Zähler und Nenner in einem Bruch "unsichtbare Klammern" gibt. Also muss man den Zähler und Nenner zuerst berechnen, bevor man den Bruch kürzt. | + | |
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| - | [[1.2 Übungen|Übungen]] | + | |
| + | Noch Fragen zu diesem Kapitel? Dann schau nach im Kursforum (Du findest den Link in der Student Lounge) oder frag nach per Skype bei ombTutor <skype style="call" action="call">ombTutor</skype> <skype style="chat" action="chat">ombTutor</skype> | ||
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| + | Keine weiteren Fragen mehr? Dann mach weiter mit den [[1.2 Übungen|'''Übungen''']]. | ||
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'''Diagnostische Prüfung und Schlussprüfung''' | '''Diagnostische Prüfung und Schlussprüfung''' | ||
| - | Nachdem Du mit der Theorie fertig bist, sollst Du die diagnostische Prüfung und die Schlussprüfung machen. Du findest die links zu den Prüfungen in Deiner "Student Lounge". | + | Nachdem Du mit der Theorie und den Übungen fertig bist, sollst Du die diagnostische Prüfung und die Schlussprüfung machen. Du findest die links zu den Prüfungen in Deiner "Student Lounge". |
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Versuche Deine Berechnungen so einfach wie möglich zu halten. Was am einfachsten ist, ist verschieden von Fall zu Fall. | Versuche Deine Berechnungen so einfach wie möglich zu halten. Was am einfachsten ist, ist verschieden von Fall zu Fall. | ||
| - | Es ist wichtig die Rechnungen mit Brüchen gut zu beherrschen. Du solltest Bruchrechnungen sowie Divisionen, Multiplikation und Brüche mit gemeinsamen Nennern schreiben | + | Es ist wichtig, die Rechnungen mit Brüchen gut zu beherrschen. Du solltest Bruchrechnungen sowie Divisionen, Multiplikation und Brüche mit gemeinsamen Nennern schreiben und ohne Probleme ausführen können. Bruchrechnungen kommen häufig in rationalen Funktionen vor, aber auch in Grenzwerten und Differentialrechnungen, und sind daher sehr elementar in der Mathematik. |
'''Literaturhinweise''' | '''Literaturhinweise''' | ||
| - | + | Für die, die tiefer in die Materie einsteigen wollen, sind hier einige Links angeführt: | |
| - | [http:// | + | [http://de.wikipedia.org/wiki/Bruchrechnung Mehr zur Bruchrechnung in der Wikipedia ] |
'''Nützliche Websites''' | '''Nützliche Websites''' | ||
| - | [http://nlvm.usu.edu/en/nav/frames_asid_105_g_2_t_1.html | + | [http://nlvm.usu.edu/en/nav/frames_asid_105_g_2_t_1.html Interaktives Programm zu Brüchen (engl.)] |
| - | [http://www.math.kth.se/~gunnarj/BIENNALEN/fall4.html Play the prime number canon] | ||
</div> | </div> | ||
Aktuelle Version
| Theorie | Übungen |
Inhalt:
- Addition und Subtraktion von Brüchen
- Multiplikation und Division von Brüchen
Lernziele:
Nach diesem Abschnitt solltest Du ...
- ... Ausdrücke bestehend aus Brüchen, den vier Grundrechnungsarten und Klammern berechnen können.
- ... Brüche so weit wie möglich kürzen können.
- ... den Hauptnenner von Brüchen bestimmen können.
Die Lernziele sind Dir aus der Schule noch bestens vertraut und Du weisst ganz genau, wie man die zugehörigen Rechnungen ausführt? Dann kannst Du auch gleich mit den Prüfungen beginnen (Du findest den Link in der Student Lounge).
A - Brüche kürzen und erweitern
Eine rationale Zahl kann in mehreren äquivalenten Formen dargestellt werden, je nach der Wahl des Zählers und Nenners. Zum Beispiel:
| \displaystyle 0{,}25 = \frac{25}{100} = \frac{1}{4} = \frac{2}{8} = \frac{3}{12} = \frac{4}{16}\quad\textrm{etc.} |
Ein Bruch ändert also nicht seinen Wert, wenn man den Zähler und den Nenner jeweils mit der gleichen Zahl multipliziert oder durch die gleiche Zahl teilt. Diesen Vorgang nennt man erweitern bzw. kürzen.
Beispiel 1 Multiplikation mit derselben Zahl:
- \displaystyle \frac{2}{3} = \frac{2\cdot 5}{3\cdot 5} = \frac{10}{15}
- \displaystyle \frac{5}{7} = \frac{5\cdot 4}{7\cdot 4} = \frac{20}{28}
Division durch dieselbe Zahl:
- \displaystyle \frac{9}{12} = \frac{9/3}{12/3} = \frac{3}{4}
- \displaystyle \frac{72}{108} = \frac{72/2}{108/2} = \frac{36}{54} = \frac{36/6}{54/6} = \frac{6}{9} = \frac{6/3}{9/3} = \frac{2}{3}
Ein Bruch sollte immer so weit wie möglich gekürzt werden. Dies kann bei großen Zahlen schwierig werden. Deshalb sollte man die Brüche so kurz wie möglich in den Rechnungen schreiben.
B - Addition und Subtraktion von Brüchen
Um Brüche addieren und subtrahieren zu können, müssen alle Brüche denselben Nenner haben. Wenn das nicht der Fall ist, muss man zuerst die Brüche mit einer geeigneten Zahl erweitern, sodass sie denselben Nenner bekommen.
Beispiel 2
- \displaystyle \frac{3}{5}+\frac{2}{3} = \frac{3\cdot 3}{5\cdot 3} + \frac{2\cdot 5}{3\cdot 5} = \frac{9}{15} + \frac{10}{15} = \frac{9+10}{15} = \frac{19}{15}
- \displaystyle \frac{5}{6}-\frac{2}{9} = \frac{5\cdot 3}{6\cdot 3} - \frac{2\cdot 2}{9\cdot 2} = \frac{15}{18} - \frac{4}{18} = \frac{15-4}{18} = \frac{11}{18}
Das Wichtigste hier ist, einen gemeinsamen Nenner zu finden. Einen gemeinsamen Nenner findet man einfach, indem man alle Brüche mit den Nennern der anderen Brüche erweitert. Oft erhält man dadurch aber sehr große Zahlen, die das Weiterrechnen erschweren. Daher ist es ideal, den kleinstmöglichen gemeinsamen Nenner, den sogenannten Hauptnenner, zu finden.
Der Hauptnenner zweier oder mehrerer Brüche ist das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV) der Nenner der einzelnen Brüche.
Beispiel 3
- \displaystyle \frac{7}{15}-\frac{1}{12}
= \frac{7\cdot 12}{15\cdot 12}
- \frac{1\cdot 15}{12\cdot 15}\vphantom{\Biggl(}
\displaystyle \insteadof{\displaystyle\frac{7}{15}-\frac{1}{12}}{}{} = \frac{84}{180}-\frac{15}{180} = \frac{69}{180} = \frac{69/3}{180/3} = \frac{23}{60} - \displaystyle \frac{7}{15}-\frac{1}{12} = \frac{7\cdot 4}{15\cdot 4}- \frac{1\cdot 5}{12\cdot 5} = \frac{28}{60}-\frac{5}{60} = \frac{23}{60}
- \displaystyle \frac{1}{8}+\frac{3}{4}-\frac{1}{6}
= \frac{1\cdot 4\cdot 6}{8\cdot 4\cdot 6}
+ \frac{3\cdot 8\cdot 6}{4\cdot 8\cdot 6}
- \frac{1\cdot 8\cdot 4}{6\cdot 8\cdot 4}\vphantom{\Biggl(}
\displaystyle \insteadof{\frac{1}{8}+\frac{3}{4}-\frac{1}{6}}{}{} = \frac{24}{192} + \frac{144}{192} - \frac{32}{192} = \frac{136}{192} = \frac{136/8}{192/8} = \frac{17}{24} - \displaystyle \frac{1}{8}+\frac{3}{4}-\frac{1}{6} = \frac{1\cdot 3}{8\cdot 3} + \frac{3\cdot 6}{4\cdot 6} - \frac{1\cdot 4}{6\cdot 4} = \frac{3}{24} + \frac{18}{24} - \frac{4}{24} = \frac{17}{24}
Man sollte die Bruchrechnung so gut beherrschen, dass man direkt den Hauptnenner von nicht all zu großen Brüchen findet. Eine allgemeine Methode um den Hauptnenner zu finden, besteht darin, dass man die Nenner in ihre Primfaktoren zerlegt.
Beispiel 4
- Vereinfache \displaystyle \ \frac{1}{60} + \frac{1}{42}.
Wir zerlegen die Nenner zuerst in ihre Primfaktoren.\displaystyle \eqalign{60 &= 2\cdot &2\cdot &3\cdot &5& \cr 42 &= &2\cdot &3\cdot &&7} Das kgV der beiden Nenner ist das Produkt aus allen Primfaktoren, die in einer der beiden Zerlegungen vorkommen. Gleiche Primfaktoren werden dabei so oft verwendet, wie in der Zerlegung, in der sie am häufigsten vorkommen:
\displaystyle \text{kgV}(60,42) = 2\cdot 2\cdot 3\cdot 5\cdot 7 = 420\,\mbox{.} Anstatt nun jeden Bruch mit dem gesamten Nenner des anderen Bruches zu erweitern, erweitern wir die Brüche nur mit den Primfaktoren, die dem jeweiligen Nenner noch zum kgV fehlen und bringen sie so auf den Hauptnenner. Danach könne wir einfach addieren:
\displaystyle \frac{1}{60}+\frac{1}{42} = \frac{1\cdot 7}{60\cdot 7} + \frac{1\cdot 2\cdot 5}{42\cdot 2\cdot 5} = \frac{7}{420} + \frac{10}{420} =\frac{17}{420}\,\mbox{.} - Vereinfache \displaystyle \ \frac{2}{15}+\frac{1}{6}-\frac{5}{18}.
Bestimmung des kgV der drei Nenner:\displaystyle \eqalign{15 &= &3\cdot &&5\cr 6&=2\cdot &3\cr 18 &= 2\cdot &3\cdot &3} haben das kgV
\displaystyle \text{kgV}(15, 6, 18) = 2\cdot 3\cdot 3\cdot5 = 90\,\mbox{.}
Also haben wir
\displaystyle \frac{2}{15}+\frac{1}{6}-\frac{5}{18} = \frac{2\cdot 2\cdot 3}{15\cdot 2\cdot 3} + \frac{1\cdot 3\cdot 5}{6\cdot 3\cdot 5} - \frac{5\cdot 5}{18\cdot 5} = \frac{12}{90} + \frac{15}{90} - \frac{25}{90} = \frac{2}{90} = \frac{1}{45}\,\mbox{.}
C - Multiplikation
Wenn man einen Bruch mit einer ganzen Zahl multipliziert, wird nur der Zähler mit dieser Zahl multipliziert, während der Nenner unverändert bleibt. Es ist offensichtlich, dass zum Beispiel \displaystyle \tfrac{1}{3} mit 2 multipliziert \displaystyle \tfrac{2}{3} ergibt, also:
| \displaystyle \frac{1}{3}\cdot 2 = \frac{1\cdot 2}{3} = \frac{2}{3}\,\mbox{.} |
Wenn man Brüche miteinander multipliziert, multipliziert man die Zähler und die Nenner einzeln.
Beispiel 5
- \displaystyle 8\cdot\frac{3}{7} = \frac{8\cdot 3}{7} = \frac{24}{7}
- \displaystyle \frac{2}{3}\cdot \frac{1}{5} = \frac{2\cdot 1}{3\cdot 5} = \frac{2}{15}
Bevor man Brüche multipliziert, sollte man kontrollieren, ob man den Bruch kürzen kann. Dies kontrolliert man, indem man die Brüche als einen gemeinsamen Bruch schreibt.
Beispiel 6 Vergleiche die beiden Rechnungen:
- \displaystyle \frac{3}{5}\cdot\frac{2}{3} = \frac{3\cdot 2}{5\cdot 3} = \frac{6}{15} = \frac{6/3}{15/3} = \frac{2}{5}
- \displaystyle \frac{3}{5}\cdot\frac{2}{3} = \frac{\not{3}\cdot 2}{5\cdot \not{3}} = \frac{2}{5}
In 6b hat man den Bruch mit einen Schritt vorher 3 gekürzt als in 6a, aber beide Rechnungen ergeben dasselbe.
Beispiel 7
- \displaystyle \frac{7}{10}\cdot \frac{2}{7} = \frac{\not{7}}{10}\cdot \frac{2}{\not{7}} = \frac{1}{10}\cdot \frac{2}{1} = \frac{1}{\not{2} \cdot 5}\cdot \frac{\not{2}}{1} = \frac{1}{5}\cdot \frac{1}{1} =\frac{1}{5}
- \displaystyle \frac{14}{15}\cdot \frac{20}{21} = \frac{2 \cdot 7}{3 \cdot 5}\cdot \frac{4 \cdot 5}{3 \cdot 7} = \frac{2 \cdot \not{7}}{3 \cdot 5}\cdot \frac{4 \cdot 5}{3 \cdot \not{7}} = \frac{2}{3 \cdot \not{5}}\cdot \frac{4 \cdot \not{5}}{3} = \frac{2}{3}\cdot\frac{4}{3} = \frac{2\cdot 4}{3\cdot 3} = \frac{8}{9}
D - Division
Wenn man \displaystyle \tfrac{1}{4} durch 2 teilt, bekommt man \displaystyle \tfrac{1}{8}. Wenn man \displaystyle \tfrac{1}{2} durch 5 teilt, bekommt man \displaystyle \tfrac{1}{10}. Wir haben also:
| \displaystyle \frac{\displaystyle \frac{1}{4}}{2} = \frac{1}{4\cdot 2} = \frac{1}{8} \qquad \mbox{ und } \qquad \frac{\displaystyle \frac{1}{2}}{5} = \frac{1}{2\cdot 5} = \frac{1}{10}\,\mbox{.} |
Wenn ein Bruch durch eine ganze Zahl dividiert wird, wird also der Nenner mit dieser Zahl multipliziert.
Beispiel 8
- \displaystyle \frac{3}{5}\Big/4 = \frac{3}{5\cdot 4} = \frac{3}{20}
- \displaystyle \frac{6}{7}\Big/3 = \frac{6}{7\cdot 3} = \frac{2\cdot\not{3}}{7\cdot \not{3}} = \frac{2}{7}
Wenn man eine ganze Zahl durch einen Bruch dividiert, wird die Zahl mit dem Kehrbruch des Bruches multipliziert. Zum Beispiel ist die Division durch \displaystyle \frac{1}{2} dasselbe wie eine Multiplikation mit \displaystyle \frac{2}{1}, also 2.
Beispiel 9
- \displaystyle \frac{3}{\displaystyle \frac{1}{2}} = 3\cdot \frac{2}{1} = \frac{3\cdot 2}{1} = 6
- \displaystyle \frac{5}{\displaystyle \frac{3}{7}} = 5\cdot\frac{7}{3} = \frac{5\cdot 7}{3} = \frac{35}{3}
- \displaystyle \frac{\displaystyle \frac{2}{3}}{\displaystyle \frac{5}{8}} = \frac{2}{3}\cdot \frac{8}{5} = \frac{2\cdot 8}{3\cdot 5} = \frac{16}{15}
- \displaystyle \frac{\displaystyle \frac{3}{4}}{\displaystyle \frac{9}{10}} = \frac{3}{4}\cdot \frac{10}{9} = \frac{\not{3}}{2\cdot\not{2}} \cdot\frac{\not{2} \cdot 5}{\not{3} \cdot 3} = \frac{5}{2\cdot 3} = \frac{5}{6}
Wie kommt es, dass eine Division mit Brüchen eine Multiplikation wird? Die Erklärung ist, dass ein Bruch multipliziert mit seinem Kehrbruch, immer 1 ergibt. Zum Beispiel:
| \displaystyle \frac{2}{3}\cdot\frac{3}{2} = \frac{\not{2}}{\not{3}}\cdot\frac{\not{3}}{\not{2}} = 1 \qquad \mbox{ und } \qquad \frac{9}{17}\cdot\frac{17}{9} = \frac{\not{9}}{\not{17}}\cdot\frac{\not{17}}{\not{9}} = 1\mbox{.} |
Bei einer Division von Brüchen erweitert man den ganzen Bruch mit dem Kehrbruch des Nennerbruches. Im Nenner bekommen wir daher nur einen 1:er.
Beispiel 10
\displaystyle \frac{\displaystyle \frac{2}{3}}{\displaystyle \frac{5}{7}} = \frac{\displaystyle \frac{2}{3}\cdot\displaystyle \frac{7}{5}}{\displaystyle \frac{5}{7}\cdot\displaystyle \frac{7}{5}} = \frac{\displaystyle \frac{2}{3}\cdot\displaystyle \frac{7}{5}}{1} = \frac{2}{3}\cdot\frac{7}{5}
E - Brüche als Teil eines Ganzen
Rationale Zahlen können als Dezimalzahlen oder auch als Brüche dargestellt werden. Im Alltag verwendet man oft die rationalen Zahlen, um das Verhältnis von verschiedenen Mengen zu beschreiben. Eine Berechnung von einem Verhältnis kann entweder zu einer Multiplikation oder zu einer Division führen.
Beispiel 11
- Florian investiert 20 € und Julia 50 €. Mit ihrer Investition erwirtschaften sie einen Gewinn. Wie soll der Gewinn gerecht aufgeteilt werden?
Florians Anteil ist \displaystyle \frac{20}{50 + 20} = \frac{20}{70} = \frac{2}{7} und also sollte er \displaystyle \frac{2}{7} des Gewinns bekommen. - Was ist der Anteil von 45 € an 100 €?
Antwort: 45 € ist \displaystyle \frac{45}{100} = \frac{9}{20} von 100 €. . - Was ist der Anteil von \displaystyle \frac{1}{3}Liter an \displaystyle \frac{1}{2} Liter?
Antwort: \displaystyle \frac{1}{3} Liter sind \displaystyle \frac{\displaystyle \frac{1}{3}}{\displaystyle \frac{1}{2}} = \frac{1}{3}\cdot\frac{2}{1} = \frac{2}{3} von \displaystyle \frac{1}{2} Liter. - Wie viel ist \displaystyle \frac{5}{8} von 1000?
Antwort: \displaystyle \frac{5}{8}\cdot 1000 = \frac{5000}{8} = 625 - Wie viel ist \displaystyle \frac{2}{3} von \displaystyle \frac{6}{7} ?
Antwort: \displaystyle \frac{2}{3}\cdot\frac{6}{7} = \frac{2}{\not{3}} \cdot \frac{2 \cdot \not{3}}{7} = \frac{2 \cdot 2}{7} = \frac{4}{7}
F - Gemischte Ausdrücke
Wenn Brüche in größeren Ausdrücken vorkommen, ist es wichtig sich an die Operatorrangfolge zu erinnern. Wichtig ist auch, dass es um Zähler und Nenner in einem Bruch "unsichtbare Klammern" gibt. Also muss man den Zähler und Nenner zuerst berechnen, bevor man den Bruch kürzt.
Beispiel 12
- \displaystyle \frac{1}{\displaystyle \frac{2}{3}+\frac{3}{4}} = \frac{1}{\displaystyle \frac{2\cdot 4}{3\cdot 4} + \frac{3\cdot 3}{4\cdot 3}} = \frac{1}{\displaystyle \frac{8}{12} + \frac{9}{12}} = \frac{1}{\displaystyle \frac{17}{12}} = 1\cdot\frac{12}{17} = \frac{12}{17}
- \displaystyle \frac{\displaystyle \frac{4}{3} - \frac{1}{6}}{\displaystyle \frac{4}{3}+\frac{1}{6}} = \frac{\displaystyle \frac{4 \cdot 2}{3 \cdot 2} - \frac{1}{6}}{\displaystyle \frac{4 \cdot 2}{3 \cdot 2} + \frac{1}{6}} = \frac{\displaystyle \frac{8}{6} - \frac{1}{6}}{\displaystyle \frac{8}{6} + \frac{1}{6}} = \frac{\displaystyle \frac{7}{6}}{\displaystyle \frac{9}{6}} = \frac{7}{\not{6}}\cdot\frac{\not{6}}{9} = \frac{7}{9}
- \displaystyle \frac{3-\displaystyle \frac{3}{5}}{\displaystyle \frac{2}{3}-2} = \frac{\displaystyle \frac{3 \cdot 5}{5}- \frac{3}{5}}{\displaystyle \frac{2}{3} - \frac{2 \cdot 3}{3}} = \frac{\displaystyle \frac{15}{5} - \frac{3}{5}}{\displaystyle \frac{2}{3} - \frac{6}{3}} = \frac{\displaystyle \frac{12}{5}}{-\displaystyle \frac{4}{3}} = \frac{12}{5}\cdot\left(-\frac{3}{4}\right) = -\frac{3\cdot \not{4} }{5} \cdot \frac{3}{\not{4}} = -\frac{3\cdot 3}{5} = -\frac{9}{5}
- \displaystyle \frac{\displaystyle\frac{1}{\frac{1}{2}+\frac{1}{3}}-\frac{3}{5} \cdot\frac{1}{3}}{\displaystyle\frac{2}{3}\big/\frac{1}{5} -\frac{\frac{1}{4}-\frac{1}{3}}{2}} = \frac{\displaystyle\frac{1}{\frac{3}{6}+\frac{2}{6}} -\frac{3\cdot1}{5\cdot3}}{\displaystyle\frac{2}{3}\cdot\frac{5}{1} -\frac{\frac{3}{12}-\frac{4}{12}}{2}} = \frac{\displaystyle \frac{1}{\displaystyle \frac{5}{6}} - \frac{1}{5}}{\displaystyle \frac{10}{3} - \frac{-\displaystyle \frac{1}{12}}{2}} \displaystyle \qquad\quad{}= \frac{\displaystyle \frac{6}{5} - \frac{1}{5}}{\displaystyle \frac{10}{3} + \frac{1}{24}} = \frac{1}{\displaystyle \frac{80}{24}+\frac{1}{24}} = \frac{1}{\displaystyle \frac{81}{24}} = \frac{24}{81} = \frac{8}{27}
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Bedenke folgendes:
Versuche Deine Berechnungen so einfach wie möglich zu halten. Was am einfachsten ist, ist verschieden von Fall zu Fall.
Es ist wichtig, die Rechnungen mit Brüchen gut zu beherrschen. Du solltest Bruchrechnungen sowie Divisionen, Multiplikation und Brüche mit gemeinsamen Nennern schreiben und ohne Probleme ausführen können. Bruchrechnungen kommen häufig in rationalen Funktionen vor, aber auch in Grenzwerten und Differentialrechnungen, und sind daher sehr elementar in der Mathematik.
Literaturhinweise
Für die, die tiefer in die Materie einsteigen wollen, sind hier einige Links angeführt:
Mehr zur Bruchrechnung in der Wikipedia
Nützliche Websites
Interaktives Programm zu Brüchen (engl.)
