2.3 Quadratische Gleichungen

Aus Online Mathematik Brückenkurs 1

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{{Info|
{{Info|
'''Inhalt:'''
'''Inhalt:'''
-
*Completing the square method
+
*Quadratische Ergänzung
-
*Quadratic equations
+
*Quadratische Funktionen
-
* Factorising
+
* Faktorisierung
-
* Parabolas
+
* Parabeln
}}
}}
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'''Lernziele:'''
'''Lernziele:'''
-
Nach diesem Abschnitt sollst Du folgendes können to:
+
Nach diesem Abschnitt solltest Du folgendes können:
-
*Complete the square for expressions of degree two (second degree).
+
* Quadratische Ergänzungen für quadratische Ausdrücke ausführen.
-
*Solve quadratic equations by completing the square (not using a standard formula) and know how to check the answer.
+
* Quadratische Gleichungen durch quadratische Ergänzung lösen und die Lösungen kontrollieren.
-
*Factorise expressions of the second degree. (when possible).
+
*Wenn möglich, eine quadratische Gleichung faktorisieren.
-
*Directly solve factorised or almost factorised quadratic equations.
+
* Faktorisierte, oder fast faktorisierte quadratische Gleichungen direkt lösen.
-
*Determine the minimum / maximum value of an expression of degree two.
+
* Den kleinsten und größten Wert eines quadratischen Ausdruckes finden.
-
*Sketch parabolas by completing the square method.
+
* Parabeln zeichnen mittels quadratischer Ergänzung.
}}
}}
-
== Quadratic equations ==
 
-
A quadratic equation is one that can be written as
+
Die Lernziele sind Dir aus der Schule noch bestens vertraut und Du weißt ganz genau, wie man die zugehörigen Rechnungen ausführt? Dann kannst Du auch gleich mit den <b>Prüfungen</b> beginnen (Du findest den Link in der Student Lounge).
-
{{Abgesetzte Formel||<math>x^2+px+q=0</math>}}
+
-
where <math>x</math> is the unknown and <math>p</math> and <math>q</math> are constants.
+
 +
== A - Quadratische Gleichungen ==
 +
 +
Eine quadratische Gleichung kann in der Form
 +
{{Abgesetzte Formel||<math>x^2+px+q=0</math>}}
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geschrieben werden, wobei <math>x</math> unbekannt ist, und <math>p</math> und <math>q</math> Konstanten sind.
-
Simpler forms of quadratic equations can be solved directly by taking roots.
+
Einfache quadratische Gleichungen kann man lösen, indem man die Wurzeln zieht.
<div class="regel">
<div class="regel">
-
The equation <math>x^2=a</math> where <math>a</math> is a positive number has two solutions (roots) <math>x=\sqrt{a}</math> and <math>x=-\sqrt{a}</math>.
+
Die einfache quadratische Gleichung <math>x^2=a</math> mit <math>a > 0</math>, hat zwei Lösungen, nämlich <math>x=\sqrt{a} </math> und <math>x=-\sqrt{a}</math>.
</div>
</div>
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<ol type="a">
<ol type="a">
-
<li><math>x^2 = 4 \quad</math> has the roots <math>x=\sqrt{4} = 2</math> and <math>x=-\sqrt{4}= -2</math>.</li>
+
<li><math>x^2 = 4 \quad</math> hat die Lösungen <math>x=\sqrt{4} = 2</math> und <math>x=-\sqrt{4}= -2</math>.</li>
-
<li><math>2x^2=18 \quad</math> is rewritten as <math>x^2=9</math> , and has the roots <math>x=\sqrt9 = 3</math> and <math>x=-\sqrt9 = -3</math>.</li>
+
<li><math>2x^2=18 \quad</math> kann man als <math>x^2=9</math> schreiben, also gibt es die Lösungen <math>x=\sqrt9 = 3</math> und <math>x=-\sqrt9 = -3</math>.</li>
-
<li><math>3x^2-15=0 \quad</math> can be rewritten as <math>x^2=5</math> and has the roots <math>x=\sqrt5 \approx 2{,}236</math> and <math>x=-\sqrt5 \approx -2{,}236</math>.</li>
+
<li><math>3x^2-15=0 \quad</math> kann man als <math>x^2=5</math> schreiben, also gibt es die Lösungen <math>x=\sqrt5 \approx 2{,}236 </math> und <math>x=-\sqrt5 \approx -2{,}236</math>.</li>
-
<li><math>9x^2+25=0\quad</math> has no solutions because the left-hand side will always be greater than or equal to 25 regardless of the value of <math>x</math> (the square <math>x^2</math> is always greater than or equal to zero).
+
<li><math>9x^2+25=0\quad</math> hat keine (reelle) Lösung, weil die linke Seite der Gleichung immer größer als 25 ist (denn <math>x^2 &ge; 0</math>).<br>
 +
(Man kann diese Gleichung im Komplexen lösen und man erhält dann komplexe Lösungen.)
</ol>
</ol>
</div>
</div>
Zeile 54: Zeile 57:
<ol type="a">
<ol type="a">
-
<li>Solve the equation <math>\ (x-1)^2 = 16</math>. <br><br>
+
<li>Löse die einfache quadratische Gleichung <math>\ (x-1)^2 = 16</math>. <br><br>
-
By considering <math>x-1</math> as the unknown and taking the roots one finds the equation has two solutions
+
Wir gehen genauso vor wie in Beispiel 1a) und erhalten
-
*<math>x-1 =\sqrt{16} = 4\,</math> which gives that <math>x=1+4=5</math>,
+
*<math>x-1 =\sqrt{16} = 4\,</math> also <math>x=1+4=5</math>,
-
*<math>x-1 = -\sqrt{16} = -4\,</math> which gives that <math>x=1-4=-3</math>. </li>
+
*<math>x-1 = -\sqrt{16} = -4\,</math> also <math>x=1-4=-3</math>. </li>
-
<li> Solve the equation <math>\ 2(x+1)^2 -8=0</math>. <br><br>
+
<li> Löse die Gleichung <math>\ 2(x+1)^2 -8=0</math>. <br><br>
-
Move the term <math>8</math> over to the right-hand side and divide both sides by <math>2</math>,
+
Wir addieren <math>8</math> auf beiden Seiten der Gleichung und dividieren danach durch <math>2</math>,
{{Abgesetzte Formel||<math>(x+1)^2=4 \; \mbox{.}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>(x+1)^2=4 \; \mbox{.}</math>}}
-
Taking the roots gives:
+
Wir haben eine einfach quadratische Gleichung erhalten. Diese lösen wir, indem wir die Wurzel ziehen. Die Lösungen sind
-
*<math>x+1 =\sqrt{4} = 2, \quad \mbox{dvs.} \quad x=-1+2=1\,\mbox{,}</math>
+
*<math>x+1 =\sqrt{4} = 2, \quad \mbox{also} \quad x=-1+2=1\,\mbox{,}</math>
-
*<math>x+1 = -\sqrt{4} = -2, \quad \mbox{dvs.} \quad x=-1-2=-3\,\mbox{.}</math></li>
+
*<math>x+1 = -\sqrt{4} = -2, \quad \mbox{also} \quad x=-1-2=-3\,\mbox{.}</math></li>
</ol>
</ol>
</div>
</div>
-
To solve a quadratic equation generally, we use a technique called completing the square.
+
Um eine allgemeine quadratische Gleichung zu lösen, kann man das Prinzip der quadratischen Ergänzung oder die ''p''-''q''-Formel benutzen. Wir erklären erst die quadratische Ergänzung an Beispielen und dann die ''p''-''q''-Formel. Die ''p''-''q''-Formel kann aus der quadratischen Ergänzung hergeleitet werden.
-
If we consider the rule for expanding a quadratic,
+
Die binomische Formel lautet
-
{{Abgesetzte Formel||<math>x^2 + 2ax + a^2 = (x+a)^2</math>}}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>x^2 + 2ax + a^2 = (x+a)^2\,.</math>}}
-
and subtract the <math>a^2</math> from both sides we get
+
Subtrahieren wir <math>a^2</math> von beiden Seiten, bekommen wir
<div class="regel">
<div class="regel">
-
'''Completing the square:'''
+
'''Quadratische Ergänzung:'''
{{Abgesetzte Formel||<math>x^2 +2ax = (x+a)^2 -a^2</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>x^2 +2ax = (x+a)^2 -a^2</math>}}
-
</div>
+
</div>
 +
und <math> (a+x)^2 = a^2 </math> ist eine einfache quadratische Gleichung, die wir durch Wurzelziehen lösen können.
<div class="exempel">
<div class="exempel">
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<ol type="a">
<ol type="a">
-
<li> Solve the equation <math>\ x^2 +2x -8=0</math>. <br><br>
+
<li> Löse die Gleichung <math>\ x^2 +2x -8=0</math>. <br><br>
-
One completes the square for <math>x^2+2x</math> (use <math>a=1</math> in the formula)
+
Wir benutzen die quadratische Ergänzung: <math>x^2+2x</math> (hier ist also <math>a=1</math>)
{{Abgesetzte Formel||<math>\underline{\vphantom{(}x^2+2x} -8 = \underline{(x+1)^2-1^2} -8 = (x+1)^2-9,</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>\underline{\vphantom{(}x^2+2x} -8 = \underline{(x+1)^2-1^2} -8 = (x+1)^2-9,</math>}}
-
where the underlined terms are those involved in the completion of the square. Thus the equation can be written as
+
wo wir bei den unterstrichenen Termen die quadratische Ergänzung benutzt haben. Die Gleichung kann also wie
{{Abgesetzte Formel||<math>(x+1)^2 -9 = 0,</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>(x+1)^2 -9 = 0,</math>}}
-
which we solve by taking roots
+
geschrieben werden, und diese Gleichung hat die Lösungen
-
*<math>x+1 =\sqrt{9} = 3\,</math> and hence <math>x=-1+3=2</math>,
+
*<math>x+1 =\sqrt{9} = 3\,</math>, also <math>x=-1+3=2</math>,
-
*<math>x+1 =-\sqrt{9} = -3\,</math> and hence <math>x=-1-3=-4</math>.</li>
+
*<math>x+1 =-\sqrt{9} = -3\,</math>, also <math>x=-1-3=-4</math>.</li>
-
<li> Solve the equation <math>\ 2x^2 -2x - \frac{3}{2} = 0</math>. <br><br>
+
<li> Löse die Gleichung <math>\ 2x^2 -2x - \frac{3}{2} = 0</math>. <br><br>
-
Divide both sides by 2
+
Wir dividieren zuerst beide Seiten durch 2
{{Abgesetzte Formel||<math>x^2-x-\textstyle\frac{3}{4}=0\mbox{.}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>x^2-x-\textstyle\frac{3}{4}=0\mbox{.}</math>}}
-
Complete the square of the left-hand side (use <math>a=-\tfrac{1}{2}</math>)
+
Jetzt benutzen wir quadratische Ergänzung auf der linken Seite (mit <math>a=-\tfrac{1}{2}</math>)
-
{{Abgesetzte Formel||<math>\textstyle\underline{\vphantom{\bigl(\frac{3}{4}}x^2-x} -\frac{3}{4} = \underline{\bigl(x-\frac{1}{2}\bigr)^2 - \bigl(-\frac{1}{2}\bigr)^2} -\frac{3}{4}= \bigl(x-\frac{1}{2}\bigr)^2 -1</math>}}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>\textstyle\underline{\vphantom{\bigl(\frac{3}{4}}x^2-x} -\frac{3}{4} = \underline{\bigl(x-\frac{1}{2}\bigr)^2 - \bigl(-\frac{1}{2}\bigr)^2} -\frac{3}{4}= \bigl(x-\frac{1}{2}\bigr)^2 -1\,.</math>}}
-
and this gives us the equation
+
Dies ergibt die Gleichung
{{Abgesetzte Formel||<math>\textstyle\bigl(x-\frac{1}{2}\bigr)^2 - 1=0\mbox{.}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>\textstyle\bigl(x-\frac{1}{2}\bigr)^2 - 1=0\mbox{.}</math>}}
-
Taking roots gives
+
mit den Lösungen
-
*<math>x-\tfrac{1}{2} =\sqrt{1} = 1, \quad</math> i.e. <math>\quad x=\tfrac{1}{2}+1=\tfrac{3}{2}</math>,
+
*<math>x-\tfrac{1}{2} =\sqrt{1} = 1, \quad</math> also <math>\quad x=\tfrac{1}{2}+1=\tfrac{3}{2}</math>,
-
*<math>x-\tfrac{1}{2}= -\sqrt{1} = -1, \quad</math> i.e. <math>\quad x=\tfrac{1}{2}-1= -\tfrac{1}{2}</math>.</li>
+
*<math>x-\tfrac{1}{2}= -\sqrt{1} = -1, \quad</math> also <math>\quad x=\tfrac{1}{2}-1= -\tfrac{1}{2}</math>.</li>
</ol>
</ol>
</div>
</div>
<div class="tips">
<div class="tips">
-
'''Hint: '''
+
'''Hinweis: '''
-
Keep in mind that we can always test our solution to an equation by inserting the value in the equation and see if the equation is satisfied. We should always do this to check for any careless mistakes. For example, in 3a above, we have two cases to consider. We call the left- and right-hand sides LHS and RHS respectively:
+
Für jede gefundene Lösung können wir die Probe machen, indem wir die gefundene Lösung in die ursprüngliche Gleichung einsetzen. Im Beispiel 3a oben, haben wir zwei Lösungen zu prüfen:
-
* <math>x = 2</math> gives that <math>\mbox{LHS } = 2^2 +2\cdot 2 - 8 = 4+4-8 = 0 = \mbox{RHS}</math>.
+
* <math>x = 2</math> ergibt <math>\mbox{Linke Seite} = 2^2 +2\cdot 2 - 8 = 4+4-8 = 0 = \mbox{Rechte Seite}</math>.
-
* <math>x = -4</math> gives that <math>\mbox{LHS } = (-4)^2 + 2\cdot(-4) -8 = 16-8-8 = 0 = \mbox{RHS}</math>.
+
* <math>x = -4</math> ergibt <math>\mbox{Linke Seite} = (-4)^2 + 2\cdot(-4) -8 = 16-8-8 = 0 = \mbox{Rechte Seite}</math>.
-
In both cases we arrive at LHS = RHS. The equation is satisfied in both cases.
+
In beide Fällen erhalten wir linke Seite = rechte Seite. Also sind unsere Lösungen richtig.
</div>
</div>
-
Using the completing the square method it is possible to show that the general quadratic equation
+
 
 +
<div class="regel">
 +
'''Herleitung der ''p''-''q''-Formel aus der quadratischen Ergänzung'''
 +
</div>
 +
 
 +
 
 +
Mit der quadratischen Ergänzung kann man eine generelle Lösungsformel für quadratische Gleichungen herleiten.
{{Abgesetzte Formel||<math>x^2+px+q=0</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>x^2+px+q=0</math>}}
-
has the solutions
+
hat die (rellen) Lösungen
-
{{Abgesetzte Formel||<math>x = - \displaystyle\frac{p}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^2-q}</math>}}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>x = - \displaystyle\frac{p}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^2-q}\,,</math>}}
-
provided that the term inside the root sign is not negative.
+
solange der Ausdruck in der Wurzel nicht negativ ist.
 +
 
 +
Wir benutzen die quadratische Ergänzung mit <math> a = \frac{p}{2} </math>
 +
{{Abgesetzte Formel||<math>x^2+px+q {\,\,} = {\,\,} x^2 + 2 \frac{p}{2} x + \left( \frac{p}{2} \right)^2 - \left( \frac{p}{2} \right)^2 + q {\,} = {\,} \left(x + \frac{p}{2} \right)^2 - \left( \frac{p}{2} \right)^2 + q </math>}}
 +
 
 +
 
 +
Damit hat die allgemeine quadratische Gleichung <math> x^2 + px +q = 0 </math> die selben Lösungen wie die einfache quadratische Gleichung <math> \left(x + \frac{p}{2} \right)^2 = \left( \frac{p}{2} \right)^2 - q </math>.
 +
 
 +
Die einfache quadratische Gleichung lösen wir durch das Ziehen der Wurzel.
 +
 
 +
Wir erhalten die beiden Lösungen
 +
<math> x + \frac{p}{2} = \sqrt{ \left( \frac{p}{2} \right)^2 - q} </math> und
 +
<math> x + \frac{p}{2} = - \sqrt{ \left( \frac{p}{2} \right)^2 - q} </math>
 +
 
 +
Und damit hat man die ''p''-''q''-Formel.
 +
 
 +
 
-
Sometimes one can factorise the equations directly and thus immediately see what the solutions are.
+
In manchen Fällen kann man eine quadratische Gleichung einfach faktorisieren, um die Lösungen zu erhalten.
<div class="exempel">
<div class="exempel">
Zeile 128: Zeile 154:
<ol type="a">
<ol type="a">
-
<li>Solve the equation <math>\ x^2-4x=0</math>. <br><br>
+
<li>Löse die Gleichung <math>\ x^2-4x=0</math>. <br><br>
-
On the left-hand side, we can factor out an <math>x</math>
+
Wir können die linke Seite faktorisieren, weil der Faktor <math>x</math> in allen Termen auftritt. Nach Anwendung des Distributivgesetzes
:<math>x(x-4)=0</math>.
:<math>x(x-4)=0</math>.
-
The equation on the left-hand side is zero when one of its factors is zero, which gives us two solutions
+
Die linke Seite der Gleichung ist nur dann null, wenn einer ihrer Faktoren null ist.
-
*<math>x =0,\quad</math> or
+
*<math>x =0,\quad</math> oder
-
*<math>x-4=0\quad</math> which gives <math>\quad x=4</math>.</li>
+
*<math>x-4=0\quad</math>. Dies ergibt die Lösungen <math>\quad x=4</math>.</li>
</ol>
</ol>
</div>
</div>
 +
== B - Quadratische Funktionen ==
-
== Parabolas ==
+
Die Funktionen
-
 
+
-
Functions
+
{{Abgesetzte Formel||<math>\eqalign{y&=x^2-2x+5\cr y&=4-3x^2\cr y&=\textstyle\frac{1}{5}x^2 +3x}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>\eqalign{y&=x^2-2x+5\cr y&=4-3x^2\cr y&=\textstyle\frac{1}{5}x^2 +3x}</math>}}
-
are examples of functions of the second degree. In general, a function of the second degree can be written as
+
sind Beispiele von quadratischen Funktionen. Die allgemeine Formel für eine quadratische Funktion ist
-
{{Abgesetzte Formel||<math>y=ax^2+bx+c</math>}}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>y=ax^2+bx+c\,,</math>}}
-
where <math>a</math>, <math>b</math> and <math>c</math> are constants, and where <math>a\ne0</math>.
+
wobei <math>a</math>, <math>b</math> und <math>c</math> Konstanten sind und <math>a\ne0</math>.
 +
 
 +
Andere Schreibweisen für diese Funktionen sind <math> f(x) = ax^2 + bx +c </math> oder <math> x \mapsto ax^2 + bx +c </math>.
-
The graph for a function of the second degree is known as a parabola and the figures show the graphs of two typical parabolas <math>y=x^2</math> and <math>y=-x^2</math>.
+
Der Funktionsgraph einer quadratischen Funktion ist eine Parabel. Folgende Zeichnungen zeigen zwei typische Parabeln, die Graphen von <math>y=x^2</math> und <math>y=-x^2</math>.
<center>{{:2.3 - Bild - Die Parabeln y = x² und y = -x²}}</center>
<center>{{:2.3 - Bild - Die Parabeln y = x² und y = -x²}}</center>
-
<center><small>The figure on the left shows the parabola <math>y=x^2</math> and figure to the right the parabola <math>y=-x^2</math>.</small></center>
+
<center><small>Die linke Zeichnung zeigt die Parabel <math>y=x^2</math> und die rechte Zeichnung zeigt die Parabel <math>y=-x^2</math>.</small></center>
-
As the expression <math>x^2</math> is minimal when <math>x=0</math> the parabola <math>y=x^2</math> has a minimum when <math>x=0</math> and the parabola <math>y=-x^2</math> has a maximum when <math>x=0</math>.
+
Weil der <math>x^2</math>-Term minimal ist, wenn <math>x=0</math>, hat die Parabel <math>y=x^2</math> ein Minimum in <math>x=0</math> und die Parabel <math>y=-x^2</math> hat ein Maximum in <math>x=0</math>.
-
Note also that parabolas above are symmetrical about the <math>y</math>-axis, as the value of <math>x^2</math> does not depend on the sign of <math>x</math>.
+
Jede der beiden Parabeln oben ist symmetrisch bezüglich der <math>y</math>-Achse, weil der Wert von <math>x^2</math> derselbe ist, egal ob <math>x</math> positiv oder negativ ist.
<div class="exempel">
<div class="exempel">
Zeile 161: Zeile 188:
{| width="100%"
{| width="100%"
||<ol type="a">
||<ol type="a">
-
<li>Sketch the parabola <math>\ y=x^2-2</math>. <br><br>
+
<li>Zeichne die Parabel <math>\ y=x^2-2</math>. <br><br>
-
Compared to the parabola <math>y=x^2</math> all points on the parabola (<math>y=x^2-2</math>) have <math>y</math>-values that are two units smaller, so the parabola has been displaced downwards two units along the <math>y</math>-direction.</li>
+
Im Vergleich zur Parabel <math>y=x^2</math> hat diese Parabel(<math>y=x^2-2</math>) einen <math>y</math>-Wert, der 2 Einheiten kleiner ist. Also schieben wir die Parabel <math>y=x^2</math> einfach zwei Einheiten herunter.</li>
</ol>
</ol>
|align="right"|{{:2.3 - Bild - Die Parabel y = x² - 2}}
|align="right"|{{:2.3 - Bild - Die Parabel y = x² - 2}}
Zeile 169: Zeile 196:
{| width="100%"
{| width="100%"
||<ol type="a" start=2>
||<ol type="a" start=2>
-
<li> Sketch the parabola <math>\ y=(x-2)^2</math>. <br><br>
+
<li> Zeichne die Parabel <math>\ y=(x-2)^2</math>. <br><br>
-
For the parabola <math>y=(x-2)^2</math> we need to choose <math>x</math>-values two units larger than for the parabola <math>y=x^2</math> to get the corresponding <math>y</math> values. So the parabola <math>y=(x-2)^2</math> has been displaced two units to the right, compared to <math>y=x^2</math>.</li>
+
Für die Parabel <math>y=(x-2)^2</math> müssen wir den <math>x</math>-Wert um zwei Einheiten größer wählen als für die Parabel <math>y=x^2</math>, um denselben <math>y</math>-Wert zu bekommen. Also ist die Parabel <math>y=(x-2)^2</math>, die Parabel <math>y=x^2</math> zwei Einheiten nach rechts verschoben.</li>
</ol>
</ol>
|align="right"|{{:2.3 - Bild - Die Parabel y = (x - 2)²}}
|align="right"|{{:2.3 - Bild - Die Parabel y = (x - 2)²}}
Zeile 177: Zeile 204:
{| width="100%"
{| width="100%"
||<ol type="a" start=3>
||<ol type="a" start=3>
-
<li> Sketch the parabola <math>\ y=2x^2</math>. <br><br>
+
<li> Zeichne die Parabel <math>\ y=2x^2</math>. <br><br>
-
Each point on the parabola <math>y=2x^2</math> has twice as large a <math>y</math>-value as the corresponding point with the same <math>x</math>-value on parabola <math>y=x^2</math>. Thus parabola <math>y=2x^2</math> has been increased by a factor <math>2</math> in the <math>y</math>-direction as compared to <math>y=x^2</math>.
+
Jeder Punkt auf der Parabel <math>y=2x^2</math> hat für denselben <math>x</math>-Wert einen zwei Mal so großen <math>y</math>-Wert als die Parabel <math>y=x^2</math>. Also müssen wir die Parabel <math>y=x^2</math> um einen Faktor <math>2</math> in der <math>y</math>-Richtung vergrößern, um die Parabel <math>y=2x^2</math> zu bekommen.
</ol>
</ol>
|align="right"|{{:2.3 - Bild - Die Parabel y = 2x²}}
|align="right"|{{:2.3 - Bild - Die Parabel y = 2x²}}
Zeile 184: Zeile 211:
</div>
</div>
-
All sorts of parabolas can be handled by the completing the square method.
+
Eine allgemeine Parabel kann einfach gezeichnet werden, indem man die quadratische Ergänzung verwendet.
-
 
+
<div class="exempel">
<div class="exempel">
'''Beispiel 6'''
'''Beispiel 6'''
{| width="100%"
{| width="100%"
-
||Sketch the parabola <math>\ y=x^2+2x+2</math>.
+
||Zeichne die Parabel <math>\ y=x^2+2x+2</math>.
-
If one completes the square for the right-hand side
+
Wenn wir die rechte Seite der Gleichung mit der quadratischer Ergänzung umschreiben, bekommen wir
{{Abgesetzte Formel||<math>x^2 +2x+2 = (x+1)^2 -1^2 +2 = (x+1)^2+1</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>x^2 +2x+2 = (x+1)^2 -1^2 +2 = (x+1)^2+1</math>}}
-
we see from the resulting expression <math>y= (x+1)^2+1</math> that the parabola has been displaced one unit to the left along the <math>x</math>-direction, compared to <math>y=x^2</math> (as it stands <math>(x+1)^2</math> instead of <math>x^2</math>) and one unit upwards along the <math>y</math>-direction
+
und sehen, dass die Parabel <math>y= (x+1)^2+1</math> um eine Einheit nach links und um eine Einheit nach oben verschoben ist, im Vergleich zur Parabel <math>y=x^2</math>.
||{{:2.3 - Bild - Die Parabel y = x² + 2x + 2}}
||{{:2.3 - Bild - Die Parabel y = x² + 2x + 2}}
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''' Beispiel 7'''
''' Beispiel 7'''
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Determine where the parabola <math>\,y=x^2-4x+3\,</math> cuts the <math>x</math>-axis.
+
Bestimme den Schnittpunkt der Parabel <math>\,y=x^2-4x+3\,</math> mit der <math>x</math>-Achse.
-
A point is on the <math>x</math>-axis if its <math>y</math>-coordinate is zero, and the points on the parabola which have <math>y=0</math> have an <math>x</math>-coordinate that satisfies the equation
+
Alle Punkte auf der <math>x</math>-Achse haben den <math>y</math>-Koordinaten 0. Die Punkte, die auf der Parabel und auch auf der <math>x</math>-Achse liegen, haben also die <math>y</math>-Koordinate 0 und erfüllen die Gleichung
{{Abgesetzte Formel||<math>x^2-4x+3=0\mbox{.}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>x^2-4x+3=0\mbox{.}</math>}}
-
Complete the square for the left-hand side,
+
Die quadratische Ergänzung ergibt
{{Abgesetzte Formel||<math>x^2-4x+3=(x-2)^2-2^2+3=(x-2)^2-1</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>x^2-4x+3=(x-2)^2-2^2+3=(x-2)^2-1</math>}}
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and this gives the equation
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und schließlich
{{Abgesetzte Formel||<math>(x-2)^2= 1 \; \mbox{.}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>(x-2)^2= 1 \; \mbox{.}</math>}}
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After taking roots we get solutions
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Wir ziehen die Wurzel und erhalten die Lösungen
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*<math>x-2 =\sqrt{1} = 1,\quad</math> i.e. <math>\quad x=2+1=3</math>,
+
*<math>x-2 =\sqrt{1} = 1,\quad</math> also <math>\quad x=2+1=3</math>,
-
*<math>x-2 = -\sqrt{1} = -1,\quad</math> i.e. <math>\quad x=2-1=1</math>.
+
*<math>x-2 = -\sqrt{1} = -1,\quad</math> also <math>\quad x=2-1=1</math>.
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The parabola cuts the <math>x</math>-axis in points <math>(1,0)</math> and <math>(3,0)</math>.
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Die Schnittpunkte der <math>x</math>-Achse mit der Parabel <math>\,y=x^2-4x+3\,</math> sind <math>(1,0)</math> und <math>(3,0)</math>.
<center>{{:2.3 - Bild - Die Parabel y = x² - 4x + 3}}</center>
<center>{{:2.3 - Bild - Die Parabel y = x² - 4x + 3}}</center>
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''' Beispiel 8'''
''' Beispiel 8'''
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Determine the minimum value of the expression <math>\,x^2+8x+19\,</math>.
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Bestimme den kleinsten Wert des Ausdruckes <math>\,x^2+8x+19\,</math>.
-
We complete the square
+
Wir verwenden die quadratische Ergänzung
{{Abgesetzte Formel||<math>x^2 +8x+19=(x+4)^2 -4^2 +19 = (x+4)^2 +3</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>x^2 +8x+19=(x+4)^2 -4^2 +19 = (x+4)^2 +3</math>}}
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and then we see that the expression must be at least equal to 3 because the square <math>(x+4)^2</math> is always greater than or equal to 0 regardless of what <math>x</math> is.
+
und sehen hier, dass der Ausdruck immer gleich oder größer als 3 ist, nachdem die Quadrate <math>(x+4)^2</math> immer größer oder gleich 0 ist.
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In the figure below, we see that the whole parabola <math>y=x^2+8x+19</math> lies above the <math>x</math>-axis and has a minimum 3 at <math>x=-4</math>.
+
In der Zeichnung unten sehen wir, dass die Parabel <math>y=x^2+8x+19</math> oberhalb der <math>x</math>-Achse liegt und den kleinsten Wert 3 hat, wenn <math>x=-4</math>.
<center>{{:2.3 - Bild - Die Parabel y = x² + 8x + 19}}</center>
<center>{{:2.3 - Bild - Die Parabel y = x² + 8x + 19}}</center>
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Noch Fragen zu diesem Kapitel? Dann schau nach im Kursforum (Du findest den Link in der Student Lounge) oder frag nach per Skype bei ombTutor <skype style="call" action="call">ombTutor</skype> <skype style="chat" action="chat">ombTutor</skype>
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'''Tipps fürs lernen'''
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'''Tipps fürs Lernen'''
'''Diagnostische Prüfung und Schlussprüfung'''
'''Diagnostische Prüfung und Schlussprüfung'''
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Nachdem Du fertig mit der Theorie bist, sollst Du die diagnostische Prüfung und die Schlussprüfung machen. Du findest die links zu den Prüfungen in Deiner "Student Lounge".
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Nachdem Du mit der Theorie und den Übungen fertig bist, solltest Du die diagnostische Prüfung und die Schlussprüfung machen. Du findest die Links zu den Prüfungen in Deiner "Student Lounge".
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'''Bedenke folgendes: '''
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'''Bedenken Sie folgendes: '''
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Devote much time to doing algebra! Algebra is the alphabet of mathematics. Once you understand algebra, your will enhance your understanding of statistics, areas, volumes and geometry.
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Nimm dir viel Zeit, um Algebra ordentlich zu lernen. Algebra ist das Alphabet der Mathematik, und kommt überall sonst in der Mathematik vor.
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'''Reviews'''
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'''Literaturhinweise'''
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Für die, die sich weiter mit der Materie beschäftigen wollen, sind hier einige Links angeführt:
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For those of you who want to deepen your studies or need more detailed explanations consider the following references
 
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[http://en.wikipedia.org/wiki/Quadratic_equation Learn more about quadratic equations in the English Wikipedia ]
+
[http://de.wikipedia.org/wiki/Quadratische_Gleichung Mehr über Quadratische Gleichungen in der Wikipedia ]
-
[http://mathworld.wolfram.com/QuadraticEquation.html Learn more about quadratic equations in mathworld ]
+
[http://mathworld.wolfram.com/QuadraticEquation.html Mehr über quadratische Gleichungen auf mathworld (engl.)]
-
[http://plus.maths.org/issue29/features/quadratic/index-gifd.html 101 uses of a quadratic equation - by Chris Budd and Chris Sangwin]
+
[http://plus.maths.org/issue29/features/quadratic/index-gifd.html 101 uses of a quadratic equation - von Chris Budd und Chris Sangwin (engl.)]
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'''Nützliche Websites'''
 
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Aktuelle Version

       Theorie          Übungen      

Inhalt:

  • Quadratische Ergänzung
  • Quadratische Funktionen
  • Faktorisierung
  • Parabeln

Lernziele:

Nach diesem Abschnitt solltest Du folgendes können:

  • Quadratische Ergänzungen für quadratische Ausdrücke ausführen.
  • Quadratische Gleichungen durch quadratische Ergänzung lösen und die Lösungen kontrollieren.
  • Wenn möglich, eine quadratische Gleichung faktorisieren.
  • Faktorisierte, oder fast faktorisierte quadratische Gleichungen direkt lösen.
  • Den kleinsten und größten Wert eines quadratischen Ausdruckes finden.
  • Parabeln zeichnen mittels quadratischer Ergänzung.


Die Lernziele sind Dir aus der Schule noch bestens vertraut und Du weißt ganz genau, wie man die zugehörigen Rechnungen ausführt? Dann kannst Du auch gleich mit den Prüfungen beginnen (Du findest den Link in der Student Lounge).

A - Quadratische Gleichungen

Eine quadratische Gleichung kann in der Form

\displaystyle x^2+px+q=0

geschrieben werden, wobei \displaystyle x unbekannt ist, und \displaystyle p und \displaystyle q Konstanten sind.

Einfache quadratische Gleichungen kann man lösen, indem man die Wurzeln zieht.

Die einfache quadratische Gleichung \displaystyle x^2=a mit \displaystyle a > 0, hat zwei Lösungen, nämlich \displaystyle x=\sqrt{a} und \displaystyle x=-\sqrt{a}.

Beispiel 1

  1. \displaystyle x^2 = 4 \quad hat die Lösungen \displaystyle x=\sqrt{4} = 2 und \displaystyle x=-\sqrt{4}= -2.
  2. \displaystyle 2x^2=18 \quad kann man als \displaystyle x^2=9 schreiben, also gibt es die Lösungen \displaystyle x=\sqrt9 = 3 und \displaystyle x=-\sqrt9 = -3.
  3. \displaystyle 3x^2-15=0 \quad kann man als \displaystyle x^2=5 schreiben, also gibt es die Lösungen \displaystyle x=\sqrt5 \approx 2{,}236 und \displaystyle x=-\sqrt5 \approx -2{,}236.
  4. \displaystyle 9x^2+25=0\quad hat keine (reelle) Lösung, weil die linke Seite der Gleichung immer größer als 25 ist (denn \displaystyle x^2 ≥ 0).
    (Man kann diese Gleichung im Komplexen lösen und man erhält dann komplexe Lösungen.)

Beispiel 2

  1. Löse die einfache quadratische Gleichung \displaystyle \ (x-1)^2 = 16.

    Wir gehen genauso vor wie in Beispiel 1a) und erhalten
    • \displaystyle x-1 =\sqrt{16} = 4\, also \displaystyle x=1+4=5,
    • \displaystyle x-1 = -\sqrt{16} = -4\, also \displaystyle x=1-4=-3.
  2. Löse die Gleichung \displaystyle \ 2(x+1)^2 -8=0.

    Wir addieren \displaystyle 8 auf beiden Seiten der Gleichung und dividieren danach durch \displaystyle 2,
    \displaystyle (x+1)^2=4 \; \mbox{.}

    Wir haben eine einfach quadratische Gleichung erhalten. Diese lösen wir, indem wir die Wurzel ziehen. Die Lösungen sind

    • \displaystyle x+1 =\sqrt{4} = 2, \quad \mbox{also} \quad x=-1+2=1\,\mbox{,}
    • \displaystyle x+1 = -\sqrt{4} = -2, \quad \mbox{also} \quad x=-1-2=-3\,\mbox{.}

Um eine allgemeine quadratische Gleichung zu lösen, kann man das Prinzip der quadratischen Ergänzung oder die p-q-Formel benutzen. Wir erklären erst die quadratische Ergänzung an Beispielen und dann die p-q-Formel. Die p-q-Formel kann aus der quadratischen Ergänzung hergeleitet werden.

Die binomische Formel lautet

\displaystyle x^2 + 2ax + a^2 = (x+a)^2\,.

Subtrahieren wir \displaystyle a^2 von beiden Seiten, bekommen wir

Quadratische Ergänzung:

\displaystyle x^2 +2ax = (x+a)^2 -a^2

und \displaystyle (a+x)^2 = a^2 ist eine einfache quadratische Gleichung, die wir durch Wurzelziehen lösen können.

Beispiel 3

  1. Löse die Gleichung \displaystyle \ x^2 +2x -8=0.

    Wir benutzen die quadratische Ergänzung: \displaystyle x^2+2x (hier ist also \displaystyle a=1)
    \displaystyle \underline{\vphantom{(}x^2+2x} -8 = \underline{(x+1)^2-1^2} -8 = (x+1)^2-9,

    wo wir bei den unterstrichenen Termen die quadratische Ergänzung benutzt haben. Die Gleichung kann also wie

    \displaystyle (x+1)^2 -9 = 0,

    geschrieben werden, und diese Gleichung hat die Lösungen

    • \displaystyle x+1 =\sqrt{9} = 3\,, also \displaystyle x=-1+3=2,
    • \displaystyle x+1 =-\sqrt{9} = -3\,, also \displaystyle x=-1-3=-4.
  2. Löse die Gleichung \displaystyle \ 2x^2 -2x - \frac{3}{2} = 0.

    Wir dividieren zuerst beide Seiten durch 2
    \displaystyle x^2-x-\textstyle\frac{3}{4}=0\mbox{.}

    Jetzt benutzen wir quadratische Ergänzung auf der linken Seite (mit \displaystyle a=-\tfrac{1}{2})

    \displaystyle \textstyle\underline{\vphantom{\bigl(\frac{3}{4}}x^2-x} -\frac{3}{4} = \underline{\bigl(x-\frac{1}{2}\bigr)^2 - \bigl(-\frac{1}{2}\bigr)^2} -\frac{3}{4}= \bigl(x-\frac{1}{2}\bigr)^2 -1\,.

    Dies ergibt die Gleichung

    \displaystyle \textstyle\bigl(x-\frac{1}{2}\bigr)^2 - 1=0\mbox{.}

    mit den Lösungen

    • \displaystyle x-\tfrac{1}{2} =\sqrt{1} = 1, \quad also \displaystyle \quad x=\tfrac{1}{2}+1=\tfrac{3}{2},
    • \displaystyle x-\tfrac{1}{2}= -\sqrt{1} = -1, \quad also \displaystyle \quad x=\tfrac{1}{2}-1= -\tfrac{1}{2}.

Hinweis:

Für jede gefundene Lösung können wir die Probe machen, indem wir die gefundene Lösung in die ursprüngliche Gleichung einsetzen. Im Beispiel 3a oben, haben wir zwei Lösungen zu prüfen:

  • \displaystyle x = 2 ergibt \displaystyle \mbox{Linke Seite} = 2^2 +2\cdot 2 - 8 = 4+4-8 = 0 = \mbox{Rechte Seite}.
  • \displaystyle x = -4 ergibt \displaystyle \mbox{Linke Seite} = (-4)^2 + 2\cdot(-4) -8 = 16-8-8 = 0 = \mbox{Rechte Seite}.

In beide Fällen erhalten wir linke Seite = rechte Seite. Also sind unsere Lösungen richtig.


Herleitung der p-q-Formel aus der quadratischen Ergänzung


Mit der quadratischen Ergänzung kann man eine generelle Lösungsformel für quadratische Gleichungen herleiten.

\displaystyle x^2+px+q=0

hat die (rellen) Lösungen

\displaystyle x = - \displaystyle\frac{p}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^2-q}\,,

solange der Ausdruck in der Wurzel nicht negativ ist.

Wir benutzen die quadratische Ergänzung mit \displaystyle a = \frac{p}{2}

\displaystyle x^2+px+q {\,\,} = {\,\,} x^2 + 2 \frac{p}{2} x + \left( \frac{p}{2} \right)^2 - \left( \frac{p}{2} \right)^2 + q {\,} = {\,} \left(x + \frac{p}{2} \right)^2 - \left( \frac{p}{2} \right)^2 + q


Damit hat die allgemeine quadratische Gleichung \displaystyle x^2 + px +q = 0 die selben Lösungen wie die einfache quadratische Gleichung \displaystyle \left(x + \frac{p}{2} \right)^2 = \left( \frac{p}{2} \right)^2 - q .

Die einfache quadratische Gleichung lösen wir durch das Ziehen der Wurzel.

Wir erhalten die beiden Lösungen \displaystyle x + \frac{p}{2} = \sqrt{ \left( \frac{p}{2} \right)^2 - q} und \displaystyle x + \frac{p}{2} = - \sqrt{ \left( \frac{p}{2} \right)^2 - q}

Und damit hat man die p-q-Formel.


In manchen Fällen kann man eine quadratische Gleichung einfach faktorisieren, um die Lösungen zu erhalten.

Beispiel 4

  1. Löse die Gleichung \displaystyle \ x^2-4x=0.

    Wir können die linke Seite faktorisieren, weil der Faktor \displaystyle x in allen Termen auftritt. Nach Anwendung des Distributivgesetzes
    \displaystyle x(x-4)=0.
    Die linke Seite der Gleichung ist nur dann null, wenn einer ihrer Faktoren null ist.
    • \displaystyle x =0,\quad oder
    • \displaystyle x-4=0\quad. Dies ergibt die Lösungen \displaystyle \quad x=4.

B - Quadratische Funktionen

Die Funktionen

\displaystyle \eqalign{y&=x^2-2x+5\cr y&=4-3x^2\cr y&=\textstyle\frac{1}{5}x^2 +3x}

sind Beispiele von quadratischen Funktionen. Die allgemeine Formel für eine quadratische Funktion ist

\displaystyle y=ax^2+bx+c\,,

wobei \displaystyle a, \displaystyle b und \displaystyle c Konstanten sind und \displaystyle a\ne0.

Andere Schreibweisen für diese Funktionen sind \displaystyle f(x) = ax^2 + bx +c oder \displaystyle x \mapsto ax^2 + bx +c .

Der Funktionsgraph einer quadratischen Funktion ist eine Parabel. Folgende Zeichnungen zeigen zwei typische Parabeln, die Graphen von \displaystyle y=x^2 und \displaystyle y=-x^2.

[Image]

Die linke Zeichnung zeigt die Parabel \displaystyle y=x^2 und die rechte Zeichnung zeigt die Parabel \displaystyle y=-x^2.


Weil der \displaystyle x^2-Term minimal ist, wenn \displaystyle x=0, hat die Parabel \displaystyle y=x^2 ein Minimum in \displaystyle x=0 und die Parabel \displaystyle y=-x^2 hat ein Maximum in \displaystyle x=0.

Jede der beiden Parabeln oben ist symmetrisch bezüglich der \displaystyle y-Achse, weil der Wert von \displaystyle x^2 derselbe ist, egal ob \displaystyle x positiv oder negativ ist.

Beispiel 5

  1. Zeichne die Parabel \displaystyle \ y=x^2-2.

    Im Vergleich zur Parabel \displaystyle y=x^2 hat diese Parabel(\displaystyle y=x^2-2) einen \displaystyle y-Wert, der 2 Einheiten kleiner ist. Also schieben wir die Parabel \displaystyle y=x^2 einfach zwei Einheiten herunter.

[Image]

  1. Zeichne die Parabel \displaystyle \ y=(x-2)^2.

    Für die Parabel \displaystyle y=(x-2)^2 müssen wir den \displaystyle x-Wert um zwei Einheiten größer wählen als für die Parabel \displaystyle y=x^2, um denselben \displaystyle y-Wert zu bekommen. Also ist die Parabel \displaystyle y=(x-2)^2, die Parabel \displaystyle y=x^2 zwei Einheiten nach rechts verschoben.

[Image]

  1. Zeichne die Parabel \displaystyle \ y=2x^2.

    Jeder Punkt auf der Parabel \displaystyle y=2x^2 hat für denselben \displaystyle x-Wert einen zwei Mal so großen \displaystyle y-Wert als die Parabel \displaystyle y=x^2. Also müssen wir die Parabel \displaystyle y=x^2 um einen Faktor \displaystyle 2 in der \displaystyle y-Richtung vergrößern, um die Parabel \displaystyle y=2x^2 zu bekommen.

[Image]

Eine allgemeine Parabel kann einfach gezeichnet werden, indem man die quadratische Ergänzung verwendet.

Beispiel 6

Zeichne die Parabel \displaystyle \ y=x^2+2x+2.


Wenn wir die rechte Seite der Gleichung mit der quadratischer Ergänzung umschreiben, bekommen wir

\displaystyle x^2 +2x+2 = (x+1)^2 -1^2 +2 = (x+1)^2+1

und sehen, dass die Parabel \displaystyle y= (x+1)^2+1 um eine Einheit nach links und um eine Einheit nach oben verschoben ist, im Vergleich zur Parabel \displaystyle y=x^2.

[Image]

Beispiel 7

Bestimme den Schnittpunkt der Parabel \displaystyle \,y=x^2-4x+3\, mit der \displaystyle x-Achse.


Alle Punkte auf der \displaystyle x-Achse haben den \displaystyle y-Koordinaten 0. Die Punkte, die auf der Parabel und auch auf der \displaystyle x-Achse liegen, haben also die \displaystyle y-Koordinate 0 und erfüllen die Gleichung

\displaystyle x^2-4x+3=0\mbox{.}

Die quadratische Ergänzung ergibt

\displaystyle x^2-4x+3=(x-2)^2-2^2+3=(x-2)^2-1

und schließlich

\displaystyle (x-2)^2= 1 \; \mbox{.}

Wir ziehen die Wurzel und erhalten die Lösungen

  • \displaystyle x-2 =\sqrt{1} = 1,\quad also \displaystyle \quad x=2+1=3,
  • \displaystyle x-2 = -\sqrt{1} = -1,\quad also \displaystyle \quad x=2-1=1.

Die Schnittpunkte der \displaystyle x-Achse mit der Parabel \displaystyle \,y=x^2-4x+3\, sind \displaystyle (1,0) und \displaystyle (3,0).

[Image]

Beispiel 8

Bestimme den kleinsten Wert des Ausdruckes \displaystyle \,x^2+8x+19\,.


Wir verwenden die quadratische Ergänzung

\displaystyle x^2 +8x+19=(x+4)^2 -4^2 +19 = (x+4)^2 +3

und sehen hier, dass der Ausdruck immer gleich oder größer als 3 ist, nachdem die Quadrate \displaystyle (x+4)^2 immer größer oder gleich 0 ist.

In der Zeichnung unten sehen wir, dass die Parabel \displaystyle y=x^2+8x+19 oberhalb der \displaystyle x-Achse liegt und den kleinsten Wert 3 hat, wenn \displaystyle x=-4.

[Image]



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Tipps fürs Lernen

Diagnostische Prüfung und Schlussprüfung


Nachdem Du mit der Theorie und den Übungen fertig bist, solltest Du die diagnostische Prüfung und die Schlussprüfung machen. Du findest die Links zu den Prüfungen in Deiner "Student Lounge".

Bedenken Sie folgendes:

Nimm dir viel Zeit, um Algebra ordentlich zu lernen. Algebra ist das Alphabet der Mathematik, und kommt überall sonst in der Mathematik vor.


Literaturhinweise Für die, die sich weiter mit der Materie beschäftigen wollen, sind hier einige Links angeführt:


Mehr über Quadratische Gleichungen in der Wikipedia

Mehr über quadratische Gleichungen auf mathworld (engl.)

101 uses of a quadratic equation - von Chris Budd und Chris Sangwin (engl.)


Von „http://wiki.sommarmatte.se/wikis/2009/bridgecourse1-TU-Berlin/index.php/2.3_Quadratische_Gleichungen“