1.3 Potenzen

Aus Online Mathematik Brückenkurs 1

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{{Info|
{{Info|
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'''Content: '''
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'''Inhalt: '''
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* Positive integer exponent
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* Positive ganze Exponenten
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* Negative integer exponent
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* Negative ganze Exponenten
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* Rational exponents
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* Rationale Exponenten
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* Laws of exponents
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* Die Rechenregeln für Exponenten
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}}
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'''Lernziele:'''
'''Lernziele:'''
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After this section, you will have learned to:
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Nach diesem Abschnitt sollst Du ...
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* Recognise the concepts of base and exponent.
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* ... die Begriffe Basis und Exponent verstehen.
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*Calculate integer power expressions
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* ... Potenzen mit ganzen Exponenten berechnen können.
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*Use the laws of exponents to simplify expressions containing powers.
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* ... die Rechenregeln für Exponenten beherrschen.
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* Know when the laws of exponents are applicable (positive basis).
+
* ... wissen, wann die Rechenregeln für Potenzen gültig sind (bei positiven Basen).
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*Determine which of two powers is the larger based on a comparison of the base / exponent.
+
* ... Potenzen der Größe nach vergleichen können (mit Hilfe der Größe des Exponenten/der Basis).
}}
}}
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== Ganze Exponenten ==
 
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Die Multiplikation ist eine Kürzung von wiederholten Additionen, zum Beispiel,
+
Die Lernziele sind Dir aus der Schule noch bestens vertraut und Du weisst ganz genau, wie man die zugehörigen Rechnungen ausführt? Dann kannst Du auch gleich mit den <b>Prüfungen</b> beginnen (Du findest den Link in der Student Lounge).
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== A - Ganze Exponenten ==
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Die Multiplikation ist eine Kurzschreibweise das wiederholte Addieren, zum Beispiel,
{{Abgesetzte Formel||<math>4 + 4 + 4 + 4 + 4 = 4 \cdot 5\mbox{.}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>4 + 4 + 4 + 4 + 4 = 4 \cdot 5\mbox{.}</math>}}
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Analog definiert man die Potenze als eine wiederholte Multiplikation mit derselben Zahl:
+
Analog definiert man eine Potenz als eine wiederholte Multiplikation mit derselben Zahl:
{{Abgesetzte Formel||<math> 4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 4 = 4^5\mbox{.}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math> 4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 4 = 4^5\mbox{.}</math>}}
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Der 4:er Wird Basis benannt, und der 5:er wird Exponent benannt.
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Die Zahl 4 wird als Basis bezeichnet, und die 5 wird als Exponent bezeichnet.
<div class="exempel">
<div class="exempel">
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= 0{,}1 \cdot 0{,}1 \cdot 0{,}1 = 0{,}001</math></li>
= 0{,}1 \cdot 0{,}1 \cdot 0{,}1 = 0{,}001</math></li>
<li><math>(-2)^4
<li><math>(-2)^4
-
= (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) \cdot (-2)= 16</math>, but <math> -2^4
+
= (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) \cdot (-2)= 16</math>, aber <math> -2^4
= -(2^4) = - (2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2) = -16</math></li>
= -(2^4) = - (2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2) = -16</math></li>
-
<li><math> 2\cdot 3^2 = 2 \cdot 3 \cdot 3 = 18</math>, but <math>
+
<li><math> 2\cdot 3^2 = 2 \cdot 3 \cdot 3 = 18</math>, aber <math>
(2\cdot3)^2 = 6^2 = 36</math></li>
(2\cdot3)^2 = 6^2 = 36</math></li>
</ol>
</ol>
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</div>
</div>
-
Das letzte Beispiel kann in zwei sehr nützliche Rechenregeln generalisiert werden:
+
Das letzte Beispiel kann durch zwei sehr nützliche Rechenregeln verallgemeinert werden:
<div class="regel">
<div class="regel">
-
{{Abgesetzte Formel||<math>\left(\displaystyle\frac{a}{b}\right)^m = \displaystyle\frac{a^m}{b^m} \quad \mbox{and}\quad (ab)^m = a^m b^m\,\mbox{.}</math>}}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>\left(\displaystyle\frac{a}{b}\right)^m = \displaystyle\frac{a^m}{b^m} \quad \mbox{und}\quad (ab)^m = a^m b^m\,\mbox{.}</math>}}
 +
für <math> a,b \in \Bbb{R} \setminus \{0\} </math> und <math> m \in \, \Bbb{N}</math>.
</div>
</div>
 +
== B - Rechenregeln für Potenzen ==
-
== Rechenregeln für Potenzen ==
+
Weiter können noch einige Rechenregeln für Potenzen hergeleitet werden. Zum Beispiel sieht man, dass
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Weiter können noch einige Rechenregeln für Potenzen hergeleitet werden. Zum Beispiel sieht man dass
+
{{Abgesetzte Formel||<math>2^3 \cdot 2^5 = \underbrace{\,2\cdot 2\cdot 2\vphantom{{}_{\scriptscriptstyle 1}}\,}_{ 3\ {\rm Faktoren }} \cdot \underbrace{\,2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\vphantom{{}_{\scriptscriptstyle 1}}\,}_{ 5\ {\rm Faktoren }} = \underbrace{\,2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\vphantom{{}_{\scriptscriptstyle 1}}\,}_{ (3 + 5)\ {\rm Faktoren}} = 2^{3+5} = 2^8</math>}}
-
{{Abgesetzte Formel||<math>2^3 \cdot 2^5 = \underbrace{\,2\cdot 2\cdot 2\vphantom{{}_{\scriptscriptstyle 1}}\,}_{ 3\ {\rm Faktoren }} \cdot \underbrace{\,2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\vphantom{{}_{\scriptscriptstyle 1}}\,}_{ 5\ {\rm Faktoren }} = \underbrace{\,2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\vphantom{{}_{\scriptscriptstyle 1}}\,}_{ (3 + 5)\ {\rm Faktoren}} = 2^{3+5} = 2^8</math>}}
+
Was durch folgende Regel für <math> a \in \Bbb{R} </math>und <math> m,n \in \Bbb{N}</math> verallgemeinert werden kann
-
 
+
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Was in folgende Regel generalisiert werden kann
+
<div class="regel">
<div class="regel">
Zeile 94: Zeile 98:
</div>
</div>
-
Bei der Division mit Potenzen mit derselben Basis, gilt folgendes
+
Bei der Division mit Potenzen mit derselben Basis gilt folgendes
{{Abgesetzte Formel||<math>\frac{2^7}{2^3}=\displaystyle\frac{ 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot \not{2}\cdot \not{2}\cdot \not{2} }{ \not{2}\cdot \not{2}\cdot \not{2}} = 2^{7-3}=2^4\mbox{.}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>\frac{2^7}{2^3}=\displaystyle\frac{ 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot \not{2}\cdot \not{2}\cdot \not{2} }{ \not{2}\cdot \not{2}\cdot \not{2}} = 2^{7-3}=2^4\mbox{.}</math>}}
-
Was in folgende Regel generalisiert werden kann
+
Was durch folgende Regel für <math> a \in \Bbb{R}</math> und <math> m,n \in \Bbb{N}</math> verallgemeinert werden kann
<div class="regel">
<div class="regel">
Zeile 104: Zeile 108:
</div>
</div>
-
Wenn die Basis selber ein Exponent ist, gibt es eine wichtige Rechenregel. Zum Beispiel ist
+
Wenn die Basis selbst ein Exponent ist, gibt es eine wichtige Rechenregel. Zum Beispiel ist
{{Abgesetzte Formel||<math> (5^2)^3 = 5^2 \cdot 5^2 \cdot 5^2 = \underbrace{\,5\cdot 5\vphantom{{}_{\scriptscriptstyle 1}}\,}_{ 2\ {\rm Faktoren}} \cdot \underbrace{\,5\cdot 5\vphantom{{}_{\scriptscriptstyle 1}}\,}_{ 2\ {\rm Faktoren}} \cdot \underbrace{\,5\cdot 5\vphantom{{}_{\scriptscriptstyle 1}}\,}_{2\ {\rm Faktoren}} = \underbrace{\,5\cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5\vphantom{{}_{\scriptscriptstyle 1}}\,}_{3\ {\rm mal}\ 2\ {\rm Faktoren}} = 5^{2 \cdot 3} = 5^6\mbox{}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math> (5^2)^3 = 5^2 \cdot 5^2 \cdot 5^2 = \underbrace{\,5\cdot 5\vphantom{{}_{\scriptscriptstyle 1}}\,}_{ 2\ {\rm Faktoren}} \cdot \underbrace{\,5\cdot 5\vphantom{{}_{\scriptscriptstyle 1}}\,}_{ 2\ {\rm Faktoren}} \cdot \underbrace{\,5\cdot 5\vphantom{{}_{\scriptscriptstyle 1}}\,}_{2\ {\rm Faktoren}} = \underbrace{\,5\cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5\vphantom{{}_{\scriptscriptstyle 1}}\,}_{3\ {\rm mal}\ 2\ {\rm Faktoren}} = 5^{2 \cdot 3} = 5^6\mbox{}</math>}}
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Und
+
und
{{Abgesetzte Formel||<math> (5^3)^2 = 5^3\cdot5^3= \underbrace{\,5\cdot 5 \cdot 5\vphantom{{}_{\scriptscriptstyle 1}}\,}_{3\ {\rm Faktoren}} \cdot \underbrace{\,5\cdot 5 \cdot 5\vphantom{{}_{\scriptscriptstyle 1}}\,}_{3\ {\rm Faktoren}} = \underbrace{\,5\cdot 5 \cdot 5\,\cdot\,5\cdot 5 \cdot 5\vphantom{{}_{\scriptscriptstyle 1}}\,}_{2\ {\rm mal}\ 3\ {\rm Faktoren}}=5^{3\cdot2}=5^6\mbox{.}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math> (5^3)^2 = 5^3\cdot5^3= \underbrace{\,5\cdot 5 \cdot 5\vphantom{{}_{\scriptscriptstyle 1}}\,}_{3\ {\rm Faktoren}} \cdot \underbrace{\,5\cdot 5 \cdot 5\vphantom{{}_{\scriptscriptstyle 1}}\,}_{3\ {\rm Faktoren}} = \underbrace{\,5\cdot 5 \cdot 5\,\cdot\,5\cdot 5 \cdot 5\vphantom{{}_{\scriptscriptstyle 1}}\,}_{2\ {\rm mal}\ 3\ {\rm Faktoren}}=5^{3\cdot2}=5^6\mbox{.}</math>}}
-
Dies kann in folgende Rechenregel generalisiert werden
+
Dies kann durch folgende Rechenregel für <math> a \in \Bbb{R} </math> und <math> m,n \in \Bbb{N} </math> verallgemeinert werden
<div class="regel">
<div class="regel">
Zeile 149: Zeile 153:
-
Damit die Rechenregeln für Potenzen gültig sein sollen, definiert man dass für alle <math>a \ne 0</math>
+
Damit die Rechenregeln für Potenzen gültig sein sollen, definiert man, dass für alle <math>a \ne 0</math>
Zeile 156: Zeile 160:
</div>
</div>
-
Es kann auch geschehen dass der Exponent im Nenner größer als der Exponent im Zähler ist. Zum Beispiel:
+
Es kann auch vorkommen, dass der Exponent im Nenner größer ist als der Exponent im Zähler. Zum Beispiel:
-
{{Abgesetzte Formel||<math>\frac{3^4}{3^6} = 3^{4-6} = 3^{-2}\quad\text{and}\quad \frac{3^4}{3^6} = \frac{\not{3} \cdot \not{3} \cdot \not{3} \cdot \not{3} }{ \not{3} \cdot \not{3} \cdot \not{3} \cdot \not{3} \cdot 3 \cdot 3} = \frac{1}{3 \cdot 3} = \frac{1}{3^2}\mbox{.}</math>}}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>\frac{3^4}{3^6} = 3^{4-6} = 3^{-2}\quad\text{und}\quad \frac{3^4}{3^6} = \frac{\not{3} \cdot \not{3} \cdot \not{3} \cdot \not{3} }{ \not{3} \cdot \not{3} \cdot \not{3} \cdot \not{3} \cdot 3 \cdot 3} = \frac{1}{3 \cdot 3} = \frac{1}{3^2}\mbox{.}</math>}}
Dies muss bedeuten dass
Dies muss bedeuten dass
Zeile 163: Zeile 167:
{{Abgesetzte Formel||<math>3^{-2} = \frac{1}{3^2}\mbox{.}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>3^{-2} = \frac{1}{3^2}\mbox{.}</math>}}
-
Die generelle Definition von negativen Exponenten lautet, für alle <math>a \ne 0</math>
+
Die allgemeine Definition von negativen Exponenten lautet für alle <math>a \ne 0</math>
<div class="regel">
<div class="regel">
{{Abgesetzte Formel||<math>a^{-n} = \frac{1}{a^n}\mbox{.}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>a^{-n} = \frac{1}{a^n}\mbox{.}</math>}}
Zeile 186: Zeile 190:
<li><math>\left(\frac{1}{3^2}\right)^{-3}
<li><math>\left(\frac{1}{3^2}\right)^{-3}
= (3^{-2})^{-3} = 3^{(-2)\cdot(-3)}=3^6</math></li>
= (3^{-2})^{-3} = 3^{(-2)\cdot(-3)}=3^6</math></li>
-
<li><math>0.01^5 = (10^{-2})^5 = 10^{-2 \cdot 5} = 10^{-10}</math></li>
+
<li><math>0,01^5 = (10^{-2})^5 = 10^{-2 \cdot 5} = 10^{-10}</math></li>
</ol>
</ol>
</div>
</div>
-
Falls die Basis einer Potenz <math>-1</math> ist, ist der Ausdruck entweder <math>-1</math> oder <math>+1</math> je nach Exponent.
+
Wenn die Basis einer Potenz <math>-1</math> ist, ist der Ausdruck entweder <math>-1</math> oder <math>+1</math> je nach Exponent.
{{Abgesetzte Formel||<math>\eqalign{(-1)^1 &= -1\cr (-1)^2 &= (-1)\cdot(-1) = +1\cr (-1)^3 &= (-1)\cdot(-1)^2 = (-1)\cdot 1 = -1\cr (-1)^4 &= (-1)\cdot(-1)^3 = (-1)\cdot (-1) = +1\cr \quad\hbox{etc.}}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>\eqalign{(-1)^1 &= -1\cr (-1)^2 &= (-1)\cdot(-1) = +1\cr (-1)^3 &= (-1)\cdot(-1)^2 = (-1)\cdot 1 = -1\cr (-1)^4 &= (-1)\cdot(-1)^3 = (-1)\cdot (-1) = +1\cr \quad\hbox{etc.}}</math>}}
-
Die generelle Rechenregel ist dass <math>(-1)^n </math> <math>-1</math> ist falls <math>n</math> ungerade ist, und <math>+1</math> falls <math>n</math> gerade ist.
+
Die allgemeine Rechenregel ist, dass <math>(-1)^n </math> gleich <math>-1</math> ist, wenn <math>n</math> ungerade ist, und <math>+1</math>, wenn <math>n</math> gerade ist.
Zeile 201: Zeile 205:
<ol type="a">
<ol type="a">
-
<li><math>(-1)^{56} = 1\quad</math> nachdem <math>56</math> gerade ist </li>
+
<li><math>(-1)^{56} = 1\quad</math> weil <math>56</math> gerade ist </li>
-
<li><math>\frac{1}{(-1)^{11}} = \frac{1}{-1} = -1\quad</math> nachdem 11 ungerade ist </li>
+
<li><math>\frac{1}{(-1)^{11}} = \frac{1}{-1} = -1\quad</math> weil 11 ungerade ist </li>
<li><math>\frac{(-2)^{127}}{2^{130}} = \frac{(-1 \cdot 2)^{127}}{2^{130}}
<li><math>\frac{(-2)^{127}}{2^{130}} = \frac{(-1 \cdot 2)^{127}}{2^{130}}
= \frac{(-1)^{127} \cdot 2^{127}}{2^{130}}
= \frac{(-1)^{127} \cdot 2^{127}}{2^{130}}
-
= \frac{-1 \cdot 2^{127}}{2^{130}}</math>
+
= \frac{-1 \cdot 2^{127}}{2^{130}}
-
<math>\phantom{\frac{(-2)^{127}}{2^{130}}}{} = - 2^{127-130} = -2^{-3}
+
= - 2^{127-130} = -2^{-3}
= - \frac{1}{2^3} = - \frac{1}{8}</math></li>
= - \frac{1}{2^3} = - \frac{1}{8}</math></li>
</ol>
</ol>
</div>
</div>
 +
== C - Basis wechseln ==
-
== Basis wechseln ==
+
Beim Vereinfachen von Ausdrücken, geht es oft darum, Zahlen als Potenzen mit derselben Basis zu schreiben. Häufige Basen sind 2, 3, 4 und 5, und daher sollte man Potenzen von diesen Basen zu erkennen lernen. Zum Beispiel:
-
 
+
-
Bei vereinfachen von Ausdrücken, geht es oft darum, Zahlen als Potenzen mit derselben Basis zu schreiben. Häufige Basen sind 2, 3, 4 und 5, und daher sollte man Potenzen von diesen Basen sich lernen zu erkennen. Zum Beispiel:
+
{{Abgesetzte Formel||<math>4=2^2,\;\; 8=2^3,\;\; 16=2^4,\;\; 32=2^5,\;\; 64=2^6,\;\; 128=2^7,\;\ldots</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>4=2^2,\;\; 8=2^3,\;\; 16=2^4,\;\; 32=2^5,\;\; 64=2^6,\;\; 128=2^7,\;\ldots</math>}}
Zeile 236: Zeile 239:
<ol type="a">
<ol type="a">
-
<li> Schreibe <math>\ 8^3 \cdot 4^{-2} \cdot 16\ </math> Als eine Potenz mit der Basis 2.
+
<li> Schreibe <math>\ 8^3 \cdot 4^{-2} \cdot 16\ </math> als eine Potenz mit der Basis 2.
<br/>
<br/>
<br/>
<br/>
Zeile 242: Zeile 245:
:<math>\qquad\quad{}= 2^9 \cdot 2^{-4} \cdot 2^4 = 2^{9-4+4} =2^9</math></li>
:<math>\qquad\quad{}= 2^9 \cdot 2^{-4} \cdot 2^4 = 2^{9-4+4} =2^9</math></li>
-
<li> Schreibe <math>\ \frac{27^2 \cdot (1/9)^{-2}}{81^2}\ </math> Als eine Potenz mit der Basis 3.
+
<li> Schreibe <math>\ \frac{27^2 \cdot (1/9)^{-2}}{81^2}\ </math> als eine Potenz mit der Basis 3.
<br/>
<br/>
<br/>
<br/>
Zeile 257: Zeile 260:
-
== Rationale Exponenten ==
+
== D - Rationale Exponenten ==
-
Was wird passieren wenn der Exponent eine rationale Zahl ist? Werden die bisherig präsentierten Definitionen und Rechenregeln auch gültig sein?
+
Was geschieht, wenn der Exponent eine rationale Zahl ist? Werden die bisher genannten Definitionen und Rechenregeln auch gültig sein?
-
Nachdem zum Beispiel
+
Da zum Beispiel
{{Abgesetzte Formel||<math>2^{1/2} \cdot 2^{1/2} = 2^{1/2 + 1/2} = 2^1 = 2</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>2^{1/2} \cdot 2^{1/2} = 2^{1/2 + 1/2} = 2^1 = 2</math>}}
-
Muss <math> 2^{1/2} </math> dasselbe wie <math>\sqrt{2}</math> sein, nachdem <math>\sqrt2</math> definiert wird als die Zahl die <math>\sqrt2\cdot\sqrt2 = 2</math> erfüllt.&nbsp;
+
muss <math> 2^{1/2} </math> dasselbe wie <math> \sqrt{2} </math> sein, weil <math> \sqrt2 </math> definiert wird als die Zahl die <math>\sqrt2\cdot\sqrt2 = 2</math> erfüllt.&nbsp;
Generell definiert man
Generell definiert man
Zeile 271: Zeile 274:
</div>
</div>
-
Wir müssen annehmen dass <math>a\ge 0</math>, nachdem keine reelle Zahl mit sich selbst multipliziert eine Negative Zahl ergibt.
+
Wir müssen annehmen, dass <math>a \ge 0</math>, nachdem keine reelle Zahl mit sich selbst multipliziert eine negative Zahl ergibt.
Wie haben aber zum Beispiel auch
Wie haben aber zum Beispiel auch
{{Abgesetzte Formel||<math>5^{1/3} \cdot 5^{1/3} \cdot 5^{1/3} = 5^{1/3 + 1/3 +1/3} = 5^1 = 5</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>5^{1/3} \cdot 5^{1/3} \cdot 5^{1/3} = 5^{1/3 + 1/3 +1/3} = 5^1 = 5</math>}}
-
Was bedeuten muss dass <math>\,5^{1/3} = \sqrt[\scriptstyle3]{5}\mbox{,}\,</math> was in folgende Rechenregel generalisiert werden kann
+
Was bedeuten muss, dass <math>\,5^{1/3} = \sqrt[\scriptstyle3]{5}\mbox{,}\,</math> was durch folgende Rechenregel für <math> a \ge 0 </math> und <math> n \in </math> '''N''' verallgemeinert werden kann
<div class="regel">
<div class="regel">
Zeile 282: Zeile 285:
</div>
</div>
-
In dem man diese Regel, mit der Regel <math>((a^m)^n=a^{m\cdot n})</math> kombiniert, sieht man dass für alle <math>a\ge0</math> folgendes gilt
+
Indem man diese Regel mit der Regel <math>((a^m)^n=a^{m\cdot n})</math> kombiniert, sieht man, dass für alle <math>a\ge0</math> folgendes gilt
<div class="regel">
<div class="regel">
Zeile 297: Zeile 300:
<ol type="a">
<ol type="a">
<li><math>27^{1/3} = \sqrt[\scriptstyle 3]{27}
<li><math>27^{1/3} = \sqrt[\scriptstyle 3]{27}
-
= 3\quad</math> as <math>3 \cdot 3 \cdot 3 =27</math></li>
+
= 3\quad</math> ,da <math>3 \cdot 3 \cdot 3 =27</math></li>
<li><math>1000^{-1/3} = \frac{1}{1000^{1/3}}
<li><math>1000^{-1/3} = \frac{1}{1000^{1/3}}
= \frac{1}{(10^3)^{1/3}}
= \frac{1}{(10^3)^{1/3}}
Zeile 310: Zeile 313:
</div>
</div>
 +
== E - Potenzen vergleichen ==
-
== Potenzen vergleichen ==
+
Wenn man Potenzen ohne Taschenrechner vergleichen möchte, kann man dies durch das vergleichen von Basis oder Exponent machen.
-
Falls man ohne Taschenrechner Potenzen vergleichen möchte, kann man dieses durch das vergleichen von Basis oder Exponent machen.
+
Wenn die Basis größer als 1 ist, wird die Potenz größer, je größer der Exponent wird. Wenn die Basis kleiner als 1, aber größer als 0 ist, gilt das Umgekehrte. Die Potenz wird kleiner, je größer der Exponent wird.
-
 
+
-
Falls die Basis größer als 1 ist, wird die Potenz größer, je größer der Exponent wird. Falls die Basis kleiner als 1, aber größer als 0 ist, gilt das umgekehrte. Die Potenz wird kleiner je größer der Exponent wird.
+
<div class="exempel">
<div class="exempel">
Zeile 321: Zeile 323:
<ol type="a">
<ol type="a">
-
<li><math>\quad 3^{5/6} > 3^{3/4}\quad</math> nachdem die Basis <math>3</math> größer als <math>1</math> und der erste Exponent <math>5/6</math> größer als der zweite Exponent <math>3/4</math> ist.</li>
+
<li><math>\quad 3^{5/6} > 3^{3/4}\quad</math> weil die Basis <math>3</math> größer als <math>1</math> und der erste Exponent <math>5/6</math> größer als der zweite Exponent <math>3/4</math> ist.</li>
-
<li><math>\quad 3^{-3/4} > 3^{-5/6}\quad</math> nachdem die Basis größer als <math>1</math> ist, und es für die Exponente gilt dass <math> -3/4 > - 5/6</math>.</li>
+
<li><math>\quad 3^{-3/4} > 3^{-5/6}\quad</math> weil die Basis größer als <math>1</math> ist und für die Exponenten gilt, dass <math> -3/4 > - 5/6</math>.</li>
-
<li><math> \quad 0{,}3^5 < 0{,}3^4 \quad</math> nachdem die Basis <math> 0{,}3</math> zwischen <math>0</math> und <math>1</math> ist, und <math>5 > 4</math>.
+
<li><math> \quad 0{,}3^5 < 0{,}3^4 \quad</math> da die Basis <math> 0{,}3</math> zwischen <math>0</math> und <math>1</math> ist, und <math>5 > 4</math>.
</ol>
</ol>
</div>
</div>
-
If a power has a positive exponent, it will get larger the larger the base becomes. The opposite applies if the exponent is negative: that is, the power decreases as the base gets larger.
+
Wenn eine Potenz einen positiven Exponenten hat, wird die Potenz größer, je größer die Basis wird. Das Umgekehrte gilt für negative Exponenten; je größer die Basis, desto kleiner wird die Potenz.
<div class="exempel">
<div class="exempel">
Zeile 333: Zeile 335:
<ol type="a">
<ol type="a">
-
<li><math>\quad 5^{3/2} > 4^{3/2}\quad</math> as the base <math>5</math> is larger than the base <math>4</math> and both powers have the same positive exponent <math>3/2</math>.</li>
+
<li><math>\quad 5^{3/2} > 4^{3/2}\quad</math> weil die Basis <math>5</math> größer als die Basis <math>4</math> ist und beide Potenzen denselben positiven Exponenten <math>3/2</math> haben.</li>
-
<li><math> \quad 2^{-5/3} > 3^{-5/3}\quad</math> as the bases satisfy <math>2<3</math> and the powers have a negative exponent <math>-5/3</math>.</li>
+
<li><math> \quad 2^{-5/3} > 3^{-5/3}\quad</math> weil für die Basen gilt, dass <math>2<3</math>, und die Potenzen den negativen Exponenten <math>-5/3</math> haben.</li>
</ol>
</ol>
</div>
</div>
-
Sometimes powers must be rewritten in order to determine the relative sizes. For example to compare <math>125^2</math> with <math>36^3</math>one can rewrite them as
+
In manchen Fällen muss man die Potenzen zuerst umschreiben, bevor man sie vergleichen kann. Um zum Beispiel <math>125^2</math> mit <math>36^3</math> zu vergleichen, kann man die Potenzen umschreiben:
{{Abgesetzte Formel||<math>
{{Abgesetzte Formel||<math>
-
125^2 = (5^3)^2 = 5^6\quad \text{and}\quad 36^3 = (6^2)^3 = 6^6
+
125^2 = (5^3)^2 = 5^6\quad \text{und}\quad 36^3 = (6^2)^3 = 6^6
</math>}}
</math>}}
-
after which one can see that <math>36^3 > 125^2</math>.
+
womit man sieht, dass <math>36^3 > 125^2</math>.
<div class="exempel">
<div class="exempel">
''' Beispiel 11'''
''' Beispiel 11'''
-
Determine which of the following pairs of numbers is the greater
+
Bestimme welche Zahl von folgenden Zahlenpaaren die größere ist.
<ol type="a">
<ol type="a">
-
<li><math> 25^{1/3} </math>&nbsp; and &nbsp;<math> 5^{3/4} </math>.
+
<li><math> 25^{1/3} </math>&nbsp; und &nbsp;<math> 5^{3/4} </math>.
<br>
<br>
<br>
<br>
-
The base 25 can be rewritten in terms of the second base <math>5</math> by putting <math>25= 5\cdot 5= 5^2</math>. Therefore
+
Die Basis 25 kann durch Umschreiben zur Basis 5 geschrieben werden: <math>25= 5\cdot 5= 5^2</math>. Deshalb ist
{{Abgesetzte Formel||<math>25^{1/3} = (5^2)^{1/3} = 5^{2 \cdot \frac{1}{3}}= 5^{2/3}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>25^{1/3} = (5^2)^{1/3} = 5^{2 \cdot \frac{1}{3}}= 5^{2/3}</math>}}
-
and then we see that
+
Daher ist
{{Abgesetzte Formel||<math>5^{3/4} > 25^{1/3} </math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>5^{3/4} > 25^{1/3} </math>}}
-
since <math>\frac{3}{4} > \frac{2}{3}</math> and the base <math>5</math> is larger than <math>1</math>.</li>
+
weil <math>\frac{3}{4} > \frac{2}{3}</math> und die Basis <math>5</math> größer als <math>1</math> ist.</li>
-
<li><math>(\sqrt{8}\,)^5 </math>&nbsp; and <math>128</math>.
+
<li><math>(\sqrt{8}\,)^5 </math>&nbsp; und <math>128</math>.
<br>
<br>
<br>
<br>
-
Both <math>8</math> and <math>128</math> can be written as powers of <math>2</math>
+
<math>8</math> und <math>128</math> können beide mit der Basis <math>2</math> geschrieben werden
{{Abgesetzte Formel||<math>\eqalign{8 &= 2\cdot 4 = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^3\mbox{,}\\ 128 &= 2\cdot 64 = 2\cdot 2\cdot 32 = 2\cdot 2\cdot 2\cdot 16 = 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 8\\ &= 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2^3 = 2^7\mbox{.}}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>\eqalign{8 &= 2\cdot 4 = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^3\mbox{,}\\ 128 &= 2\cdot 64 = 2\cdot 2\cdot 32 = 2\cdot 2\cdot 2\cdot 16 = 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 8\\ &= 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2^3 = 2^7\mbox{.}}</math>}}
-
This means that
+
Dies bedeutet, dass
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align*}
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align*}
-
(\sqrt{8}\,)^5 &= (8^{1/2})^5 = (8)^{5/2} = (2^3)^{5/2}
+
(\sqrt{8}\,)^5 &= (8^{1/2})^5 = (8)^{5/2} = (2^3)^{5/2}
-
= 2^{3\cdot\frac{5}{2}}= 2^{15/2}\\
+
= 2^{3\cdot\frac{5}{2}}= 2^{15/2}\\
-
128 &= 2^7 = 2^{14/2}
+
128 &= 2^7 = 2^{14/2}
-
\end{align*}</math>}}
+
\end{align*}</math>}}
-
and thus
+
Daher ist
{{Abgesetzte Formel||<math>(\sqrt{8}\,)^5 > 128 </math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>(\sqrt{8}\,)^5 > 128 </math>}}
-
because <math>\frac{15}{2} > \frac{14}{2}</math> and the base <math>2</math> is greater than <math>1</math>.</li>
+
weil <math>\frac{15}{2} > \frac{14}{2}</math> und die Basis <math>2</math> größer als <math>1</math> ist.</li>
-
<li><math> (8^2)^{1/5} </math> and <math> (\sqrt{27}\,)^{4/5}</math>.
+
<li><math> (8^2)^{1/5} </math> und <math> (\sqrt{27}\,)^{4/5}</math>.
<br>
<br>
<br>
<br>
-
Since <math>8=2^3</math> and <math>27=3^3</math> a first step can be to simplify and write the numbers as powers of <math>2</math> and <math>3</math> respectively,
+
Wegen <math>8=2^3</math> und <math>27=3^3</math>, können die Basen als Exponenten von <math>2</math> bzw. <math>3</math> geschrieben werden.
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align*}
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align*}
-
(8^2)^{1/5} &= (8)^{2/5} = (2^3)^{2/5} = 2^{3\cdot \frac{2}{5}}
+
(8^2)^{1/5} &= (8)^{2/5} = (2^3)^{2/5} = 2^{3\cdot \frac{2}{5}}
-
= 2^{6/5}\mbox{,}\\
+
= 2^{6/5}\mbox{,}\\
-
(\sqrt{27}\,)^{4/5} &= (27^{1/2})^{4/5}
+
(\sqrt{27}\,)^{4/5} &= (27^{1/2})^{4/5}
-
= 27^{ \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{5}} = 27^{2/5}
+
= 27^{ \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{5}} = 27^{2/5}
-
= (3^3)^{2/5} = 3^{3 \cdot \frac{2}{5}}
+
= (3^3)^{2/5} = 3^{3 \cdot \frac{2}{5}}
-
= 3^{6/5}\mbox{.}
+
= 3^{6/5}\mbox{.}
\end{align*}</math>}}
\end{align*}</math>}}
-
Now we see that
+
Jetzt sieht man, dass
{{Abgesetzte Formel||<math>(\sqrt{27}\,)^{4/5} > (8^2)^{1/5} </math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>(\sqrt{27}\,)^{4/5} > (8^2)^{1/5} </math>}}
-
because <math> 3>2</math> and exponent <math>\frac{6}{5}</math> is positive.
+
weil <math> 3>2</math> und der Exponent <math>\frac{6}{5}</math> positiv ist.
-
<li><math> 3^{1/3} </math>&nbsp; and &nbsp;<math> 2^{1/2}</math>
+
<li><math> 3^{1/3} </math>&nbsp; und &nbsp;<math> 2^{1/2}</math>
<br>
<br>
<br>
<br>
-
We rewrite the exponents so they have a common denominator
+
Wir schreiben die Exponenten mit gemeinsamen Nennern
-
{{Abgesetzte Formel||<math>\frac{1}{3} = \frac{2}{6} \quad</math> and <math>\quad \frac{1}{2} = \frac{3}{6}</math>.}}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>\frac{1}{3} = \frac{2}{6} \quad</math> und <math>\quad \frac{1}{2} = \frac{3}{6}</math>.}}
-
Then we have that
+
Dies ergibt
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align*}
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align*}
-
3^{1/3} &= 3^{2/6} = (3^2)^{1/6} = 9^{1/6}\\
+
3^{1/3} &= 3^{2/6} = (3^2)^{1/6} = 9^{1/6}\\
-
2^{1/2} &= 2^{3/6} = (2^3)^{1/6} = 8^{1/6}
+
2^{1/2} &= 2^{3/6} = (2^3)^{1/6} = 8^{1/6}
\end{align*}</math>}}
\end{align*}</math>}}
-
and we see that
+
Daher ist
{{Abgesetzte Formel||<math> 3^{1/3} > 2^{1/2} </math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math> 3^{1/3} > 2^{1/2} </math>}}
-
because <math> 9>8</math> and the exponent <math>1/6</math> is positive.</li>
+
weil <math> 9>8</math> und der Exponent <math>1/6</math> positiv ist.</li>
</ol>
</ol>
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[[1.3 Übungen|Übungen]]
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Noch Fragen zu diesem Kapitel? Dann schau nach im Kursforum (Du findest den Link in der Student Lounge) oder frag nach per Skype bei ombTutor <skype style="call" action="call">ombTutor</skype> <skype style="chat" action="chat">ombTutor</skype>
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Keine Fragen mehr? Dann mach weiter mit den '''[[1.3 Übungen|Übungen]]'''.
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<div class="inforuta" style="width:580px;">
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'''Study advice'''
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'''Tipps fürs Lernen'''
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'''Basic and final tests'''
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'''Diagnostische Prüfung und Schlussprüfung'''
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Nachdem Du fertig mit der Theorie bist, sollst Du die diagnostische Prüfung und die Schlussprüfung machen. Du findest die links zu den Prüfungen in Deiner "Student Lounge".
+
Nachdem Du mit der Theorie und den Übungen fertig bist, sollst Du die diagnostische Prüfung und die Schlussprüfung machen. Du findest die links zu den Prüfungen in Deiner "Student Lounge".
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'''Keep in mind that:'''
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'''Bedenke folgendes:'''
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The number raised to the power 0, is always 1, if the number (the base) is not 0.
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Eine Potenz bei der der Exponent 0 ist, ist immer 1, solange die Basis nicht 0 ist.
-
+
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'''Reviews'''
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'''Literaturhinweise'''
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For those of you who want to deepen your studies or need more detailed explanations consider the following references
+
Für die, die tiefer in die Materie einsteigen wollen, sind hier einige Links ang
 +
eführt:
-
[http://en.wikipedia.org/wiki/Exponent Learn more about powers in the English Wikipedi]
+
[http://de.wikipedia.org/wiki/Potenz_(Mathematik) Mehr über Potenzen in der Wikipedia]
-
[http://primes.utm.edu/ What is the greatest prime number? Read more at The Prime Page]
+
[http://primes.utm.edu/ Welche ist die größte Primzahl? Lies Mehr auf der Primzahlseite (engl.)]
-
'''Useful web sites'''
+
'''Nützliche Websites'''
-
[http://www.ltcconline.net/greenl/java/BasicAlgebra/ExponentRules/ExponentRules.html Here you can practise the laws of exponents]
+
[http://www.ltcconline.net/greenl/java/BasicAlgebra/ExponentRules/ExponentRules.html Hier kannst Du die Rechenregeln fü Potenzen üben (engl.)]
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Aktuelle Version

       Theorie          Übungen      

Inhalt:

  • Positive ganze Exponenten
  • Negative ganze Exponenten
  • Rationale Exponenten
  • Die Rechenregeln für Exponenten

Lernziele:

Nach diesem Abschnitt sollst Du ...

  • ... die Begriffe Basis und Exponent verstehen.
  • ... Potenzen mit ganzen Exponenten berechnen können.
  • ... die Rechenregeln für Exponenten beherrschen.
  • ... wissen, wann die Rechenregeln für Potenzen gültig sind (bei positiven Basen).
  • ... Potenzen der Größe nach vergleichen können (mit Hilfe der Größe des Exponenten/der Basis).


Die Lernziele sind Dir aus der Schule noch bestens vertraut und Du weisst ganz genau, wie man die zugehörigen Rechnungen ausführt? Dann kannst Du auch gleich mit den Prüfungen beginnen (Du findest den Link in der Student Lounge).


A - Ganze Exponenten

Die Multiplikation ist eine Kurzschreibweise das wiederholte Addieren, zum Beispiel,

\displaystyle 4 + 4 + 4 + 4 + 4 = 4 \cdot 5\mbox{.}

Analog definiert man eine Potenz als eine wiederholte Multiplikation mit derselben Zahl:

\displaystyle 4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 4 = 4^5\mbox{.}

Die Zahl 4 wird als Basis bezeichnet, und die 5 wird als Exponent bezeichnet.

Beispiel 1

  1. \displaystyle 5^3 = 5 \cdot 5 \cdot 5 = 125
  2. \displaystyle 10^5 = 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 = 100 000
  3. \displaystyle 0{,}1^3 = 0{,}1 \cdot 0{,}1 \cdot 0{,}1 = 0{,}001
  4. \displaystyle (-2)^4 = (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) \cdot (-2)= 16, aber \displaystyle -2^4 = -(2^4) = - (2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2) = -16
  5. \displaystyle 2\cdot 3^2 = 2 \cdot 3 \cdot 3 = 18, aber \displaystyle (2\cdot3)^2 = 6^2 = 36

Beispiel 2

  1. \displaystyle \left(\displaystyle\frac{2}{3}\right)^3 = \displaystyle\frac{2}{3}\cdot \displaystyle\frac{2}{3} \cdot \displaystyle\frac{2}{3} = \displaystyle\frac{2^3}{3^3} = \displaystyle\frac{8}{27}
  2. \displaystyle (2\cdot 3)^4 = (2\cdot 3)\cdot(2\cdot 3)\cdot(2\cdot 3)\cdot(2\cdot 3)
    \displaystyle \phantom{(2\cdot 3)^4}{} = 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 3\cdot 3\cdot 3\cdot 3 = 2^4 \cdot 3^4 = 1296

Das letzte Beispiel kann durch zwei sehr nützliche Rechenregeln verallgemeinert werden:

\displaystyle \left(\displaystyle\frac{a}{b}\right)^m = \displaystyle\frac{a^m}{b^m} \quad \mbox{und}\quad (ab)^m = a^m b^m\,\mbox{.}

für \displaystyle a,b \in \Bbb{R} \setminus \{0\} und \displaystyle m \in \, \Bbb{N}.

B - Rechenregeln für Potenzen

Weiter können noch einige Rechenregeln für Potenzen hergeleitet werden. Zum Beispiel sieht man, dass

\displaystyle 2^3 \cdot 2^5 = \underbrace{\,2\cdot 2\cdot 2\vphantom{{}_{\scriptscriptstyle 1}}\,}_{ 3\ {\rm Faktoren }} \cdot \underbrace{\,2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\vphantom{{}_{\scriptscriptstyle 1}}\,}_{ 5\ {\rm Faktoren }} = \underbrace{\,2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\vphantom{{}_{\scriptscriptstyle 1}}\,}_{ (3 + 5)\ {\rm Faktoren}} = 2^{3+5} = 2^8

Was durch folgende Regel für \displaystyle a \in \Bbb{R} und \displaystyle m,n \in \Bbb{N} verallgemeinert werden kann

\displaystyle a^m \cdot a^n = a^{m+n}\mbox{.}

Bei der Division mit Potenzen mit derselben Basis gilt folgendes

\displaystyle \frac{2^7}{2^3}=\displaystyle\frac{ 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot \not{2}\cdot \not{2}\cdot \not{2} }{ \not{2}\cdot \not{2}\cdot \not{2}} = 2^{7-3}=2^4\mbox{.}

Was durch folgende Regel für \displaystyle a \in \Bbb{R} und \displaystyle m,n \in \Bbb{N} verallgemeinert werden kann

\displaystyle \displaystyle\frac{a^m}{a^n}= a^{m-n}\mbox{.}

Wenn die Basis selbst ein Exponent ist, gibt es eine wichtige Rechenregel. Zum Beispiel ist

\displaystyle (5^2)^3 = 5^2 \cdot 5^2 \cdot 5^2 = \underbrace{\,5\cdot 5\vphantom{{}_{\scriptscriptstyle 1}}\,}_{ 2\ {\rm Faktoren}} \cdot \underbrace{\,5\cdot 5\vphantom{{}_{\scriptscriptstyle 1}}\,}_{ 2\ {\rm Faktoren}} \cdot \underbrace{\,5\cdot 5\vphantom{{}_{\scriptscriptstyle 1}}\,}_{2\ {\rm Faktoren}} = \underbrace{\,5\cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5\vphantom{{}_{\scriptscriptstyle 1}}\,}_{3\ {\rm mal}\ 2\ {\rm Faktoren}} = 5^{2 \cdot 3} = 5^6\mbox{}

und

\displaystyle (5^3)^2 = 5^3\cdot5^3= \underbrace{\,5\cdot 5 \cdot 5\vphantom{{}_{\scriptscriptstyle 1}}\,}_{3\ {\rm Faktoren}} \cdot \underbrace{\,5\cdot 5 \cdot 5\vphantom{{}_{\scriptscriptstyle 1}}\,}_{3\ {\rm Faktoren}} = \underbrace{\,5\cdot 5 \cdot 5\,\cdot\,5\cdot 5 \cdot 5\vphantom{{}_{\scriptscriptstyle 1}}\,}_{2\ {\rm mal}\ 3\ {\rm Faktoren}}=5^{3\cdot2}=5^6\mbox{.}


Dies kann durch folgende Rechenregel für \displaystyle a \in \Bbb{R} und \displaystyle m,n \in \Bbb{N} verallgemeinert werden

\displaystyle (a^m)^n = a^{m \cdot n}\mbox{.}

Beispiel 3

  1. \displaystyle 2^9 \cdot 2^{14} = 2^{9+14} = 2^{23}
  2. \displaystyle 5\cdot5^3 = 5^1\cdot5^3 = 5^{1+3} = 5^4
  3. \displaystyle 3^2 \cdot 3^3 \cdot 3^4 = 3^{2+3+4} = 3^9
  4. \displaystyle 10^5 \cdot 1000 = 10^5 \cdot 10^3 = 10^{5+3} = 10^8

Beispiel 4

  1. \displaystyle \frac{3^{100}}{3^{98}} = 3^{100-98} = 3^2
  2. \displaystyle \frac{7^{10}}{7} = \frac{7^{10}}{7^1} = 7^{10-1} = 7^9


Wenn ein Bruch denselben Zähler und Nenner hat, geschieht folgendes:

\displaystyle \frac{5^3}{5^3} = 5^{3-3} = 5^0\quad\text{sowie}\quad \frac{5^3}{5^3} = \frac{ 5 \cdot 5 \cdot 5 }{ 5 \cdot 5 \cdot 5 } = \frac{125}{125} = 1\mbox{.}


Damit die Rechenregeln für Potenzen gültig sein sollen, definiert man, dass für alle \displaystyle a \ne 0


\displaystyle a^0 = 1\mbox{.}

Es kann auch vorkommen, dass der Exponent im Nenner größer ist als der Exponent im Zähler. Zum Beispiel:

\displaystyle \frac{3^4}{3^6} = 3^{4-6} = 3^{-2}\quad\text{und}\quad \frac{3^4}{3^6} = \frac{\not{3} \cdot \not{3} \cdot \not{3} \cdot \not{3} }{ \not{3} \cdot \not{3} \cdot \not{3} \cdot \not{3} \cdot 3 \cdot 3} = \frac{1}{3 \cdot 3} = \frac{1}{3^2}\mbox{.}

Dies muss bedeuten dass

\displaystyle 3^{-2} = \frac{1}{3^2}\mbox{.}

Die allgemeine Definition von negativen Exponenten lautet für alle \displaystyle a \ne 0

\displaystyle a^{-n} = \frac{1}{a^n}\mbox{.}


Beispiel 5

  1. \displaystyle \frac{7^{1293}}{7^{1293}} = 7^{1293 - 1293} = 7^0 = 1
  2. \displaystyle 3^7 \cdot 3^{-9} \cdot 3^4 = 3^{7+(-9)+4} = 3^2
  3. \displaystyle 0{,}001 = \frac{1}{1000} = \frac{1}{10^3} = 10^{-3}
  4. \displaystyle 0{,}008 = \frac{8}{1000} = \frac{1}{125} = \frac{1}{5^3} = 5^{-3}
  5. \displaystyle \left(\frac{2}{3}\right)^{-1} = \frac{1}{\displaystyle\left(\frac{2}{3}\right)^1} = 1\cdot \frac{3}{2} = \frac{3}{2}
  6. \displaystyle \left(\frac{1}{3^2}\right)^{-3} = (3^{-2})^{-3} = 3^{(-2)\cdot(-3)}=3^6
  7. \displaystyle 0,01^5 = (10^{-2})^5 = 10^{-2 \cdot 5} = 10^{-10}

Wenn die Basis einer Potenz \displaystyle -1 ist, ist der Ausdruck entweder \displaystyle -1 oder \displaystyle +1 je nach Exponent.

\displaystyle \eqalign{(-1)^1 &= -1\cr (-1)^2 &= (-1)\cdot(-1) = +1\cr (-1)^3 &= (-1)\cdot(-1)^2 = (-1)\cdot 1 = -1\cr (-1)^4 &= (-1)\cdot(-1)^3 = (-1)\cdot (-1) = +1\cr \quad\hbox{etc.}}

Die allgemeine Rechenregel ist, dass \displaystyle (-1)^n gleich \displaystyle -1 ist, wenn \displaystyle n ungerade ist, und \displaystyle +1, wenn \displaystyle n gerade ist.


Beispiel 6

  1. \displaystyle (-1)^{56} = 1\quad weil \displaystyle 56 gerade ist
  2. \displaystyle \frac{1}{(-1)^{11}} = \frac{1}{-1} = -1\quad weil 11 ungerade ist
  3. \displaystyle \frac{(-2)^{127}}{2^{130}} = \frac{(-1 \cdot 2)^{127}}{2^{130}} = \frac{(-1)^{127} \cdot 2^{127}}{2^{130}} = \frac{-1 \cdot 2^{127}}{2^{130}} = - 2^{127-130} = -2^{-3} = - \frac{1}{2^3} = - \frac{1}{8}

C - Basis wechseln

Beim Vereinfachen von Ausdrücken, geht es oft darum, Zahlen als Potenzen mit derselben Basis zu schreiben. Häufige Basen sind 2, 3, 4 und 5, und daher sollte man Potenzen von diesen Basen zu erkennen lernen. Zum Beispiel:

\displaystyle 4=2^2,\;\; 8=2^3,\;\; 16=2^4,\;\; 32=2^5,\;\; 64=2^6,\;\; 128=2^7,\;\ldots
\displaystyle 9=3^2,\;\; 27=3^3,\;\; 81=3^4,\;\; 243=3^5,\;\ldots
\displaystyle 25=5^2,\;\; 125=5^3,\;\; 625=5^4,\;\ldots

Und auch

\displaystyle \frac{1}{4}=\frac{1}{2^2} = 2^{-2},\;\; \frac{1}{8}=\frac{1}{2^3}=2^{-3},\;\; \frac{1}{16}=\frac{1}{2^4}=2^{-4},\;\ldots
\displaystyle \frac{1}{9}=\frac{1}{3^2}=3^{-2},\;\; \frac{1}{27}=\frac{1}{3^3}=3^{-3},\;\ldots
\displaystyle \frac{1}{25}=\frac{1}{5^2}=5^{-2},\;\; \frac{1}{125}=\frac{1}{5^3}=5^{-3},\;\ldots

Usw.

Beispiel 7

  1. Schreibe \displaystyle \ 8^3 \cdot 4^{-2} \cdot 16\ als eine Potenz mit der Basis 2.

    \displaystyle 8^3 \cdot 4^{-2} \cdot 16 = (2^3)^3 \cdot (2^2)^{-2} \cdot 2^4 = 2^{3 \cdot 3} \cdot 2^{2 \cdot (-2)} \cdot 2^4
    \displaystyle \qquad\quad{}= 2^9 \cdot 2^{-4} \cdot 2^4 = 2^{9-4+4} =2^9
  2. Schreibe \displaystyle \ \frac{27^2 \cdot (1/9)^{-2}}{81^2}\ als eine Potenz mit der Basis 3.

    \displaystyle \frac{27^2 \cdot (1/9)^{-2}}{81^2} = \frac{(3^3)^2 \cdot (1/3^2)^{-2}}{(3^4)^2} = \frac{(3^3)^2 \cdot (3^{-2})^{-2}}{(3^4)^2}
    \displaystyle \qquad\quad{} = \frac{3^{3 \cdot 2} \cdot 3^{(-2) \cdot (-2)}}{3^{4 \cdot 2}} = \frac{3^6\cdot 3^4}{3^8} = \frac{3^{6 + 4}}{3^8}= \frac{3^{10}}{3^8} = 3^{10-8}= 3^2
  3. Vereinfache \displaystyle \frac{81 \cdot 32^2 \cdot (2/3)^2}{2^5+2^4} so weit wie möglich.

    \displaystyle \frac{81 \cdot 32^2 \cdot (2/3)^2}{2^5+2^4} = \frac{3^4 \cdot (2^5)^2 \cdot \displaystyle\frac{2^2}{3^2}}{2^{4+1}+2^4} = \frac{3^4 \cdot 2^{5 \cdot 2} \cdot \displaystyle\frac{2^2}{3^2}}{2^4 \cdot 2^1 +2^4} = \frac{3^4 \cdot 2^{10} \cdot \displaystyle\frac{2^2}{3^2}}{2^4 \cdot(2^1+1)}
    \displaystyle \qquad\quad{} = \frac{ \displaystyle\frac{3^4 \cdot 2^{10} \cdot 2^2}{3^2}}{2^4 \cdot 3} = \frac{ 3^4 \cdot 2^{10} \cdot 2^2 }{3^2 \cdot 2^4 \cdot 3 } = 3^{4-2-1} \cdot 2^{10+2-4} = 3^1 \cdot 2^8= 3\cdot 2^8


D - Rationale Exponenten

Was geschieht, wenn der Exponent eine rationale Zahl ist? Werden die bisher genannten Definitionen und Rechenregeln auch gültig sein?

Da zum Beispiel

\displaystyle 2^{1/2} \cdot 2^{1/2} = 2^{1/2 + 1/2} = 2^1 = 2

muss \displaystyle 2^{1/2} dasselbe wie \displaystyle \sqrt{2} sein, weil \displaystyle \sqrt2 definiert wird als die Zahl die \displaystyle \sqrt2\cdot\sqrt2 = 2 erfüllt. 

Generell definiert man

\displaystyle a^{1/2} = \sqrt{a}\mbox{.}

Wir müssen annehmen, dass \displaystyle a \ge 0, nachdem keine reelle Zahl mit sich selbst multipliziert eine negative Zahl ergibt.

Wie haben aber zum Beispiel auch

\displaystyle 5^{1/3} \cdot 5^{1/3} \cdot 5^{1/3} = 5^{1/3 + 1/3 +1/3} = 5^1 = 5

Was bedeuten muss, dass \displaystyle \,5^{1/3} = \sqrt[\scriptstyle3]{5}\mbox{,}\, was durch folgende Rechenregel für \displaystyle a \ge 0 und \displaystyle n \in N verallgemeinert werden kann

\displaystyle a^{1/n} = \sqrt[\scriptstyle n]{a}\mbox{.}

Indem man diese Regel mit der Regel \displaystyle ((a^m)^n=a^{m\cdot n}) kombiniert, sieht man, dass für alle \displaystyle a\ge0 folgendes gilt

\displaystyle a^{m/n} = (a^m)^{1/n} = \sqrt[\scriptstyle n]{a^m}

oder

\displaystyle a^{m/n} = (a^{1/n})^m = (\sqrt[\scriptstyle n]{a}\,)^m\mbox{.}

Beispiel 8

  1. \displaystyle 27^{1/3} = \sqrt[\scriptstyle 3]{27} = 3\quad ,da \displaystyle 3 \cdot 3 \cdot 3 =27
  2. \displaystyle 1000^{-1/3} = \frac{1}{1000^{1/3}} = \frac{1}{(10^3)^{1/3}} = \frac{1}{10^{3 \cdot \frac{1}{3}}} = \frac{1}{10^1} = \frac{1}{10}
  3. \displaystyle \frac{1}{\sqrt{8}} = \frac{1}{8^{1/2}} = \frac{1}{(2^3)^{1/2}} = \frac{1}{2^{3/2}} = 2^{-3/2}
  4. \displaystyle \frac{1}{16^{-1/3}} = \frac{1}{(2^4)^{-1/3}} = \frac{1}{2^{-4/3}} = 2^{-(-4/3)}= 2^{4/3}

E - Potenzen vergleichen

Wenn man Potenzen ohne Taschenrechner vergleichen möchte, kann man dies durch das vergleichen von Basis oder Exponent machen.

Wenn die Basis größer als 1 ist, wird die Potenz größer, je größer der Exponent wird. Wenn die Basis kleiner als 1, aber größer als 0 ist, gilt das Umgekehrte. Die Potenz wird kleiner, je größer der Exponent wird.

Beispiel 9

  1. \displaystyle \quad 3^{5/6} > 3^{3/4}\quad weil die Basis \displaystyle 3 größer als \displaystyle 1 und der erste Exponent \displaystyle 5/6 größer als der zweite Exponent \displaystyle 3/4 ist.
  2. \displaystyle \quad 3^{-3/4} > 3^{-5/6}\quad weil die Basis größer als \displaystyle 1 ist und für die Exponenten gilt, dass \displaystyle -3/4 > - 5/6.
  3. \displaystyle \quad 0{,}3^5 < 0{,}3^4 \quad da die Basis \displaystyle 0{,}3 zwischen \displaystyle 0 und \displaystyle 1 ist, und \displaystyle 5 > 4.

Wenn eine Potenz einen positiven Exponenten hat, wird die Potenz größer, je größer die Basis wird. Das Umgekehrte gilt für negative Exponenten; je größer die Basis, desto kleiner wird die Potenz.

Beispiel 10

  1. \displaystyle \quad 5^{3/2} > 4^{3/2}\quad weil die Basis \displaystyle 5 größer als die Basis \displaystyle 4 ist und beide Potenzen denselben positiven Exponenten \displaystyle 3/2 haben.
  2. \displaystyle \quad 2^{-5/3} > 3^{-5/3}\quad weil für die Basen gilt, dass \displaystyle 2<3, und die Potenzen den negativen Exponenten \displaystyle -5/3 haben.

In manchen Fällen muss man die Potenzen zuerst umschreiben, bevor man sie vergleichen kann. Um zum Beispiel \displaystyle 125^2 mit \displaystyle 36^3 zu vergleichen, kann man die Potenzen umschreiben:

\displaystyle

125^2 = (5^3)^2 = 5^6\quad \text{und}\quad 36^3 = (6^2)^3 = 6^6

womit man sieht, dass \displaystyle 36^3 > 125^2.

Beispiel 11

Bestimme welche Zahl von folgenden Zahlenpaaren die größere ist.

  1. \displaystyle 25^{1/3}   und  \displaystyle 5^{3/4} .

    Die Basis 25 kann durch Umschreiben zur Basis 5 geschrieben werden: \displaystyle 25= 5\cdot 5= 5^2. Deshalb ist
    \displaystyle 25^{1/3} = (5^2)^{1/3} = 5^{2 \cdot \frac{1}{3}}= 5^{2/3}

    Daher ist

    \displaystyle 5^{3/4} > 25^{1/3}
    weil \displaystyle \frac{3}{4} > \frac{2}{3} und die Basis \displaystyle 5 größer als \displaystyle 1 ist.
  2. \displaystyle (\sqrt{8}\,)^5   und \displaystyle 128.

    \displaystyle 8 und \displaystyle 128 können beide mit der Basis \displaystyle 2 geschrieben werden
    \displaystyle \eqalign{8 &= 2\cdot 4 = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^3\mbox{,}\\ 128 &= 2\cdot 64 = 2\cdot 2\cdot 32 = 2\cdot 2\cdot 2\cdot 16 = 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 8\\ &= 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2^3 = 2^7\mbox{.}}

    Dies bedeutet, dass

    \displaystyle \begin{align*}

    (\sqrt{8}\,)^5 &= (8^{1/2})^5 = (8)^{5/2} = (2^3)^{5/2} = 2^{3\cdot\frac{5}{2}}= 2^{15/2}\\ 128 &= 2^7 = 2^{14/2} \end{align*}

    Daher ist

    \displaystyle (\sqrt{8}\,)^5 > 128
    weil \displaystyle \frac{15}{2} > \frac{14}{2} und die Basis \displaystyle 2 größer als \displaystyle 1 ist.
  3. \displaystyle (8^2)^{1/5} und \displaystyle (\sqrt{27}\,)^{4/5}.

    Wegen \displaystyle 8=2^3 und \displaystyle 27=3^3, können die Basen als Exponenten von \displaystyle 2 bzw. \displaystyle 3 geschrieben werden.
    \displaystyle \begin{align*}

    (8^2)^{1/5} &= (8)^{2/5} = (2^3)^{2/5} = 2^{3\cdot \frac{2}{5}} = 2^{6/5}\mbox{,}\\ (\sqrt{27}\,)^{4/5} &= (27^{1/2})^{4/5} = 27^{ \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{5}} = 27^{2/5} = (3^3)^{2/5} = 3^{3 \cdot \frac{2}{5}} = 3^{6/5}\mbox{.} \end{align*}

    Jetzt sieht man, dass

    \displaystyle (\sqrt{27}\,)^{4/5} > (8^2)^{1/5}

    weil \displaystyle 3>2 und der Exponent \displaystyle \frac{6}{5} positiv ist.

  4. \displaystyle 3^{1/3}   und  \displaystyle 2^{1/2}

    Wir schreiben die Exponenten mit gemeinsamen Nennern
    \displaystyle \frac{1}{3} = \frac{2}{6} \quad und \displaystyle \quad \frac{1}{2} = \frac{3}{6}.

    Dies ergibt

    \displaystyle \begin{align*}

    3^{1/3} &= 3^{2/6} = (3^2)^{1/6} = 9^{1/6}\\ 2^{1/2} &= 2^{3/6} = (2^3)^{1/6} = 8^{1/6} \end{align*}

    Daher ist

    \displaystyle 3^{1/3} > 2^{1/2}
    weil \displaystyle 9>8 und der Exponent \displaystyle 1/6 positiv ist.


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Tipps fürs Lernen

Diagnostische Prüfung und Schlussprüfung

Nachdem Du mit der Theorie und den Übungen fertig bist, sollst Du die diagnostische Prüfung und die Schlussprüfung machen. Du findest die links zu den Prüfungen in Deiner "Student Lounge".


Bedenke folgendes:

Eine Potenz bei der der Exponent 0 ist, ist immer 1, solange die Basis nicht 0 ist.

Literaturhinweise

Für die, die tiefer in die Materie einsteigen wollen, sind hier einige Links ang eführt:

Mehr über Potenzen in der Wikipedia

Welche ist die größte Primzahl? Lies Mehr auf der Primzahlseite (engl.)


Nützliche Websites

Hier kannst Du die Rechenregeln fü Potenzen üben (engl.)

Von „http://wiki.sommarmatte.se/wikis/2009/bridgecourse1-TU-Berlin/index.php/1.3_Potenzen“