1.2 Brüche

Aus Online Mathematik Brückenkurs 1

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{{Gewählter Tab|[[1.2 Fractional arithmetic|Theorie]]}}
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{{Gewählter Tab|[[1.2 Brüche|Theorie]]}}
{{Nicht gewählter Tab|[[1.2 Übungen|Übungen]]}}
{{Nicht gewählter Tab|[[1.2 Übungen|Übungen]]}}
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{{Info|
{{Info|
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'''Contents:'''
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'''Inhalt:'''
* Addition und Subtraktion von Brüchen
* Addition und Subtraktion von Brüchen
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{{Info|
{{Info|
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'''Learning outcomes:'''
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'''Lernziele:'''
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After this section, you should have learned to:
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Nach diesem Abschnitt solltest Du ...
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* Ausdrücke bestehend aus Brüchen, den vier Grundrechnungsarten und Klammern berechnen.
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* ... Ausdrücke bestehend aus Brüchen, den vier Grundrechnungsarten und Klammern berechnen können.
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* Brüche so weit wie möglich kürzen.
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* ... Brüche so weit wie möglich kürzen können.
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* Den kleinsten gemeinsamen Nenner einer Bruchzahl zu bestimmen.
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* ... den Hauptnenner von Brüchen bestimmen können.
}}
}}
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== Brüche kürzen und erweitern ==
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Die Lernziele sind Dir aus der Schule noch bestens vertraut und Du weisst ganz genau, wie man die zugehörigen Rechnungen ausführt? Dann kannst Du auch gleich mit den <b>Prüfungen</b> beginnen (Du findest den Link in der Student Lounge).
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== A - Brüche kürzen und erweitern ==
Eine rationale Zahl kann in mehreren äquivalenten Formen dargestellt werden, je nach der Wahl des Zählers und Nenners. Zum Beispiel:
Eine rationale Zahl kann in mehreren äquivalenten Formen dargestellt werden, je nach der Wahl des Zählers und Nenners. Zum Beispiel:
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{{Abgesetzte Formel||<math>0{,}25 = \frac{25}{100} = \frac{1}{4} = \frac{2}{8} = \frac{3}{12} = \frac{4}{16}\quad\textrm{etc.}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>0{,}25 = \frac{25}{100} = \frac{1}{4} = \frac{2}{8} = \frac{3}{12} = \frac{4}{16}\quad\textrm{etc.}</math>}}
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Ein Bruch ändert also nicht sein Wert, indem man den Zähler und den Nenner jeweils mit der gleichen Zahl multipliziert oder dividiert. Dies Nennt man erweitern und kürzen.
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Ein Bruch ändert also nicht seinen Wert, wenn man den Zähler und den Nenner jeweils mit der gleichen Zahl multipliziert oder durch die gleiche Zahl teilt. Diesen Vorgang nennt man erweitern bzw. kürzen.
<div class="exempel">
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<li><math>\frac{5}{7} = \frac{5\cdot 4}{7\cdot 4} = \frac{20}{28}</math></li>
<li><math>\frac{5}{7} = \frac{5\cdot 4}{7\cdot 4} = \frac{20}{28}</math></li>
</ol>
</ol>
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Division mit derselben Zahl:
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Division durch dieselbe Zahl:
<ol type="a" start="3">
<ol type="a" start="3">
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</div>
</div>
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Ein Bruch sollte immer so weit wie möglich gekürzt werden. Dies kann bei großen Zahlen schwierig werden. Deshalb sollte man die Brüche so kurz wie möglich schreiben in den Berechnungen.
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Ein Bruch sollte immer so weit wie möglich gekürzt werden. Dies kann bei großen Zahlen schwierig werden. Deshalb sollte man die Brüche so kurz wie möglich in den Rechnungen schreiben.
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== Addition und Subtraktion von Brüchen ==
+
== B - Addition und Subtraktion von Brüchen ==
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Um Brüche addieren und subtrahieren zu können, müssen alle Brüche denselben Nenner haben. Wenn so nicht der Fall ist, muss man zuerst die Brüche mit einer angemessenen Zahl erweitern, sodass sie denselben Nenner bekommen.
+
Um Brüche addieren und subtrahieren zu können, müssen alle Brüche denselben Nenner haben. Wenn das nicht der Fall ist, muss man zuerst die Brüche mit einer geeigneten Zahl erweitern, sodass sie denselben Nenner bekommen.
<div class="exempel">
<div class="exempel">
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</div>
</div>
-
Das wichtigste hier ist einen gemeinsamen Nenner zu finden. Ideal ist aber den kleinsten gemeinsamen Nenner zu finden. Einen gemeinsamen Nenner findet man einfach, indem man alle Brüche mit den Nennern der anderen Brüchen erweitert. Dies ist aber nicht immer notwendig.
+
Das Wichtigste hier ist, einen gemeinsamen Nenner zu finden. Einen gemeinsamen Nenner findet man einfach, indem man alle Brüche mit den Nennern der anderen Brüche erweitert. Oft erhält man dadurch aber sehr große Zahlen, die das Weiterrechnen erschweren. Daher ist es ideal, den ''kleinstmöglichen'' gemeinsamen Nenner, den sogenannten Hauptnenner, zu finden.
 +
Der Hauptnenner zweier oder mehrerer Brüche ist das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV) der Nenner der einzelnen Brüche.
<div class="exempel">
<div class="exempel">
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</div>
</div>
-
Man sollte die Bruchrechnung so gut beherrschen, dass man direkt den kleinsten gemeinsamen Nenner von nicht all zu großen Brüchen findet. Eine generelle Methode um den kleinsten gemeinsamen Nenner zu finden, besteht daraus dass man die Nenner in ihre Primfaktoren zerlegt.
+
Man sollte die Bruchrechnung so gut beherrschen, dass man direkt den Hauptnenner von nicht all zu großen Brüchen findet. Eine allgemeine Methode um den Hauptnenner zu finden, besteht darin, dass man die Nenner in ihre Primfaktoren zerlegt.
<div class="exempel">
<div class="exempel">
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<ol type="a">
<ol type="a">
<li>Vereinfache <math>\ \frac{1}{60} + \frac{1}{42}</math>.<br/><br/>
<li>Vereinfache <math>\ \frac{1}{60} + \frac{1}{42}</math>.<br/><br/>
-
Wir zerlegen die Nenner zuerst in ihre Primfaktoren. Statt dass wir jetzt beide Brüche mit den ganzen Nenner des anderen Bruches erweitern, erweitern wir die Brüche nur mit den Primfaktoren die nicht in beiden Nennern vorkommen. Dies ist der kleinste gemeinsame Nenner.
+
Wir zerlegen die Nenner zuerst in ihre Primfaktoren.
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{{Abgesetzte Formel||<math>\left.\eqalign{60 &= 2\cdot 2\cdot 3\cdot 5\cr 42 &= 2\cdot 3\cdot 7}\right\} \quad\Rightarrow\quad \text{LCD} = 2\cdot 2\cdot 3\cdot 5\cdot 7 = 420\,\mbox{.}</math>}}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>\eqalign{60 &= 2\cdot &2\cdot &3\cdot &5& \cr 42 &= &2\cdot &3\cdot &&7}</math>}}
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Also haben wir
+
Das kgV der beiden Nenner ist das Produkt aus allen Primfaktoren, die in einer der beiden Zerlegungen vorkommen. Gleiche Primfaktoren werden dabei so oft verwendet, wie in der Zerlegung, in der sie am häufigsten vorkommen:
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{{Abgesetzte Formel||<math>\text{kgV}(60,42) = 2\cdot 2\cdot 3\cdot 5\cdot 7 = 420\,\mbox{.}</math>}}
 +
Anstatt nun jeden Bruch mit dem gesamten Nenner des anderen Bruches zu erweitern, erweitern wir die Brüche nur mit den Primfaktoren, die dem jeweiligen Nenner noch zum kgV fehlen und bringen sie so auf den Hauptnenner. Danach könne wir einfach addieren:
{{Abgesetzte Formel||<math>\frac{1}{60}+\frac{1}{42} = \frac{1\cdot 7}{60\cdot 7} + \frac{1\cdot 2\cdot 5}{42\cdot 2\cdot 5} = \frac{7}{420} + \frac{10}{420} =\frac{17}{420}\,\mbox{.}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>\frac{1}{60}+\frac{1}{42} = \frac{1\cdot 7}{60\cdot 7} + \frac{1\cdot 2\cdot 5}{42\cdot 2\cdot 5} = \frac{7}{420} + \frac{10}{420} =\frac{17}{420}\,\mbox{.}</math>}}
</li>
</li>
<li> Vereinfache <math>\ \frac{2}{15}+\frac{1}{6}-\frac{5}{18}</math>.<br/><br/>
<li> Vereinfache <math>\ \frac{2}{15}+\frac{1}{6}-\frac{5}{18}</math>.<br/><br/>
-
 
+
Bestimmung des kgV der drei Nenner:
-
Wir multiplizieren alle Primfaktoren des Nenners die nicht in allen Nennern vorkommen, und erhalten dadurch den kleinsten gemeinsamen Nenner.
+
{{Abgesetzte Formel||<math>\eqalign{15 &= &3\cdot &&5\cr 6&=2\cdot &3\cr 18 &= 2\cdot &3\cdot &3} </math>}}
-
{{Abgesetzte Formel||<math>\left. \eqalign{15 &= 3\cdot 5\cr 6&=2\cdot 3\cr 18 &= 2\cdot 3\cdot 3} \right\} \quad\Rightarrow\quad \text{LCD} = 2\cdot 3\cdot 3\cdot5 = 90\,\mbox{.}</math>}}
+
haben das kgV
 +
{{Abgesetzte Formel||<math>
 +
\text{kgV}(15, 6, 18) = 2\cdot 3\cdot 3\cdot5 = 90\,\mbox{.}</math>}}
Also haben wir
Also haben wir
{{Abgesetzte Formel||<math> \frac{2}{15}+\frac{1}{6}-\frac{5}{18} = \frac{2\cdot 2\cdot 3}{15\cdot 2\cdot 3} + \frac{1\cdot 3\cdot 5}{6\cdot 3\cdot 5} - \frac{5\cdot 5}{18\cdot 5} = \frac{12}{90} + \frac{15}{90} - \frac{25}{90} = \frac{2}{90} = \frac{1}{45}\,\mbox{.}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math> \frac{2}{15}+\frac{1}{6}-\frac{5}{18} = \frac{2\cdot 2\cdot 3}{15\cdot 2\cdot 3} + \frac{1\cdot 3\cdot 5}{6\cdot 3\cdot 5} - \frac{5\cdot 5}{18\cdot 5} = \frac{12}{90} + \frac{15}{90} - \frac{25}{90} = \frac{2}{90} = \frac{1}{45}\,\mbox{.}</math>}}
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</div>
</div>
 +
== C - Multiplikation ==
-
== Multiplikation ==
+
Wenn man einen Bruch mit einer ganzen Zahl multipliziert, wird nur der Zähler mit dieser Zahl multipliziert, während der Nenner unverändert bleibt. Es ist offensichtlich, dass zum Beispiel <math>\tfrac{1}{3}</math> mit 2 multipliziert <math>\tfrac{2}{3}</math> ergibt, also:
-
 
+
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Wenn man einen Bruch mit einer ganzen Zahl multipliziert, wird nur der Zähler mit dieser Zahl multipliziert, während der Nenner unverändert bleibt. Es ist offenbar dass zum Beispiel <math>\tfrac{1}{3}</math> multipliziert mit 2 <math>\tfrac{2}{3}</math> ergibt, also:
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{{Abgesetzte Formel||<math>\frac{1}{3}\cdot 2 = \frac{1\cdot 2}{3} = \frac{2}{3}\,\mbox{.}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>\frac{1}{3}\cdot 2 = \frac{1\cdot 2}{3} = \frac{2}{3}\,\mbox{.}</math>}}
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</div>
</div>
-
Bevor man Brüche multipliziert, sollte man kontrollieren ob man den Bruch kürzen kann. Dies kontrolliert man indem man die Brüche als einen gemeinsamen Bruch schreibt.
+
Bevor man Brüche multipliziert, sollte man kontrollieren, ob man den Bruch kürzen kann. Dies kontrolliert man, indem man die Brüche als einen gemeinsamen Bruch schreibt.
<div class="exempel">
<div class="exempel">
''' Beispiel 6'''
''' Beispiel 6'''
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</div>
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In 6b hat man den Bruch mit 3 einen Schritt vorher gekürzt als in 6a, aber beide Rechnungen ergeben dasselbe.
+
In 6b hat man den Bruch mit einen Schritt vorher 3 gekürzt als in 6a, aber beide Rechnungen ergeben dasselbe.
<div class="exempel">
<div class="exempel">
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== Division ==
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== D - Division ==
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Wenn man <math>\tfrac{1}{4}</math> in 2 teilt bekommt man <math>\tfrac{1}{8}</math>. Wenn man <math>\tfrac{1}{2}</math> in 5 teilt bekommt man <math>\tfrac{1}{10}</math>. Wir haben also:
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Wenn man <math>\tfrac{1}{4}</math> durch 2 teilt, bekommt man <math>\tfrac{1}{8}</math>. Wenn man <math>\tfrac{1}{2}</math> durch 5 teilt, bekommt man <math>\tfrac{1}{10}</math>. Wir haben also:
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{{Abgesetzte Formel||<math>\frac{\displaystyle \frac{1}{4}}{2} = \frac{1}{4\cdot 2} = \frac{1}{8} \qquad \mbox{ and } \qquad \frac{\displaystyle \frac{1}{2}}{5} = \frac{1}{2\cdot 5} = \frac{1}{10}\,\mbox{.}</math>}}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>\frac{\displaystyle \frac{1}{4}}{2} = \frac{1}{4\cdot 2} = \frac{1}{8} \qquad \mbox{ und } \qquad \frac{\displaystyle \frac{1}{2}}{5} = \frac{1}{2\cdot 5} = \frac{1}{10}\,\mbox{.}</math>}}
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Wenn ein Bruch mit eine ganzen Zahl dividiert wird, wird also der Nenner mit dieser Zahl multipliziert.
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Wenn ein Bruch durch eine ganze Zahl dividiert wird, wird also der Nenner mit dieser Zahl multipliziert.
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Wenn man eine ganze Zahl mit einen Bruch dividiert, wird die Zahl mit dem Kehrbruch des Bruches multipliziert. Zum Beispiel ist die Division durch <math>\frac{1}{2}</math> dasselbe wie eine multiplikation mit <math>\frac{2}{1}</math>, also 2.
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Wenn man eine ganze Zahl durch einen Bruch dividiert, wird die Zahl mit dem Kehrbruch des Bruches multipliziert. Zum Beispiel ist die Division durch <math>\frac{1}{2}</math> dasselbe wie eine Multiplikation mit <math>\frac{2}{1}</math>, also 2.
<div class="exempel">
<div class="exempel">
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</div>
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Wie kommt es sich dass eine Division mit Brüchen eine Multiplikation wird? Die Erklärung ist dass ein Bruch multipliziert mit seinen Kehrbruch, immer 1 ergibt. Zum Beispiel:
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Wie kommt es, dass eine Division mit Brüchen eine Multiplikation wird? Die Erklärung ist, dass ein Bruch multipliziert mit seinem Kehrbruch, immer 1 ergibt. Zum Beispiel:
{{Abgesetzte Formel||<math>\frac{2}{3}\cdot\frac{3}{2} = \frac{\not{2}}{\not{3}}\cdot\frac{\not{3}}{\not{2}} = 1 \qquad \mbox{ und } \qquad \frac{9}{17}\cdot\frac{17}{9} = \frac{\not{9}}{\not{17}}\cdot\frac{\not{17}}{\not{9}} = 1\mbox{.}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>\frac{2}{3}\cdot\frac{3}{2} = \frac{\not{2}}{\not{3}}\cdot\frac{\not{3}}{\not{2}} = 1 \qquad \mbox{ und } \qquad \frac{9}{17}\cdot\frac{17}{9} = \frac{\not{9}}{\not{17}}\cdot\frac{\not{17}}{\not{9}} = 1\mbox{.}</math>}}
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In einer Division von Brüchen, erweitert man den ganzen Bruch mit den Kehrbruch des Nennerbruches. Im Nenner bekommen wir daher nur einen 1:er.
+
Bei einer Division von Brüchen erweitert man den ganzen Bruch mit dem Kehrbruch des Nennerbruches. Im Nenner bekommen wir daher nur einen 1:er.
<div class="exempel">
<div class="exempel">
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== Brüche als Teil eines Ganzen ==
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== E - Brüche als Teil eines Ganzen ==
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Rationale Zahlen können als Dezimalzahlen oder auch als Brüche dargestellt werden. Im Alltag verwendet man oft die rationalen Zahlen, um das Verhältnis von verschiedenen Mengen zu beschreiben. Eine Berechnung von einem Verhältnis kann entweder zu einer Multiplikation oder zu einer Division führen.
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Rational numbers are numbers that we can write as fractions, convert to decimal form, or mark on a real-number axis. In our everyday language they are also used to describe the proportion of something. Below are given some examples. Note how we use the word "of", which can lead to a multiplication or a division.
+
<div class="exempel">
<div class="exempel">
'''Beispiel 11'''
'''Beispiel 11'''
<ol type="a">
<ol type="a">
-
<li>Jack invested 20 EUR and Jill 50 EUR. <br><br>
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<li>Florian investiert 20 € und Julia 50 €. Mit ihrer Investition erwirtschaften sie einen Gewinn. Wie soll der Gewinn gerecht aufgeteilt werden?<br><br>
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Jack´s share is &nbsp;<math>\frac{20}{50 + 20} = \frac{20}{70} = \frac{2}{7}</math>&nbsp; and he must be given &nbsp;<math>\frac{2}{7}</math> of the profits. .</li><br><br>
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Florians Anteil ist &nbsp;<math>\frac{20}{50 + 20} = \frac{20}{70} = \frac{2}{7}</math>&nbsp; und also sollte er &nbsp;<math>\frac{2}{7}</math> des Gewinns bekommen.</li><br><br>
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<li> What proportion is 45 EUR of 100 EUR? <br><br>
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<li> Was ist der Anteil von 45 € an 100 €? <br><br>
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'''Antwort:''' 45 EUR is &nbsp;<math>\frac{45}{100} = \frac{9}{20}</math>&nbsp;of 100 EUR. .</li><br><br>
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'''Antwort:''' 45 € ist &nbsp;<math>\frac{45}{100} = \frac{9}{20}</math>&nbsp;von 100 €. .</li><br><br>
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<li> What proportion is <math>\frac{1}{3}</math>litres of <math>\frac{1}{2}</math> litre? <br><br>
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<li> Was ist der Anteil von <math>\frac{1}{3}</math>Liter an <math>\frac{1}{2}</math> Liter? <br><br>
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'''Antwort:''' <math>\frac{1}{3}</math> litres is <math>\frac{\displaystyle \frac{1}{3}}{\displaystyle \frac{1}{2}} = \frac{1}{3}\cdot\frac{2}{1} = \frac{2}{3} </math>&nbsp; of &nbsp;<math>\frac{1}{2}</math> litres.</li><br><br>
+
'''Antwort:''' <math>\frac{1}{3}</math> Liter sind <math>\frac{\displaystyle \frac{1}{3}}{\displaystyle \frac{1}{2}} = \frac{1}{3}\cdot\frac{2}{1} = \frac{2}{3} </math>&nbsp; von &nbsp;<math>\frac{1}{2}</math> Liter.</li><br><br>
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<li>How much is &nbsp;<math>\frac{5}{8} </math>&nbsp; of 1000?<br><br>
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<li>Wie viel ist &nbsp;<math>\frac{5}{8} </math>&nbsp; von 1000?<br><br>
'''Antwort:''' <math>\frac{5}{8}\cdot 1000 = \frac{5000}{8} = 625</math></li><br><br>
'''Antwort:''' <math>\frac{5}{8}\cdot 1000 = \frac{5000}{8} = 625</math></li><br><br>
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<li> How much is &nbsp;<math>\frac{2}{3}</math>&nbsp; of &nbsp;<math>\frac{6}{7}</math> ?<br><br>
+
<li> Wie viel ist &nbsp;<math>\frac{2}{3}</math>&nbsp; von &nbsp;<math>\frac{6}{7}</math> ?<br><br>
'''Antwort:''' <math>\frac{2}{3}\cdot\frac{6}{7} = \frac{2}{\not{3}} \cdot \frac{2 \cdot \not{3}}{7} = \frac{2 \cdot 2}{7} = \frac{4}{7}</math></li>
'''Antwort:''' <math>\frac{2}{3}\cdot\frac{6}{7} = \frac{2}{\not{3}} \cdot \frac{2 \cdot \not{3}}{7} = \frac{2 \cdot 2}{7} = \frac{4}{7}</math></li>
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</div>
</div>
 +
== F - Gemischte Ausdrücke ==
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== Mixed expressions ==
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Wenn Brüche in größeren Ausdrücken vorkommen, ist es wichtig sich an die Operatorrangfolge zu erinnern. Wichtig ist auch, dass es um Zähler und Nenner in einem Bruch "unsichtbare Klammern" gibt. Also muss man den Zähler und Nenner zuerst berechnen, bevor man den Bruch kürzt.
-
 
+
-
When fractions appear in calculations one, of course, must follow the usual methods for arithmetic operations and their priority (multiplication / division before addition / subtraction). Remember also that the numerator and denominator in a division are calculated separately before the division is performed ( "invisible parentheses").
+
<div class="exempel">
<div class="exempel">
Zeile 318: Zeile 322:
</div>
</div>
-
[[1.2 Übungen|Übungen]]
 
 +
Noch Fragen zu diesem Kapitel? Dann schau nach im Kursforum (Du findest den Link in der Student Lounge) oder frag nach per Skype bei ombTutor <skype style="call" action="call">ombTutor</skype> <skype style="chat" action="chat">ombTutor</skype>
-
<div class="inforuta" style="width: 580px">
+
Keine weiteren Fragen mehr? Dann mach weiter mit den [[1.2 Übungen|'''Übungen''']].
-
'''Study advice'''
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'''Basic and final tests'''
 
-
After you have read the text and worked through the exercises, you should do the basic and final tests to pass this section. You can find the link to the tests in your student lounge.
+
<div class="inforuta" style="width: 580px">
 +
'''Tipps fürs Lernen'''
 +
 
 +
'''Diagnostische Prüfung und Schlussprüfung'''
 +
Nachdem Du mit der Theorie und den Übungen fertig bist, sollst Du die diagnostische Prüfung und die Schlussprüfung machen. Du findest die links zu den Prüfungen in Deiner "Student Lounge".
-
'''Keep in mind that: '''
 
-
Try always to write an expression in the simplest possible terms. What is the "simplest" depends usually on the context.
+
'''Bedenke folgendes: '''
-
It is important that you really master calculations with fractions. You should be able to find a common denominator, multiply or divide numerators and denominators by suitable numbers etc. These principles are basic when you have to calculate a rational expression that includes variables and you will need them when you have to deal with other mathematical expressions and operations.
+
Versuche Deine Berechnungen so einfach wie möglich zu halten. Was am einfachsten ist, ist verschieden von Fall zu Fall.
-
Rational expressions that contain variables (x, y, ...) and include fractions are very common when studying functions, especially increment ratios, limits and derivatives.
+
Es ist wichtig, die Rechnungen mit Brüchen gut zu beherrschen. Du solltest Bruchrechnungen sowie Divisionen, Multiplikation und Brüche mit gemeinsamen Nennern schreiben und ohne Probleme ausführen können. Bruchrechnungen kommen häufig in rationalen Funktionen vor, aber auch in Grenzwerten und Differentialrechnungen, und sind daher sehr elementar in der Mathematik.
-
'''Reviews'''
+
'''Literaturhinweise'''
-
For those of you who want to deepen your studies or need more detailed explanations consider the following references
+
Für die, die tiefer in die Materie einsteigen wollen, sind hier einige Links angeführt:
-
[http://en.wikipedia.org/wiki/Fraction_(mathematics)Learn more about the fractions and calculating with fractions in the English Wikipedia ]
+
[http://de.wikipedia.org/wiki/Bruchrechnung Mehr zur Bruchrechnung in der Wikipedia ]
-
'''Useful web sites'''
+
'''Nützliche Websites'''
-
[http://nlvm.usu.edu/en/nav/frames_asid_105_g_2_t_1.html Experimenting interactively with fractions ]
+
[http://nlvm.usu.edu/en/nav/frames_asid_105_g_2_t_1.html Interaktives Programm zu Brüchen (engl.)]
-
[http://www.math.kth.se/~gunnarj/BIENNALEN/fall4.html Play the prime number canon]
 
</div>
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Aktuelle Version

       Theorie          Übungen      

Inhalt:

  • Addition und Subtraktion von Brüchen
  • Multiplikation und Division von Brüchen

Lernziele:

Nach diesem Abschnitt solltest Du ...

  • ... Ausdrücke bestehend aus Brüchen, den vier Grundrechnungsarten und Klammern berechnen können.
  • ... Brüche so weit wie möglich kürzen können.
  • ... den Hauptnenner von Brüchen bestimmen können.


Die Lernziele sind Dir aus der Schule noch bestens vertraut und Du weisst ganz genau, wie man die zugehörigen Rechnungen ausführt? Dann kannst Du auch gleich mit den Prüfungen beginnen (Du findest den Link in der Student Lounge).

A - Brüche kürzen und erweitern

Eine rationale Zahl kann in mehreren äquivalenten Formen dargestellt werden, je nach der Wahl des Zählers und Nenners. Zum Beispiel:

\displaystyle 0{,}25 = \frac{25}{100} = \frac{1}{4} = \frac{2}{8} = \frac{3}{12} = \frac{4}{16}\quad\textrm{etc.}

Ein Bruch ändert also nicht seinen Wert, wenn man den Zähler und den Nenner jeweils mit der gleichen Zahl multipliziert oder durch die gleiche Zahl teilt. Diesen Vorgang nennt man erweitern bzw. kürzen.

Beispiel 1 Multiplikation mit derselben Zahl:

  1. \displaystyle \frac{2}{3} = \frac{2\cdot 5}{3\cdot 5} = \frac{10}{15}
  2. \displaystyle \frac{5}{7} = \frac{5\cdot 4}{7\cdot 4} = \frac{20}{28}

Division durch dieselbe Zahl:

  1. \displaystyle \frac{9}{12} = \frac{9/3}{12/3} = \frac{3}{4}
  2. \displaystyle \frac{72}{108} = \frac{72/2}{108/2} = \frac{36}{54} = \frac{36/6}{54/6} = \frac{6}{9} = \frac{6/3}{9/3} = \frac{2}{3}

Ein Bruch sollte immer so weit wie möglich gekürzt werden. Dies kann bei großen Zahlen schwierig werden. Deshalb sollte man die Brüche so kurz wie möglich in den Rechnungen schreiben.


B - Addition und Subtraktion von Brüchen

Um Brüche addieren und subtrahieren zu können, müssen alle Brüche denselben Nenner haben. Wenn das nicht der Fall ist, muss man zuerst die Brüche mit einer geeigneten Zahl erweitern, sodass sie denselben Nenner bekommen.

Beispiel 2

  1. \displaystyle \frac{3}{5}+\frac{2}{3} = \frac{3\cdot 3}{5\cdot 3} + \frac{2\cdot 5}{3\cdot 5} = \frac{9}{15} + \frac{10}{15} = \frac{9+10}{15} = \frac{19}{15}
  2. \displaystyle \frac{5}{6}-\frac{2}{9} = \frac{5\cdot 3}{6\cdot 3} - \frac{2\cdot 2}{9\cdot 2} = \frac{15}{18} - \frac{4}{18} = \frac{15-4}{18} = \frac{11}{18}

Das Wichtigste hier ist, einen gemeinsamen Nenner zu finden. Einen gemeinsamen Nenner findet man einfach, indem man alle Brüche mit den Nennern der anderen Brüche erweitert. Oft erhält man dadurch aber sehr große Zahlen, die das Weiterrechnen erschweren. Daher ist es ideal, den kleinstmöglichen gemeinsamen Nenner, den sogenannten Hauptnenner, zu finden.

Der Hauptnenner zweier oder mehrerer Brüche ist das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV) der Nenner der einzelnen Brüche.

Beispiel 3

  1. \displaystyle \frac{7}{15}-\frac{1}{12} = \frac{7\cdot 12}{15\cdot 12} - \frac{1\cdot 15}{12\cdot 15}\vphantom{\Biggl(}
    \displaystyle \insteadof{\displaystyle\frac{7}{15}-\frac{1}{12}}{}{} = \frac{84}{180}-\frac{15}{180} = \frac{69}{180} = \frac{69/3}{180/3} = \frac{23}{60}
  2. \displaystyle \frac{7}{15}-\frac{1}{12} = \frac{7\cdot 4}{15\cdot 4}- \frac{1\cdot 5}{12\cdot 5} = \frac{28}{60}-\frac{5}{60} = \frac{23}{60}
  3. \displaystyle \frac{1}{8}+\frac{3}{4}-\frac{1}{6} = \frac{1\cdot 4\cdot 6}{8\cdot 4\cdot 6} + \frac{3\cdot 8\cdot 6}{4\cdot 8\cdot 6} - \frac{1\cdot 8\cdot 4}{6\cdot 8\cdot 4}\vphantom{\Biggl(}
    \displaystyle \insteadof{\frac{1}{8}+\frac{3}{4}-\frac{1}{6}}{}{} = \frac{24}{192} + \frac{144}{192} - \frac{32}{192} = \frac{136}{192} = \frac{136/8}{192/8} = \frac{17}{24}
  4. \displaystyle \frac{1}{8}+\frac{3}{4}-\frac{1}{6} = \frac{1\cdot 3}{8\cdot 3} + \frac{3\cdot 6}{4\cdot 6} - \frac{1\cdot 4}{6\cdot 4} = \frac{3}{24} + \frac{18}{24} - \frac{4}{24} = \frac{17}{24}

Man sollte die Bruchrechnung so gut beherrschen, dass man direkt den Hauptnenner von nicht all zu großen Brüchen findet. Eine allgemeine Methode um den Hauptnenner zu finden, besteht darin, dass man die Nenner in ihre Primfaktoren zerlegt.

Beispiel 4

  1. Vereinfache \displaystyle \ \frac{1}{60} + \frac{1}{42}.

    Wir zerlegen die Nenner zuerst in ihre Primfaktoren.
    \displaystyle \eqalign{60 &= 2\cdot &2\cdot &3\cdot &5& \cr 42 &= &2\cdot &3\cdot &&7}

    Das kgV der beiden Nenner ist das Produkt aus allen Primfaktoren, die in einer der beiden Zerlegungen vorkommen. Gleiche Primfaktoren werden dabei so oft verwendet, wie in der Zerlegung, in der sie am häufigsten vorkommen:

    \displaystyle \text{kgV}(60,42) = 2\cdot 2\cdot 3\cdot 5\cdot 7 = 420\,\mbox{.}

    Anstatt nun jeden Bruch mit dem gesamten Nenner des anderen Bruches zu erweitern, erweitern wir die Brüche nur mit den Primfaktoren, die dem jeweiligen Nenner noch zum kgV fehlen und bringen sie so auf den Hauptnenner. Danach könne wir einfach addieren:

    \displaystyle \frac{1}{60}+\frac{1}{42} = \frac{1\cdot 7}{60\cdot 7} + \frac{1\cdot 2\cdot 5}{42\cdot 2\cdot 5} = \frac{7}{420} + \frac{10}{420} =\frac{17}{420}\,\mbox{.}
  2. Vereinfache \displaystyle \ \frac{2}{15}+\frac{1}{6}-\frac{5}{18}.

    Bestimmung des kgV der drei Nenner:
    \displaystyle \eqalign{15 &= &3\cdot &&5\cr 6&=2\cdot &3\cr 18 &= 2\cdot &3\cdot &3}

    haben das kgV

    \displaystyle

    \text{kgV}(15, 6, 18) = 2\cdot 3\cdot 3\cdot5 = 90\,\mbox{.}

    Also haben wir

    \displaystyle \frac{2}{15}+\frac{1}{6}-\frac{5}{18} = \frac{2\cdot 2\cdot 3}{15\cdot 2\cdot 3} + \frac{1\cdot 3\cdot 5}{6\cdot 3\cdot 5} - \frac{5\cdot 5}{18\cdot 5} = \frac{12}{90} + \frac{15}{90} - \frac{25}{90} = \frac{2}{90} = \frac{1}{45}\,\mbox{.}

C - Multiplikation

Wenn man einen Bruch mit einer ganzen Zahl multipliziert, wird nur der Zähler mit dieser Zahl multipliziert, während der Nenner unverändert bleibt. Es ist offensichtlich, dass zum Beispiel \displaystyle \tfrac{1}{3} mit 2 multipliziert \displaystyle \tfrac{2}{3} ergibt, also:

\displaystyle \frac{1}{3}\cdot 2 = \frac{1\cdot 2}{3} = \frac{2}{3}\,\mbox{.}

Wenn man Brüche miteinander multipliziert, multipliziert man die Zähler und die Nenner einzeln.

Beispiel 5

  1. \displaystyle 8\cdot\frac{3}{7} = \frac{8\cdot 3}{7} = \frac{24}{7}
  2. \displaystyle \frac{2}{3}\cdot \frac{1}{5} = \frac{2\cdot 1}{3\cdot 5} = \frac{2}{15}

Bevor man Brüche multipliziert, sollte man kontrollieren, ob man den Bruch kürzen kann. Dies kontrolliert man, indem man die Brüche als einen gemeinsamen Bruch schreibt.

Beispiel 6 Vergleiche die beiden Rechnungen:

  1. \displaystyle \frac{3}{5}\cdot\frac{2}{3} = \frac{3\cdot 2}{5\cdot 3} = \frac{6}{15} = \frac{6/3}{15/3} = \frac{2}{5}
  2. \displaystyle \frac{3}{5}\cdot\frac{2}{3} = \frac{\not{3}\cdot 2}{5\cdot \not{3}} = \frac{2}{5}

In 6b hat man den Bruch mit einen Schritt vorher 3 gekürzt als in 6a, aber beide Rechnungen ergeben dasselbe.

Beispiel 7

  1. \displaystyle \frac{7}{10}\cdot \frac{2}{7} = \frac{\not{7}}{10}\cdot \frac{2}{\not{7}} = \frac{1}{10}\cdot \frac{2}{1} = \frac{1}{\not{2} \cdot 5}\cdot \frac{\not{2}}{1} = \frac{1}{5}\cdot \frac{1}{1} =\frac{1}{5}
  2. \displaystyle \frac{14}{15}\cdot \frac{20}{21} = \frac{2 \cdot 7}{3 \cdot 5}\cdot \frac{4 \cdot 5}{3 \cdot 7} = \frac{2 \cdot \not{7}}{3 \cdot 5}\cdot \frac{4 \cdot 5}{3 \cdot \not{7}} = \frac{2}{3 \cdot \not{5}}\cdot \frac{4 \cdot \not{5}}{3} = \frac{2}{3}\cdot\frac{4}{3} = \frac{2\cdot 4}{3\cdot 3} = \frac{8}{9}


D - Division

Wenn man \displaystyle \tfrac{1}{4} durch 2 teilt, bekommt man \displaystyle \tfrac{1}{8}. Wenn man \displaystyle \tfrac{1}{2} durch 5 teilt, bekommt man \displaystyle \tfrac{1}{10}. Wir haben also:

\displaystyle \frac{\displaystyle \frac{1}{4}}{2} = \frac{1}{4\cdot 2} = \frac{1}{8} \qquad \mbox{ und } \qquad \frac{\displaystyle \frac{1}{2}}{5} = \frac{1}{2\cdot 5} = \frac{1}{10}\,\mbox{.}

Wenn ein Bruch durch eine ganze Zahl dividiert wird, wird also der Nenner mit dieser Zahl multipliziert.

Beispiel 8

  1. \displaystyle \frac{3}{5}\Big/4 = \frac{3}{5\cdot 4} = \frac{3}{20}
  2. \displaystyle \frac{6}{7}\Big/3 = \frac{6}{7\cdot 3} = \frac{2\cdot\not{3}}{7\cdot \not{3}} = \frac{2}{7}

Wenn man eine ganze Zahl durch einen Bruch dividiert, wird die Zahl mit dem Kehrbruch des Bruches multipliziert. Zum Beispiel ist die Division durch \displaystyle \frac{1}{2} dasselbe wie eine Multiplikation mit \displaystyle \frac{2}{1}, also 2.

Beispiel 9

  1. \displaystyle \frac{3}{\displaystyle \frac{1}{2}} = 3\cdot \frac{2}{1} = \frac{3\cdot 2}{1} = 6
  2. \displaystyle \frac{5}{\displaystyle \frac{3}{7}} = 5\cdot\frac{7}{3} = \frac{5\cdot 7}{3} = \frac{35}{3}
  3. \displaystyle \frac{\displaystyle \frac{2}{3}}{\displaystyle \frac{5}{8}} = \frac{2}{3}\cdot \frac{8}{5} = \frac{2\cdot 8}{3\cdot 5} = \frac{16}{15}
  4. \displaystyle \frac{\displaystyle \frac{3}{4}}{\displaystyle \frac{9}{10}} = \frac{3}{4}\cdot \frac{10}{9} = \frac{\not{3}}{2\cdot\not{2}} \cdot\frac{\not{2} \cdot 5}{\not{3} \cdot 3} = \frac{5}{2\cdot 3} = \frac{5}{6}

Wie kommt es, dass eine Division mit Brüchen eine Multiplikation wird? Die Erklärung ist, dass ein Bruch multipliziert mit seinem Kehrbruch, immer 1 ergibt. Zum Beispiel:

\displaystyle \frac{2}{3}\cdot\frac{3}{2} = \frac{\not{2}}{\not{3}}\cdot\frac{\not{3}}{\not{2}} = 1 \qquad \mbox{ und } \qquad \frac{9}{17}\cdot\frac{17}{9} = \frac{\not{9}}{\not{17}}\cdot\frac{\not{17}}{\not{9}} = 1\mbox{.}

Bei einer Division von Brüchen erweitert man den ganzen Bruch mit dem Kehrbruch des Nennerbruches. Im Nenner bekommen wir daher nur einen 1:er.

Beispiel 10

\displaystyle \frac{\displaystyle \frac{2}{3}}{\displaystyle \frac{5}{7}} = \frac{\displaystyle \frac{2}{3}\cdot\displaystyle \frac{7}{5}}{\displaystyle \frac{5}{7}\cdot\displaystyle \frac{7}{5}} = \frac{\displaystyle \frac{2}{3}\cdot\displaystyle \frac{7}{5}}{1} = \frac{2}{3}\cdot\frac{7}{5}


E - Brüche als Teil eines Ganzen

Rationale Zahlen können als Dezimalzahlen oder auch als Brüche dargestellt werden. Im Alltag verwendet man oft die rationalen Zahlen, um das Verhältnis von verschiedenen Mengen zu beschreiben. Eine Berechnung von einem Verhältnis kann entweder zu einer Multiplikation oder zu einer Division führen.

Beispiel 11

  1. Florian investiert 20 € und Julia 50 €. Mit ihrer Investition erwirtschaften sie einen Gewinn. Wie soll der Gewinn gerecht aufgeteilt werden?

    Florians Anteil ist  \displaystyle \frac{20}{50 + 20} = \frac{20}{70} = \frac{2}{7}  und also sollte er  \displaystyle \frac{2}{7} des Gewinns bekommen.


  2. Was ist der Anteil von 45 € an 100 €?

    Antwort: 45 € ist  \displaystyle \frac{45}{100} = \frac{9}{20} von 100 €. .


  3. Was ist der Anteil von \displaystyle \frac{1}{3}Liter an \displaystyle \frac{1}{2} Liter?

    Antwort: \displaystyle \frac{1}{3} Liter sind \displaystyle \frac{\displaystyle \frac{1}{3}}{\displaystyle \frac{1}{2}} = \frac{1}{3}\cdot\frac{2}{1} = \frac{2}{3}   von  \displaystyle \frac{1}{2} Liter.


  4. Wie viel ist  \displaystyle \frac{5}{8}   von 1000?

    Antwort: \displaystyle \frac{5}{8}\cdot 1000 = \frac{5000}{8} = 625


  5. Wie viel ist  \displaystyle \frac{2}{3}  von  \displaystyle \frac{6}{7} ?

    Antwort: \displaystyle \frac{2}{3}\cdot\frac{6}{7} = \frac{2}{\not{3}} \cdot \frac{2 \cdot \not{3}}{7} = \frac{2 \cdot 2}{7} = \frac{4}{7}

F - Gemischte Ausdrücke

Wenn Brüche in größeren Ausdrücken vorkommen, ist es wichtig sich an die Operatorrangfolge zu erinnern. Wichtig ist auch, dass es um Zähler und Nenner in einem Bruch "unsichtbare Klammern" gibt. Also muss man den Zähler und Nenner zuerst berechnen, bevor man den Bruch kürzt.

Beispiel 12

  1. \displaystyle \frac{1}{\displaystyle \frac{2}{3}+\frac{3}{4}} = \frac{1}{\displaystyle \frac{2\cdot 4}{3\cdot 4} + \frac{3\cdot 3}{4\cdot 3}} = \frac{1}{\displaystyle \frac{8}{12} + \frac{9}{12}} = \frac{1}{\displaystyle \frac{17}{12}} = 1\cdot\frac{12}{17} = \frac{12}{17}


  2. \displaystyle \frac{\displaystyle \frac{4}{3} - \frac{1}{6}}{\displaystyle \frac{4}{3}+\frac{1}{6}} = \frac{\displaystyle \frac{4 \cdot 2}{3 \cdot 2} - \frac{1}{6}}{\displaystyle \frac{4 \cdot 2}{3 \cdot 2} + \frac{1}{6}} = \frac{\displaystyle \frac{8}{6} - \frac{1}{6}}{\displaystyle \frac{8}{6} + \frac{1}{6}} = \frac{\displaystyle \frac{7}{6}}{\displaystyle \frac{9}{6}} = \frac{7}{\not{6}}\cdot\frac{\not{6}}{9} = \frac{7}{9}


  3. \displaystyle \frac{3-\displaystyle \frac{3}{5}}{\displaystyle \frac{2}{3}-2} = \frac{\displaystyle \frac{3 \cdot 5}{5}- \frac{3}{5}}{\displaystyle \frac{2}{3} - \frac{2 \cdot 3}{3}} = \frac{\displaystyle \frac{15}{5} - \frac{3}{5}}{\displaystyle \frac{2}{3} - \frac{6}{3}} = \frac{\displaystyle \frac{12}{5}}{-\displaystyle \frac{4}{3}} = \frac{12}{5}\cdot\left(-\frac{3}{4}\right) = -\frac{3\cdot \not{4} }{5} \cdot \frac{3}{\not{4}} = -\frac{3\cdot 3}{5} = -\frac{9}{5}


  4. \displaystyle \frac{\displaystyle\frac{1}{\frac{1}{2}+\frac{1}{3}}-\frac{3}{5} \cdot\frac{1}{3}}{\displaystyle\frac{2}{3}\big/\frac{1}{5} -\frac{\frac{1}{4}-\frac{1}{3}}{2}} = \frac{\displaystyle\frac{1}{\frac{3}{6}+\frac{2}{6}} -\frac{3\cdot1}{5\cdot3}}{\displaystyle\frac{2}{3}\cdot\frac{5}{1} -\frac{\frac{3}{12}-\frac{4}{12}}{2}} = \frac{\displaystyle \frac{1}{\displaystyle \frac{5}{6}} - \frac{1}{5}}{\displaystyle \frac{10}{3} - \frac{-\displaystyle \frac{1}{12}}{2}} \displaystyle \qquad\quad{}= \frac{\displaystyle \frac{6}{5} - \frac{1}{5}}{\displaystyle \frac{10}{3} + \frac{1}{24}} = \frac{1}{\displaystyle \frac{80}{24}+\frac{1}{24}} = \frac{1}{\displaystyle \frac{81}{24}} = \frac{24}{81} = \frac{8}{27}


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Tipps fürs Lernen

Diagnostische Prüfung und Schlussprüfung

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Bedenke folgendes:

Versuche Deine Berechnungen so einfach wie möglich zu halten. Was am einfachsten ist, ist verschieden von Fall zu Fall.

Es ist wichtig, die Rechnungen mit Brüchen gut zu beherrschen. Du solltest Bruchrechnungen sowie Divisionen, Multiplikation und Brüche mit gemeinsamen Nennern schreiben und ohne Probleme ausführen können. Bruchrechnungen kommen häufig in rationalen Funktionen vor, aber auch in Grenzwerten und Differentialrechnungen, und sind daher sehr elementar in der Mathematik.


Literaturhinweise

Für die, die tiefer in die Materie einsteigen wollen, sind hier einige Links angeführt:

Mehr zur Bruchrechnung in der Wikipedia


Nützliche Websites

Interaktives Programm zu Brüchen (engl.)


Von „http://wiki.sommarmatte.se/wikis/2009/bridgecourse1-TU-Berlin/index.php/1.2_Br%C3%BCche“