Lösung 4.4:8a

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If we use the formula for double angles, <math>\sin 2x = 2\sin x\cos x</math>, and move all the terms over to the left-hand side, the equation becomes
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Wir verwenden die Doppelwinkelfunktion <math>\sin 2x = 2\sin x\cos x</math> und erhalten so
{{Abgesetzte Formel||<math>2\sin x\cos x-\sqrt{2}\cos x=0\,\textrm{.}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>2\sin x\cos x-\sqrt{2}\cos x=0\,\textrm{.}</math>}}
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Then, we see that we can take a factor <math>\cos x</math> out of both terms,
+
Wir ziehen den gemeinsamen Faktor <math>\cos x</math> heraus:
{{Abgesetzte Formel||<math>\cos x\,(2\sin x-\sqrt{2}) = 0</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>\cos x\,(2\sin x-\sqrt{2}) = 0</math>}}
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and hence divide up the equation into two cases. The equation is satisfied either if <math>\cos x = 0</math> or if <math>2\sin x-\sqrt{2} = 0\,</math>.
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Wir erhalten zwei Fälle, für welche diese Gleichung erfüllt ist: Entweder ist <math>\cos x = 0</math> oder <math>2\sin x-\sqrt{2} = 0\,</math>.
<math>\cos x = 0</math>:
<math>\cos x = 0</math>:
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This equation has the general solution
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Hat die allgemeine Lösung
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{{Abgesetzte Formel||<math>x = \frac{\pi}{2}+n\pi\qquad</math>(''n'' is an arbitrary integer).}}
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{{Abgesetzte Formel||<math>x = \frac{\pi}{2}+n\pi\qquad</math>}}
<math>2\sin x-\sqrt{2}=0</math>:
<math>2\sin x-\sqrt{2}=0</math>:
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If we collect <math>\sin x</math> on the left-hand side, we obtain the equation
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Ist dasselbe wie <math>\sin x = 1/\!\sqrt{2}</math> und hat deshalb die allgemeine Lösung
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<math>\sin x = 1/\!\sqrt{2}</math>, which has the general solution
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{{Abgesetzte Formel||<math>\left\{\begin{align}
{{Abgesetzte Formel||<math>\left\{\begin{align}
Zeile 27: Zeile 26:
\end{align}\right.</math>}}
\end{align}\right.</math>}}
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where ''n'' is an arbitrary integer.
 
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The complete solution of the equation is
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Also hat die ganze Gleichung die Lösungen
{{Abgesetzte Formel||<math>\left\{\begin{align}
{{Abgesetzte Formel||<math>\left\{\begin{align}
Zeile 37: Zeile 34:
x &= \frac{3\pi}{4}+2n\pi\,,
x &= \frac{3\pi}{4}+2n\pi\,,
\end{align}\right.</math>}}
\end{align}\right.</math>}}
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where ''n'' is an arbitrary integer.
 

Aktuelle Version

Wir verwenden die Doppelwinkelfunktion \displaystyle \sin 2x = 2\sin x\cos x und erhalten so

\displaystyle 2\sin x\cos x-\sqrt{2}\cos x=0\,\textrm{.}

Wir ziehen den gemeinsamen Faktor \displaystyle \cos x heraus:

\displaystyle \cos x\,(2\sin x-\sqrt{2}) = 0

Wir erhalten zwei Fälle, für welche diese Gleichung erfüllt ist: Entweder ist \displaystyle \cos x = 0 oder \displaystyle 2\sin x-\sqrt{2} = 0\,.


\displaystyle \cos x = 0:

Hat die allgemeine Lösung

\displaystyle x = \frac{\pi}{2}+n\pi\qquad


\displaystyle 2\sin x-\sqrt{2}=0:

Ist dasselbe wie \displaystyle \sin x = 1/\!\sqrt{2} und hat deshalb die allgemeine Lösung

\displaystyle \left\{\begin{align}

x &= \frac{\pi}{4}+2n\pi\,,\\[5pt] x &= \frac{3\pi}{4}+2n\pi\,, \end{align}\right.


Also hat die ganze Gleichung die Lösungen

\displaystyle \left\{\begin{align}

x &= \frac{\pi}{4}+2n\pi\,,\\[5pt] x &= \frac{\pi}{2}+n\pi\,,\\[5pt] x &= \frac{3\pi}{4}+2n\pi\,, \end{align}\right.

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