Lösung 4.4:7a

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If we examine the equation, we see that <math>x</math> only occurs as <math>\sin x</math> and it can therefore be appropriate to take an intermediary step and solve for <math>\sin x</math>, instead of trying to solve for <math>x</math> directly.
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Wir sehen, dass <math>x</math> nur in den <math>\sin x</math>-Termen auftritt. Daher Lösen wir zuerst die Gleichung für <math>\sin x</math>, statt direkt für <math>x</math>
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If we write <math>t = \sin x</math> and treat <math>t</math> as a new unknown variable, the equation becomes
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Wir benennen <math>t = \sin x</math> und erhalten die Gleichung
{{Abgesetzte Formel||<math>2t^2 + t = 1</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>2t^2 + t = 1</math>}}
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and it is expressed completely in terms of <math>t</math>. This is a normal quadratic equation; after dividing by 2, we complete the square on the left-hand side,
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Dies ist eine quadratische Gleichung für <math>t</math>. Nach Division durch 2 erhalten wir die Gleichung
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
Zeile 13: Zeile 13:
\end{align}</math>}}
\end{align}</math>}}
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and then obtain the equation
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oder
{{Abgesetzte Formel||<math>\Bigl(t+\frac{1}{4}\Bigr)^2 = \frac{9}{16}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>\Bigl(t+\frac{1}{4}\Bigr)^2 = \frac{9}{16}</math>}}
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which has the solutions <math>t=-\tfrac{1}{4}\pm \sqrt{\tfrac{9}{16}}=-\tfrac{1}{4}\pm \tfrac{3}{4}</math>, i.e.
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mit den Lösungen <math>t=-\tfrac{1}{4}\pm \sqrt{\tfrac{9}{16}}=-\tfrac{1}{4}\pm \tfrac{3}{4}</math>, also
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{{Abgesetzte Formel||<math>t = -\frac{1}{4}+\frac{3}{4} = \frac{1}{2}\qquad\text{and}\qquad t = -\frac{1}{4}-\frac{3}{4} = -1\,\textrm{.}</math>}}
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{{Abgesetzte Formel||<math>t = -\frac{1}{4}+\frac{3}{4} = \frac{1}{2}\qquad\text{und}\qquad t = -\frac{1}{4}-\frac{3}{4} = -1\,\textrm{.}</math>}}
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Nachdem <math>t=\sin x</math>, muss ''x'' der Gleichungen <math>\sin x = \tfrac{1}{2}</math> oder <math>\sin x = -1\,</math> erfüllen.
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Because <math>t=\sin x</math>, this means that the values of ''x'' that satisfy the equation in the exercise will necessarily satisfy one of the basic equations <math>\sin x = \tfrac{1}{2}</math> or <math>\sin x = -1\,</math>.
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<math>\sin x = \frac{1}{2}</math>:
<math>\sin x = \frac{1}{2}</math>:
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This equation has the solutions <math>x = \pi/6</math> and <math>x = \pi - \pi/6 = 5\pi/6</math> in the unit circle and the general solution is
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Diese Gleichung hat die Lösungen <math>x = \pi/6</math> und <math>x = \pi - \pi/6 = 5\pi/6</math> auf dem Einheitskreis. Daher gilt für die allgemeinen Lösungen
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{{Abgesetzte Formel||<math>x = \frac{\pi}{6}+2n\pi\qquad\text{and}\qquad x = \frac{5\pi}{6}+2n\pi\,,</math>}}
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{{Abgesetzte Formel||<math>x = \frac{\pi}{6}+2n\pi\qquad\text{und}\qquad x = \frac{5\pi}{6}+2n\pi\,.</math>}}
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where ''n'' is an arbitrary integer.
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<math>\sin x = -1</math>:
<math>\sin x = -1</math>:
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The equation has only one solution <math>x = 3\pi/2</math> in the unit circle, and the general solution is therefore
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hat nur die Lösung <math>x = 3\pi/2</math> auf dem Einheitskreis, daher sind die allgemeinen Lösungen
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{{Abgesetzte Formel||<math>x = \frac{3\pi}{2} + 2n\pi\,,</math>}}
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{{Abgesetzte Formel||<math>x = \frac{3\pi}{2} + 2n\pi\,.</math>}}
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where ''n'' is an arbitrary integer.
 
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All of the solution to the equation are given by
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Zusammen erhalten wir also die Lösungen
{{Abgesetzte Formel||<math>\left\{\begin{align}
{{Abgesetzte Formel||<math>\left\{\begin{align}
Zeile 50: Zeile 46:
x &= 3\pi/2+2n\pi\,,
x &= 3\pi/2+2n\pi\,,
\end{align}\right.</math>}}
\end{align}\right.</math>}}
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where ''n'' is an arbitrary integer.
 

Aktuelle Version

Wir sehen, dass \displaystyle x nur in den \displaystyle \sin x-Termen auftritt. Daher Lösen wir zuerst die Gleichung für \displaystyle \sin x, statt direkt für \displaystyle x

Wir benennen \displaystyle t = \sin x und erhalten die Gleichung

\displaystyle 2t^2 + t = 1

Dies ist eine quadratische Gleichung für \displaystyle t. Nach Division durch 2 erhalten wir die Gleichung

\displaystyle \begin{align}

t^2 + \frac{1}{2}t - \frac{1}{2} &= \Bigl(t+\frac{1}{4}\Bigr)^2 - \Bigl(\frac{1}{4}\Bigr)^2 - \frac{1}{2}\\[5pt] &= \Bigl(t+\frac{1}{4}\Bigr)^2 - \frac{9}{16} \end{align}

oder

\displaystyle \Bigl(t+\frac{1}{4}\Bigr)^2 = \frac{9}{16}

mit den Lösungen \displaystyle t=-\tfrac{1}{4}\pm \sqrt{\tfrac{9}{16}}=-\tfrac{1}{4}\pm \tfrac{3}{4}, also

\displaystyle t = -\frac{1}{4}+\frac{3}{4} = \frac{1}{2}\qquad\text{und}\qquad t = -\frac{1}{4}-\frac{3}{4} = -1\,\textrm{.}

Nachdem \displaystyle t=\sin x, muss x der Gleichungen \displaystyle \sin x = \tfrac{1}{2} oder \displaystyle \sin x = -1\, erfüllen.


\displaystyle \sin x = \frac{1}{2}:

Diese Gleichung hat die Lösungen \displaystyle x = \pi/6 und \displaystyle x = \pi - \pi/6 = 5\pi/6 auf dem Einheitskreis. Daher gilt für die allgemeinen Lösungen

\displaystyle x = \frac{\pi}{6}+2n\pi\qquad\text{und}\qquad x = \frac{5\pi}{6}+2n\pi\,.


\displaystyle \sin x = -1:

hat nur die Lösung \displaystyle x = 3\pi/2 auf dem Einheitskreis, daher sind die allgemeinen Lösungen

\displaystyle x = \frac{3\pi}{2} + 2n\pi\,.


Zusammen erhalten wir also die Lösungen

\displaystyle \left\{\begin{align}

x &= \pi/6+2n\pi\,,\\[5pt] x &= 5\pi/6+2n\pi\,,\\[5pt] x &= 3\pi/2+2n\pi\,, \end{align}\right.

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