Lösung 4.4:6b

Aus Online Mathematik Brückenkurs 1

(Unterschied zwischen Versionen)
Wechseln zu: Navigation, Suche
K (hat „Solution 4.4:6b“ nach „Lösung 4.4:6b“ verschoben: Robot: moved page)
Aktuelle Version (14:43, 19. Jun. 2009) (bearbeiten) (rückgängig)
K
 
(Der Versionsvergleich bezieht eine dazwischen liegende Version mit ein.)
Zeile 1: Zeile 1:
-
After moving the terms over to the left-hand side, so that
+
Ziehen wir alle Terme zu einer Seite der Gleichung, erhalten wir
{{Abgesetzte Formel||<math>\sqrt{2}\sin x\cos x-\cos x=0</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>\sqrt{2}\sin x\cos x-\cos x=0</math>}}
-
we see that we can take out a common factor <math>\cos x</math>,
+
wo wir den Faktor <math>\cos x</math> herausziehen können,
{{Abgesetzte Formel||<math>\cos x (\sqrt{2}\sin x-1) = 0</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>\cos x (\sqrt{2}\sin x-1) = 0</math>}}
-
and that the equation is only satisfied if at least one of the factors <math>\cos x</math> or <math>\sqrt{2}\sin x - 1</math> is zero. Thus, there are two cases:
+
Die Gleichung ist nur erfüllt, wenn einer der Faktoren <math>\cos x</math> oder <math>\sqrt{2}\sin x - 1</math> null ist. Also gibt es zwei Fälle:
<math>\cos x=0:</math>
<math>\cos x=0:</math>
-
This basic equation has solutions <math>x=\pi/2</math> and <math>x=3\pi/2</math> in the unit circle, and from this we see that the general solution is
+
Diese Gleichung hat die Lösungen <math>x=\pi/2</math> und <math>x=3\pi/2</math> auf dem Einheitskreis. Die allgemeine Lösung ist
-
{{Abgesetzte Formel||<math>x=\frac{\pi}{2}+2n\pi\qquad\text{and}\qquad x=\frac{3\pi }{2}+2n\pi\,,</math>}}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>x=\frac{\pi}{2}+2n\pi\qquad\text{und}\qquad x=\frac{3\pi }{2}+2n\pi\,,</math>}}
-
where ''n'' is an arbitrary integer. Because the angles <math>\pi/2</math> and
+
Nachdem sich die Winkel <math>\pi/2</math> und
-
<math>3\pi/2</math> differ by <math>\pi</math>, the solutions can be summarized as
+
<math>3\pi/2</math> nur um <math>\pi</math> unterscheiden, ist die allgemeine Lösung auch
{{Abgesetzte Formel||<math>x=\frac{\pi}{2}+n\pi\,,</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>x=\frac{\pi}{2}+n\pi\,,</math>}}
-
where ''n'' is an arbitrary integer.
+
 
<math>\sqrt{2}\sin x - 1 = 0:</math>
<math>\sqrt{2}\sin x - 1 = 0:</math>
-
If we rearrange the equation, we obtain the basic equation as <math>\sin x = 1/\!\sqrt{2}</math>, which has the solutions <math>x=\pi/4</math> and <math>x=3\pi /4</math> in the unit circle and hence the general solution
+
Die Gleichung entspricht <math>\sin x = 1/\!\sqrt{2}</math> mit den Lösungen <math>x=\pi/4</math> und <math>x=3\pi /4</math> auf dem Einheitskreis und den allgemeinen Lösungen
-
{{Abgesetzte Formel||<math>x=\frac{\pi}{4}+2n\pi\qquad\text{and}\qquad x=\frac{3\pi }{4}+2n\pi\,,</math>}}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>x=\frac{\pi}{4}+2n\pi\qquad\text{und}\qquad x=\frac{3\pi }{4}+2n\pi\,,</math>}}
-
where ''n'' is an arbitrary integer.
 
-
 
+
Also hat die Gleichung die Lösungen
-
All in all, the original equation has the solutions
+
{{Abgesetzte Formel||<math>\left\{\begin{align}
{{Abgesetzte Formel||<math>\left\{\begin{align}
Zeile 40: Zeile 38:
x &= \frac{3\pi}{4}+2n\pi\,,
x &= \frac{3\pi}{4}+2n\pi\,,
\end{align}\right.</math>}}
\end{align}\right.</math>}}
- 
-
where ''n'' is an arbitrary integer.
 

Aktuelle Version

Ziehen wir alle Terme zu einer Seite der Gleichung, erhalten wir

\displaystyle \sqrt{2}\sin x\cos x-\cos x=0

wo wir den Faktor \displaystyle \cos x herausziehen können,

\displaystyle \cos x (\sqrt{2}\sin x-1) = 0

Die Gleichung ist nur erfüllt, wenn einer der Faktoren \displaystyle \cos x oder \displaystyle \sqrt{2}\sin x - 1 null ist. Also gibt es zwei Fälle:


\displaystyle \cos x=0:

Diese Gleichung hat die Lösungen \displaystyle x=\pi/2 und \displaystyle x=3\pi/2 auf dem Einheitskreis. Die allgemeine Lösung ist

\displaystyle x=\frac{\pi}{2}+2n\pi\qquad\text{und}\qquad x=\frac{3\pi }{2}+2n\pi\,,

Nachdem sich die Winkel \displaystyle \pi/2 und \displaystyle 3\pi/2 nur um \displaystyle \pi unterscheiden, ist die allgemeine Lösung auch

\displaystyle x=\frac{\pi}{2}+n\pi\,,



\displaystyle \sqrt{2}\sin x - 1 = 0:

Die Gleichung entspricht \displaystyle \sin x = 1/\!\sqrt{2} mit den Lösungen \displaystyle x=\pi/4 und \displaystyle x=3\pi /4 auf dem Einheitskreis und den allgemeinen Lösungen

\displaystyle x=\frac{\pi}{4}+2n\pi\qquad\text{und}\qquad x=\frac{3\pi }{4}+2n\pi\,,


Also hat die Gleichung die Lösungen

\displaystyle \left\{\begin{align}

x &= \frac{\pi}{4}+2n\pi\,,\\[5pt] x &= \frac{\pi}{2}+n\pi\,,\\[5pt] x &= \frac{3\pi}{4}+2n\pi\,, \end{align}\right.

Von „http://wiki.sommarmatte.se/wikis/2009/bridgecourse1-TU-Berlin/index.php/L%C3%B6sung_4.4:6b“