Lösung 2.3:5b
Aus Online Mathematik Brückenkurs 1
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| + | 4x^{2} - 28x + 48 | ||
| + | &= 4(x^{2} - 7x + 12)\\[5pt] | ||
| + | &= 4\bigl((x-\tfrac{7}{2})^{2} - (\tfrac{7}{2})^{2} + 12\bigr)\\[5pt] | ||
| + | &= 4\bigl((x-\tfrac{7}{2})^{2} - \tfrac{49}{4} + \tfrac{48}{4}\bigr)\\[5pt] | ||
| + | &= 4\bigl((x-\tfrac{7}{2})^{2} - \tfrac{1}{4}\bigr)\\[5pt] | ||
| + | &= 4\bigl(x - \tfrac{7}{2}\bigr)^{2}-1\,\textrm{.} | ||
| + | \end{align}</math>}} | ||
| + | |||
| + | In dieser Gleichung sehen wir, dass der Ausdruck negativ ist für z.B. <math>x=7/2</math>. | ||
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| + | In Wirklichkeit ist der Ausdruck negativ für alle ''x''-Werte zwischen 3 und 4. | ||
Aktuelle Version
Anstatt einfach verschiedene x-Werte auszuprobieren, verwenden wir quadratische Ergänzung:
| \displaystyle \begin{align}
4x^{2} - 28x + 48 &= 4(x^{2} - 7x + 12)\\[5pt] &= 4\bigl((x-\tfrac{7}{2})^{2} - (\tfrac{7}{2})^{2} + 12\bigr)\\[5pt] &= 4\bigl((x-\tfrac{7}{2})^{2} - \tfrac{49}{4} + \tfrac{48}{4}\bigr)\\[5pt] &= 4\bigl((x-\tfrac{7}{2})^{2} - \tfrac{1}{4}\bigr)\\[5pt] &= 4\bigl(x - \tfrac{7}{2}\bigr)^{2}-1\,\textrm{.} \end{align} |
In dieser Gleichung sehen wir, dass der Ausdruck negativ ist für z.B. \displaystyle x=7/2.
In Wirklichkeit ist der Ausdruck negativ für alle x-Werte zwischen 3 und 4.
