Lösung 4.4:5a

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If we consider for a moment the equality
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Betrachten wir die Gleichung
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{{Abgesetzte Formel||<math>\sin u = \sin v</math>|(*)}}
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{{Abgesetzte Formel||<math>\sin u = \sin v,</math>|(*)}}
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where ''u'' has a fixed value, there are usually two angles ''v'' in the unit circle which ensure that the equality holds,
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wobei ''u'' eine Konstante ist, gibt es zwei Lösungen für diese Gleichung, nämlich
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{{Abgesetzte Formel||<math>v=u\qquad\text{and}\qquad v=\pi-u\,\textrm{.}</math>}}
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{{Abgesetzte Formel||<math>v=u\qquad\text{und}\qquad v=\pi-u\,\textrm{.}</math>}}
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[[Image:4_4_5_a.gif||center]]
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<center>{{:4.4.5a - Solution - Two unit circles with angles v = u and v = π - u}}</center>
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(The only exception is when <math>u = \pi/2</math> or <math>u=3\pi/2</math>, in which case <math>u</math> and <math>\pi-u</math> correspond to the same direction and there is only one angle ''v'' which satisfies the equality.)
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(Die einzige Ausnahme ist, wenn <math>u = \pi/2</math> oder <math>u=3\pi/2</math>, da in diesen Fällen <math>u</math> und <math>\pi-u</math> dieselben Winkel sind)
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We obtain all the angles ''v'' which satisfy (*) by adding multiples of <math>2\pi</math>,
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Wir erhalten die allgemeine Lösung, indem wir ein Vielfaches von <math>2\pi</math> zur Lösung addieren:
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{{Abgesetzte Formel||<math>v = u+2n\pi\qquad\text{and}\qquad v = \pi-u+2n\pi\,,</math>}}
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{{Abgesetzte Formel||<math>v = u+2n\pi\qquad\text{und}\qquad v = \pi-u+2n\pi\,.</math>}}
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where ''n'' is an arbitrary integer.
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Für unsere Gleichung
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If we now go back to our equation
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{{Abgesetzte Formel||<math>\sin 3x = \sin x</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>\sin 3x = \sin x</math>}}
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the reasoning above shows that the equation is only satisfied when
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erhalten wir die Lösungen
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{{Abgesetzte Formel||<math>3x = x+2n\pi\qquad\text{or}\qquad 3x = \pi-x+2n\pi\,\textrm{.}</math>}}
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{{Abgesetzte Formel||<math>3x = x+2n\pi\qquad\text{oder}\qquad 3x = \pi-x+2n\pi\,\textrm{.}</math>}}
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If we make ''x'' the subject of each equation, we obtain the full solution to the equation,
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Lösen wir ''x'', erhalten wir
{{Abgesetzte Formel||<math>\left\{\begin{align}
{{Abgesetzte Formel||<math>\left\{\begin{align}

Aktuelle Version

Betrachten wir die Gleichung

\displaystyle \sin u = \sin v, (*)

wobei u eine Konstante ist, gibt es zwei Lösungen für diese Gleichung, nämlich

\displaystyle v=u\qquad\text{und}\qquad v=\pi-u\,\textrm{.}

[Image]

(Die einzige Ausnahme ist, wenn \displaystyle u = \pi/2 oder \displaystyle u=3\pi/2, da in diesen Fällen \displaystyle u und \displaystyle \pi-u dieselben Winkel sind)

Wir erhalten die allgemeine Lösung, indem wir ein Vielfaches von \displaystyle 2\pi zur Lösung addieren:

\displaystyle v = u+2n\pi\qquad\text{und}\qquad v = \pi-u+2n\pi\,.

Für unsere Gleichung

\displaystyle \sin 3x = \sin x

erhalten wir die Lösungen

\displaystyle 3x = x+2n\pi\qquad\text{oder}\qquad 3x = \pi-x+2n\pi\,\textrm{.}

Lösen wir x, erhalten wir

\displaystyle \left\{\begin{align}

x &= 0+n\pi\,,\\[5pt] x &= \frac{\pi}{4}+\frac{n\pi}{2}\,\textrm{.} \end{align}\right.

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