Lösung 4.4:1g

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A quick sketch of the unit circle and the line <math>y=(-1/\!\sqrt{3})x</math>, which corresponds to the tangent value <math>-1/\!\sqrt{3}</math> shows that there are two angles which satisfy <math>\tan v = -1/\!\sqrt{3}</math>. One of the angles lies in the fourth quadrant and the other is the opposite angle in the second quadrant.
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Zeichnen wir den Einheitskreis mit der Geraden <math>y=(-1/\!\sqrt{3})x</math>, was also dem Winkel entspricht, dessen Tangens <math>-1/\!\sqrt{3}</math> beträgt, sehen wir, dass es zwei Winkel gibt, die die Gleichung <math>\tan v = -1/\!\sqrt{3}</math> erfüllen. Diese liegen einander gegenüber im zweiten und im vierten Quadranten.
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[[Image:4_4_1_g1.gif|center]]
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<center>{{:4.4.1g - Solution - Two unit circles with angles v satisfying tan v = -1/√3}}</center>
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We can therefore limit ourselves to the fourth quadrant and draw an auxiliary triangle in order to determine the angle there.
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Wir betrachten nur den vierten Quadranten und führen ein neues Dreieck ein:
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[[Image:4_4_1_g2.gif|center]]
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<center>{{:4.4.1g - Solution - The unit circle with an angle in the fourth quadrant and an auxiliary triangle}}</center>
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If we call <math>x</math> the side adjacent to the angle <math>\alpha</math> then the fact that <math>\tan v=-1/\!\sqrt{3}</math> gives the length of the opposite side as <math>x/\!\sqrt{3}</math>.
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Wir benennen die Ankathete <math>x</math> und nachdem <math>\tan v=-1/\!\sqrt{3}</math>, ist die Länge der Gegenkathete <math>x/\!\sqrt{3}</math>.
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[[Image:4_4_1_g3.gif|center]]
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<center>{{:4.4.1g - Solution - An auxiliary triangle in the fourth quadrant}}</center>
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The Pythagorean theorem gives
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Durch den Satz des Pythagoras erhalten wir
{{Abgesetzte Formel||<math>x^2 + \Bigl(\frac{x}{\sqrt{3}}\Bigr)^2 = 1^2</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>x^2 + \Bigl(\frac{x}{\sqrt{3}}\Bigr)^2 = 1^2</math>}}
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and this equation has the solution <math>x = \sqrt{3}/2</math>, which means that
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Diese Gleichung hat die positive Lösung <math>x = \sqrt{3}/2</math>, also haben wir
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{{Abgesetzte Formel||<math>\cos\alpha = \frac{\sqrt{3}/2}{1} = \frac{\sqrt{3}}{2}\,,</math>}}
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{{Abgesetzte Formel||<math>\cos\alpha = \frac{\sqrt{3}/2}{1} = \frac{\sqrt{3}}{2}\,.</math>}}
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i.e. <math>\alpha = \pi/6</math>. Because the angle <math>v</math> in the fourth quadrant is the complement of <math>\alpha</math> the angle <math>v</math> is given by
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Damit ist <math>\alpha = \pi/6</math>. Nachdem der Winkel <math>v</math> das Komplement des Winkels <math>\alpha</math> ist, ist <math>v</math>
{{Abgesetzte Formel||<math>v = 2\pi - \alpha = 2\pi - \frac{\pi}{6} = \frac{11\pi }{6}\,\textrm{.}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>v = 2\pi - \alpha = 2\pi - \frac{\pi}{6} = \frac{11\pi }{6}\,\textrm{.}</math>}}
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If we subtract half a turn, <math>\pi</math>, we obtain the other angle
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Subtrahieren wir <math>\pi</math> von <math>v</math>, erhalten wir den anderen Winkel in zweiten Quadranten:
{{Abgesetzte Formel||<math>v = \frac{11\pi}{6} - \pi = \frac{5\pi}{6}\,\textrm{.}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>v = \frac{11\pi}{6} - \pi = \frac{5\pi}{6}\,\textrm{.}</math>}}

Aktuelle Version

Zeichnen wir den Einheitskreis mit der Geraden \displaystyle y=(-1/\!\sqrt{3})x, was also dem Winkel entspricht, dessen Tangens \displaystyle -1/\!\sqrt{3} beträgt, sehen wir, dass es zwei Winkel gibt, die die Gleichung \displaystyle \tan v = -1/\!\sqrt{3} erfüllen. Diese liegen einander gegenüber im zweiten und im vierten Quadranten.

[Image]

Wir betrachten nur den vierten Quadranten und führen ein neues Dreieck ein:

[Image]

Wir benennen die Ankathete \displaystyle x und nachdem \displaystyle \tan v=-1/\!\sqrt{3}, ist die Länge der Gegenkathete \displaystyle x/\!\sqrt{3}.

[Image]

Durch den Satz des Pythagoras erhalten wir

\displaystyle x^2 + \Bigl(\frac{x}{\sqrt{3}}\Bigr)^2 = 1^2

Diese Gleichung hat die positive Lösung \displaystyle x = \sqrt{3}/2, also haben wir

\displaystyle \cos\alpha = \frac{\sqrt{3}/2}{1} = \frac{\sqrt{3}}{2}\,.

Damit ist \displaystyle \alpha = \pi/6. Nachdem der Winkel \displaystyle v das Komplement des Winkels \displaystyle \alpha ist, ist \displaystyle v

\displaystyle v = 2\pi - \alpha = 2\pi - \frac{\pi}{6} = \frac{11\pi }{6}\,\textrm{.}

Subtrahieren wir \displaystyle \pi von \displaystyle v, erhalten wir den anderen Winkel in zweiten Quadranten:

\displaystyle v = \frac{11\pi}{6} - \pi = \frac{5\pi}{6}\,\textrm{.}
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