3.3 Logarithmen

Aus Online Mathematik Brückenkurs 1

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{| border="0" cellspacing="0" cellpadding="0" height="30" width="100%"
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{{Gewählter Tab|[[3.3 Logarithmen|Theorie]]}}
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{{Nicht gewählter Tab|[[3.3 Übungen|Übungen]]}}
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| style="border-bottom:1px solid #797979" width="100%"|  
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{{Info|
{{Info|
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'''Innehåll:'''
+
'''Inhalt:'''
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*Logaritmer
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* Logarithmen
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*Logaritmlagar
+
* Die Logarithmengesetze
}}
}}
{{Info|
{{Info|
-
'''Lärandemål:'''
+
'''Lernziele:'''
-
Efter detta avsnitt ska du ha lärt dig att:
+
Nach diesem Abschnitt solltest Du folgendes können:
-
*Känna till begreppen bas och exponent.
+
*Mit Basen und Exponenten rechnen
-
*Känna till beteckningarna <math>\ln</math>, <math>\lg</math>, <math>\log</math> och <math>\log_{a}</math>.
+
*Die Bedeutung der Ausdrücke <math>\ln</math>, <math>\lg</math>, <math>\log</math> und <math>\log_{a}</math> kennen.
-
*Beräkna enkla logaritmuttryck med hjälp av logaritmens definition.
+
*Einfache Logarithmen mit der Definition des Logarithmus berechnen.
-
*Logaritmen är bara definierad för positiva tal.
+
*Wissen, dass Logarithmen nur für positive Zahlen definiert sind.
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*Känna till talet <math>e</math>.
+
*Die Bedeutung der Zahl <math>e</math> kennen.
-
*Hantera logaritmlagarna i förenkling av logaritmuttryck.
+
*Die Logarithmengesetze verwenden, um logarithmische Ausdrücke zu vereinfachen.
-
*Veta när logaritmlagarna är giltiga.
+
*Wissen, wann die Logarithmengesetze gültig sind.
-
*Uttrycka en logaritm i termer av en logaritm med en annan bas.
+
*Basis von Logarithmen ändern
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*Lösa ekvationer som innehåller exponentialuttryck och som med logaritmering leder till förstagradsekvationer.
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*Avgöra vilket av två logaritmuttryck som är störst baserat på jämförelse av bas/argument.
+
}}
}}
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== Logaritmer med basen 10 ==
+
Die Lernziele sind Dir aus der Schule noch bestens vertraut und Du weißt ganz genau, wie man die zugehörigen Rechnungen ausführt? Dann kannst Du auch gleich mit den <b>Prüfungen</b> beginnen (Du findest den Link in der Student Lounge).
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== A - Logarithmus zur Basis 10 ==
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Oft verwendet man Potenzen mit der Basis <math>10</math>, um große Zahlen zu schreiben, zum Beispiel:
-
Man använder gärna potenser med basen <math>10</math> för att skriva stora och små tal, t.ex.
+
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align*}
-
+
10^3 &= 10 \cdot 10 \cdot 10 = 1000\,,\\
-
{{Fristående formel||<math>\begin{align*}
+
10^{-2} &= \frac{1}{10 \cdot 10} = \frac{1}{100} = 0\textrm{.}01\,\mbox{.}
-
10^3 &= 10 \cdot 10 \cdot 10 = 1000\,,\\
+
\end{align*}</math>}}
-
10^{-2} &= \frac{1}{10 \cdot 10} = \frac{1}{100} = 0{,}01\,\mbox{.}
+
-
\end{align*}</math>}}
+
-
Om man enbart betraktar exponenten skulle man i stället kunna säga att
+
Wenn man den Exponenten betrachten, sieht man, dass:
-
:::"exponenten för 1000 är 3", eller
+
:::"der Exponent von 1000 3 ist", oder dass
-
:::"exponenten för 0,01 är -2".
+
:::"der Exponent von 0,01 -2 ist".
-
Precis så är ''logaritmer'' definierade. Man uttrycker sig på följande sätt:
+
Genauso wird der Logarithmus definiert. Formaler geschrieben haben wir:
-
:::"''logaritmen'' för 1000 är 3", vilket skrivs <math>\lg 1000 = 3</math>,
+
:::"''Der Logarithmus'' von 1000 ist 3". Dies schreibt man <math>\lg 1000 = 3</math>,
-
:::"''logaritmen'' för 0,01 är -2", vilket skrivs <math>\lg 0{,}01 = -2</math>.
+
:::"''Der Logarithmus'' von 0.01 ist -2". Dies schreibt man <math>\lg 0\textrm{.}01 = -2</math>.
-
Mer allmänt kan man uttrycka sig:
+
Allgemeiner gilt folgendes:
-
:::Logaritmen av ett tal <math>y</math> betecknas med <math>\lg y</math> och är den exponent som ska stå i den blåa rutan i likheten
+
:::Der Logarithmus einer Zahl <math>y</math> wird <math>\lg y</math> genannt und ist der Exponent, der die Gleichung
-
{{Fristående formel||<math>10^{\ \bbox[#AAEEFF,2pt]{\,\phantom{a}\,}} = y\,\mbox{.} </math>}}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>10^{\ \bbox[#AAEEFF,2pt]{\,\phantom{a}\,}} = y\,\mbox{.} </math>}}
-
Notera här att <math>y</math> måste vara ett positivt tal för att logaritmen <math>\lg y</math> ska vara definerad, eftersom det inte finns någon potens av 10 som blir negativ eller noll.
+
erfüllt. <math>y</math> muss eine positive Zahl sein, damit der Logarithmus <math>\lg y</math> definiert sein soll, nachdem eine Potenz mit einer positiven Basis (wie 10) immer positiv ist.
<div class="exempel">
<div class="exempel">
-
'''Exempel 1'''
+
''' Beispiel 1'''
<ol type="a">
<ol type="a">
-
<li><math>\lg 100000 = 5\quad</math> eftersom <math>
+
<li><math>\lg 100000 = 5\quad</math> denn <math>
10^{\,\bbox[#AAEEFF,1pt]{\scriptstyle\,5\vphantom{,}\,}}
10^{\,\bbox[#AAEEFF,1pt]{\scriptstyle\,5\vphantom{,}\,}}
-
= 100\,000</math>.</li>
+
= 100\,000</math></li>
-
<li><math>\lg 0{,}0001 = -4\quad</math> eftersom <math>
+
<li><math>\lg 0\textrm{.}0001 = -4\quad</math> denn <math>
10^{\scriptstyle\,\bbox[#AAEEFF,1pt]{\,-4\vphantom{,}\,}}
10^{\scriptstyle\,\bbox[#AAEEFF,1pt]{\,-4\vphantom{,}\,}}
-
= 0{,}0001</math>.</li>
+
= 0\textrm{.}0001</math></li>
-
<li><math>\lg \sqrt{10} = \frac{1}{2}\quad</math> eftersom <math>
+
<li><math>\lg \sqrt{10} = \frac{1}{2}\quad</math> denn <math>
-
10^{\scriptstyle\,\bbox[#AAEEFF,1pt]{\,1/2\,}} = \sqrt{10}</math>.</li>
+
10^{\scriptstyle\,\bbox[#AAEEFF,1pt]{\,1/2\,}} = \sqrt{10}</math></li>
-
<li><math>\lg 1 = 0\quad</math> eftersom <math>
+
<li><math>\lg 1 = 0\quad</math> denn <math>
-
10^{\scriptstyle\,\bbox[#AAEEFF,1pt]{\,0\vphantom{,}\,}} = 1</math>.</li>
+
10^{\scriptstyle\,\bbox[#AAEEFF,1pt]{\,0\vphantom{,}\,}} = 1</math></li>
-
<li><math>\lg 10^{78} = 78\quad</math> eftersom <math>
+
<li><math>\lg 10^{78} = 78\quad</math> denn <math>
10^{\scriptstyle\,\bbox[#AAEEFF,1pt]{\,78\vphantom{,}\,}}
10^{\scriptstyle\,\bbox[#AAEEFF,1pt]{\,78\vphantom{,}\,}}
-
= 10^{78}</math>.</li>
+
= 10^{78}</math></li>
-
<li><math>\lg 50 \approx 1{,}699\quad</math> eftersom <math>
+
<li><math>\lg 50 \approx 1\textrm{.}699\quad</math> denn <math>
-
10^{\scriptstyle\,\bbox[#AAEEFF,1pt]{\,1{,}699\,}} \approx 50</math>.</li>
+
10^{\scriptstyle\,\bbox[#AAEEFF,1pt]{\,1\textrm{.}699\,}} \approx 50</math></li>
-
<li><math>\lg (-10)</math> existerar inte eftersom <math>
+
<li><math>\lg (-10)</math> existiert nicht, da <math>
-
10^{\scriptstyle\,\bbox[#AAEEFF,1pt]{\,a\vphantom{b,}\,}}</math> aldrig kan bli -10 oavsett hur <math>a</math> väljs.</li>
+
10^{\scriptstyle\,\bbox[#AAEEFF,1pt]{\,a\vphantom{b,}\,}}</math> nie -10 werden kann, egal wie man <math>a</math> wählt</li>
</ol>
</ol>
</div>
</div>
-
I det näst sista exemplet kan man snabbt inse att <math>\lg 50</math> måste ligga någonstans mellan 1 och 2 eftersom <math>10^1 < 50 < 10^2</math>, men för att få fram ett mer exakt värde på det irrationella talet <math>\lg 50 = 1{,}69897\ldots</math> behövs i praktiken en miniräknare (eller tabell.)
+
Im Beispiel oben kann man leicht sehen, dass <math>\lg 50</math> zwischen 1 und 2 liegen muss, nachdem <math>10^1 < 50 < 10^2</math>. Um einen genaueren Wert von <math>\lg 50 = 1\textrm{.}69897\ldots</math> zu erhalten, braucht man aber einen Taschenrechner.
<div class="exempel">
<div class="exempel">
-
'''Exempel 2'''
+
''' Beispiel 2'''
<ol type="a">
<ol type="a">
Zeile 86: Zeile 93:
-
== Olika baser ==
+
== B - Verschiedene Basen ==
-
Man kan tänka sig logaritmer som använder en annan bas än 10 (utom 1!). Man måste då tydligt ange vilket tal man använder som bas för logaritmen. Använder man t.ex. 2 som bas skriver man <math>\log_{\,2}</math> för "2-logaritmen".
+
Man kann auch Logarithmen für andere Basen als 10 definieren (außer die Basis 1). In diesem Fall muss man aber deutlich zeigen, welche Zahl die Basis ist. Wenn man zum Beispiel die Basis 2 benutzt, schreibt man <math>\log_{\,2}</math> und dies bedeutet "der Logarithmus zur Basis 2".
<div class="exempel">
<div class="exempel">
-
'''Exempel 3'''
+
''' Beispiel 3'''
<ol type="a">
<ol type="a">
-
<li><math>\log_{\,2} 8 = 3\quad</math> eftersom <math>
+
<li><math>\log_{\,2} 8 = 3\quad</math> denn <math>
2^{\scriptstyle\,\bbox[#AAEEFF,1pt]{\,3\vphantom{,}\,}} = 8</math>.</li>
2^{\scriptstyle\,\bbox[#AAEEFF,1pt]{\,3\vphantom{,}\,}} = 8</math>.</li>
-
<li><math>\log_{\,2} 2 = 1\quad</math> eftersom <math>
+
<li><math>\log_{\,2} 2 = 1\quad</math> denn <math>
2^{\scriptstyle\,\bbox[#AAEEFF,1pt]{\,1\vphantom{,}\,}} = 2</math>.</li>
2^{\scriptstyle\,\bbox[#AAEEFF,1pt]{\,1\vphantom{,}\,}} = 2</math>.</li>
-
<li><math>\log_{\,2} 1024 = 10\quad</math> eftersom <math>
+
<li><math>\log_{\,2} 1024 = 10\quad</math> denn <math>
2^{\scriptstyle\,\bbox[#AAEEFF,1pt]{\,10\vphantom{,}\,}} = 1024</math>.</li>
2^{\scriptstyle\,\bbox[#AAEEFF,1pt]{\,10\vphantom{,}\,}} = 1024</math>.</li>
-
<li><math>\log_{\,2}\frac{1}{4} = -2\quad</math> eftersom <math>
+
<li><math>\log_{\,2}\frac{1}{4} = -2\quad</math> denn <math>
2^{\scriptstyle\,\bbox[#AAEEFF,1pt]{\,-2\vphantom{,}\,}} = \frac{1}{2^2}
2^{\scriptstyle\,\bbox[#AAEEFF,1pt]{\,-2\vphantom{,}\,}} = \frac{1}{2^2}
= \frac{1}{4}</math>.</li>
= \frac{1}{4}</math>.</li>
Zeile 106: Zeile 113:
</div>
</div>
-
På samma sätt fungerar logaritmer i andra baser.
+
Die Rechnungen mit anderen Basen als 2 sind ganz ähnlich.
<div class="exempel">
<div class="exempel">
-
'''Exempel 4'''
+
''' Beispiel 4'''
<ol type="a">
<ol type="a">
-
<li><math> \log_{\,3} 9 = 2\quad</math> eftersom <math>
+
<li><math> \log_{\,3} 9 = 2\quad</math> denn <math>
3^{\scriptstyle\,\bbox[#AAEEFF,1pt]{\,2\vphantom{,}\,}} = 9</math>.</li>
3^{\scriptstyle\,\bbox[#AAEEFF,1pt]{\,2\vphantom{,}\,}} = 9</math>.</li>
-
<li><math> \log_{\,5} 125 = 3\quad</math> eftersom <math>
+
<li><math> \log_{\,5} 125 = 3\quad</math> denn <math>
5^{\scriptstyle\,\bbox[#AAEEFF,1pt]{\,3\vphantom{,}\,}} = 125</math>.</li>
5^{\scriptstyle\,\bbox[#AAEEFF,1pt]{\,3\vphantom{,}\,}} = 125</math>.</li>
-
<li><math> \log_{\,4} \frac{1}{16} = -2\quad</math> eftersom <math>
+
<li><math> \log_{\,4} \frac{1}{16} = -2\quad</math> denn <math>
4^{\scriptstyle\,\bbox[#AAEEFF,1pt]{\,-2\vphantom{,}\,}} = \frac{1}{4^2}
4^{\scriptstyle\,\bbox[#AAEEFF,1pt]{\,-2\vphantom{,}\,}} = \frac{1}{4^2}
= \frac{1}{16}</math>.</li>
= \frac{1}{16}</math>.</li>
<li><math> \log_{\,b} \frac{1}{\sqrt{b}} = -\frac{1}{2}\quad
<li><math> \log_{\,b} \frac{1}{\sqrt{b}} = -\frac{1}{2}\quad
-
</math> eftersom <math>b^{\scriptstyle\,\bbox[#AAEEFF,1pt]{\,-1/2\,}}
+
</math> denn <math>b^{\scriptstyle\,\bbox[#AAEEFF,1pt]{\,-1/2\,}}
-
= \frac{1}{b^{1/2}} = \frac{1}{\sqrt{b}}</math> (om <math>b>0</math> och <math>b\not=1</math>).</li>
+
= \frac{1}{b^{1/2}} = \frac{1}{\sqrt{b}}</math> (wenn <math>b>0</math> und <math>b\not=1</math>).</li>
</ol>
</ol>
</div>
</div>
-
Om basen 10 används, skriver man sällan <math>\log_{\,10}</math>, utan som vi tidigare sett lg, eller enbart log, vilket förekommer på många miniräknare.
+
Wenn man zur Basis 10 rechnet, schreibt man selten <math>\log_{\,10}</math>, sondern man schreibt ganz einfach lg oder log.
-
== Naturliga logaritmer ==
+
== C - Der natürliche Logarithmus ==
-
I praktiken är det två baser som oftast används för logaritmer, förutom 10 även talet <math>e</math> <math>({}\approx 2{,}71828 \ldots\,)</math>. Logaritmer med basen ''e'' kallas ''naturliga logaritmer'' och skrivs ln i stället för <math>\log_{\,e}</math>.
+
Die zwei am häufigsten verwendeten Logarithmen sind die mit der Basis 10, und der Zahl <math>e</math> <math>({}\approx 2\textrm{.}71828 \ldots\,)</math>. Die Logarithmen zur Basis ''e'' werden ''natürliche Logarithmen'' genannt. Statt <math>\log_{\,e}</math> schreibt man <math>\ln</math>, wenn man natürliche Logarithmen berechnet.
<div class="exempel">
<div class="exempel">
-
'''Exempel 5'''
+
''' Beispiel 5'''
<ol type="a">
<ol type="a">
-
<li><math> \ln 10 \approx 2{,}3\quad</math> eftersom <math>
+
<li><math> \ln 10 \approx 2{,}3\quad</math> denn <math>
e^{\scriptstyle\,\bbox[#AAEEFF,1pt]{\,2{,}3\,}} \approx 10</math>.</li>
e^{\scriptstyle\,\bbox[#AAEEFF,1pt]{\,2{,}3\,}} \approx 10</math>.</li>
-
<li><math> \ln e = 1\quad</math> eftersom <math>
+
<li><math> \ln e = 1\quad</math> denn <math>
e^{\scriptstyle\,\bbox[#AAEEFF,1pt]{\,1\vphantom{,}\,}} = e</math>.</li>
e^{\scriptstyle\,\bbox[#AAEEFF,1pt]{\,1\vphantom{,}\,}} = e</math>.</li>
-
<li><math> \ln\frac{1}{e^3} = -3\quad</math> eftersom <math>
+
<li><math> \ln\frac{1}{e^3} = -3\quad</math> denn <math>
e^{\scriptstyle\,\bbox[#AAEEFF,1pt]{\,-3\vphantom{,}\,}}
e^{\scriptstyle\,\bbox[#AAEEFF,1pt]{\,-3\vphantom{,}\,}}
= \frac{1}{e^3}</math>.</li>
= \frac{1}{e^3}</math>.</li>
-
<li><math> \ln 1 = 0\quad</math> eftersom <math>
+
<li><math> \ln 1 = 0\quad</math> denn <math> e^{\scriptstyle\,\bbox[#AAEEFF,1pt]{\,0\vphantom{,}\,}} = 1</math>.</li>
-
e^{\scriptstyle\,\bbox[#AAEEFF,1pt]{\,0\vphantom{,}\,}} = 1</math>.</li>
+
<li>Wenn <math>y= e^{\,a}</math> dann ist <math>a = \ln y</math>.</li>
-
<li>Om <math>y= e^{\,a}</math> så är <math>a = \ln y</math>.</li>
+
<li><math> e^{\,\bbox[#AAEEFF,1pt]{\,\ln 5\vphantom{,}\,}} = 5</math></li>
<li><math> e^{\,\bbox[#AAEEFF,1pt]{\,\ln 5\vphantom{,}\,}} = 5</math></li>
<li><math> e^{\,\bbox[#AAEEFF,1pt]{\,\ln x\vphantom{,}\,}} = x</math></li>
<li><math> e^{\,\bbox[#AAEEFF,1pt]{\,\ln x\vphantom{,}\,}} = x</math></li>
Zeile 151: Zeile 157:
</div>
</div>
-
På de flesta mer avancerade miniräknare finns vanligtvis knappar för 10-logaritmer och naturliga logaritmer.
+
Die meisten guten Taschenrechner können 10-Logarithmen und natürliche Logarithmen berechnen.
-
== Logaritmlagar ==
+
== D - Logarithmengesetze ==
-
Mellan år 1617 och 1624 publicerade Henry Biggs en logaritmtabell av alla heltal upp till 20 000 och år 1628 utökade Adriaan Vlacq tabellen till alla heltal upp till 100 000. Anledningen till att man la ned så enormt mycket arbete på sådana tabeller är att man med hjälp av logaritmer kan multiplicera ihop tal bara genom att addera ihop deras logaritmer (addition går mycket snabbare att utföra än multiplikation).
+
In den Jahren 1617-1624 veröffentlichte Henry Biggs eine Tabelle mit allen Logarithmen der Zahlen bis zu 20000, und im Jahr 1628 erweiterte Adriaan Vlacq die Tabelle mit Zahlen bis zu 100000. Der Grund dieser Riesenarbeit war, dass man statt zwei Zahlen zu multiplizieren, die Logarithmen der beiden Zahlen addieren kann und danach die Zahl aus dem Logarithmus berechnen kann (dies ist viel effektiver als die Zahlen direkt zu multiplizieren).
<div class="exempel">
<div class="exempel">
-
'''Exempel 6'''
+
''' Beispiel 6'''
-
Beräkna <math>\,35\cdot 54</math>.
+
Berechnen Sie <math>\,35\cdot 54</math>.
<br>
<br>
<br>
<br>
-
Om vi vet att <math>35 \approx 10^{\,1{,}5441}</math> och <math>54 \approx 10^{\,1{,}7324}</math> (dvs. <math>\lg 35 \approx 1{,}5441</math> och <math>\lg 54 \approx 1{,}7324</math>) då kan vi räkna ut att
+
Wenn wir wissen, dass <math>35 \approx 10^{\,1\textrm{.}5441}</math> und <math>54 \approx 10^{\,1\textrm{.}7324}</math> (also <math>\lg 35 \approx 1\textrm{.}5441</math> und <math>\lg 54 \approx 1\textrm{.}7324</math>), können wir das Produkt einfach berechnen:
-
{{Fristående formel||<math>
+
{{Abgesetzte Formel||<math>
-
35 \cdot 54 \approx 10^{\,1{,}5441} \cdot 10^{\,1{,}7324}
+
35 \cdot 54 \approx 10^{\,1\textrm{.}5441} \cdot 10^{\,1\textrm{.}7324}
-
= 10^{\,1{,}5441 + 1{,}7324}
+
= 10^{\,1\textrm{.}5441 + 1\textrm{.}7324}
-
= 10^{\,3{,}2765}</math>}}
+
= 10^{\,3\textrm{.}2765}\,.</math>}}
-
och vet vi sedan att <math>10^{\,3{,}2765} \approx 1890</math> (dvs. <math>\lg 1890 \approx 3{,}2765</math>) så har vi lyckats beräkna produkten
+
Wenn wir auch wissen, dass <math>10^{\,3\textrm{.}2765} \approx 1890</math> (also <math>\lg 1890 \approx 3\textrm{.}2765</math>) haben wir es geschafft, das Produkt
-
{{Fristående formel||<math>35 \cdot 54 = 1890</math>}}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>35 \cdot 54 = 1890</math>}}
-
och detta bara genom att addera ihop exponenterna <math>1{,}5441</math> och <math>1{,}7324</math>.
+
nur mit Addition der Exponenten <math>1\textrm{.}5441</math> und <math>1\textrm{.}7324</math> zu berechnen.
</div>
</div>
-
Detta är ett exempel på en logaritmlag som säger att
+
Dies ist ein Beispiel der Logarithmengesetze, nämlich
-
{{Fristående formel||<math>\log (ab) = \log a + \log b</math>}}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>\log (ab) = \log a + \log b</math>}}
-
och som följer av att å ena sidan är
+
Dies kommt von den Rechenregeln für Potenzen. Einerseits haben wir
-
{{Fristående formel||<math>
+
{{Abgesetzte Formel||<math>
-
a\cdot b = 10^{\textstyle\log a} \cdot 10^{\textstyle\log b}
+
a\cdot b = 10^{\textstyle\log a} \cdot 10^{\textstyle\log b} =
-
= \left\{ \mbox{potenslagarna} \right\}
+
10^{\,\bbox[#AAEEFF,1pt]{\,\log a+\log b\,}}</math>}}
-
= 10^{\,\bbox[#AAEEFF,1pt]{\,\log a+\log b\,}}</math>}}
+
-
och å andra sidan är
+
aber anderseits haben wir auch
-
{{Fristående formel||<math>
+
{{Abgesetzte Formel||<math>
-
a\cdot b = 10^{\,\bbox[#AAEEFF,1pt]{\,\log (ab)\,}}\,\mbox{.}</math>}}
+
a\cdot b = 10^{\,\bbox[#AAEEFF,1pt]{\,\log (ab)\,}}\,\mbox{.}</math>}}
-
Genom att utnyttja potenslagarna på detta sätt kan vi få fram motsvarande ''logaritmlagar'':
+
Mit den Rechenregeln für Potenzen kann man ähnlich folgende Logarithmengesetze herleiten:
<div class="regel">
<div class="regel">
-
{{Fristående formel||<math>\begin{align*}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align*}
-
\log(ab) &= \log a + \log b,\\[4pt]
+
\log(ab) &= \log a + \log b,\\[4pt]
-
\log\frac{a}{b} &= \log a - \log b,\\[4pt]
+
\log\frac{a}{b} &= \log a - \log b,\\[4pt]
-
\log a^b &= b\cdot \log a\,\mbox{.}\\
+
\log a^b &= b\cdot \log a\,\mbox{.}\\
-
\end{align*}</math>}}
+
\end{align*}</math>}}
</div>
</div>
-
Logaritmlagarna gäller oavsett bas.
+
Die Logarithmengesetze gelten unabhängig von der Basis.
<div class="exempel">
<div class="exempel">
-
'''Exempel 7'''
+
''' Beispiel 7'''
<ol type="a">
<ol type="a">
Zeile 218: Zeile 223:
<div class="exempel">
<div class="exempel">
-
'''Exempel 8'''
+
'''Beispiel 8'''
<ol type="a">
<ol type="a">
Zeile 252: Zeile 257:
-
== Byte av bas ==
+
== E - Basis ändern ==
-
Ibland kan det vara bra att kunna uttrycka en logaritm som en logaritm av en annan bas.
+
Manchmal will man Logarithmen in einer Basis als Logarithmen in einer anderen Basis schreiben.
<div class="exempel">
<div class="exempel">
-
'''Exempel 9'''
+
''' Beispiel 9'''
<ol type="a">
<ol type="a">
-
<li>Uttryck <math>\lg 5</math> i naturliga logaritmen.
+
<li> Schreibe <math>\lg 5</math> als einen natürlichen Logarithmus.
<br>
<br>
<br>
<br>
-
Per definition är <math>\lg 5</math> det tal som uppfyller likheten
+
Laut Definition ist <math>\lg 5</math> die Zahl, die die Gleichung
-
{{Fristående formel||<math>10^{\lg 5} = 5\,\mbox{.}</math>}}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>10^{\lg 5} = 5\,\mbox{.}</math>}}
-
Logaritmera båda led med ln (naturliga logaritmen)
+
erfüllt. Indem wir den natürlichen Logarithmus von beiden Seiten berechnen, erhalten wir
-
{{Fristående formel||<math>\ln 10^{\lg 5} = \ln 5\,\mbox{.}</math>}}
+
-
Med hjälp av logaritmlagen <math>\ln a^b = b \ln a</math> kan vänsterledet skrivas som <math>\lg 5 \cdot \ln 10</math> och likheten blir
+
{{Abgesetzte Formel||<math>\ln 10^{\lg 5} = \ln 5\,\mbox{.}</math>}}
-
{{Fristående formel||<math>\lg 5 \cdot \ln 10 = \ln 5\,\mbox{.}</math>}}
+
-
Dela nu båda led med <math>\ln 10</math> så får vi svaret
+
Mit dem Logarithmengesetz <math>\ln a^b = b \ln a</math> schreiben wir die linke Seite wie <math>\lg 5 \cdot \ln 10</math> und bekommen die Gleichung
-
{{Fristående formel||<math>
+
 
-
\lg 5 = \frac{\ln 5}{\ln 10}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>\lg 5 \cdot \ln 10 = \ln 5\,\mbox{.}</math>}}
-
\qquad (\approx 0{,}699\,,
+
 
-
\quad\text{dvs.}\ 10^{0{,}699} \approx 5)\,\mbox{.}
+
Division durch <math>\ln 10</math> ergibt die Antwort
 +
{{Abgesetzte Formel||<math>
 +
\lg 5 = \frac{\ln 5}{\ln 10}
 +
\qquad (\approx 0\textrm{.}699\,,
 +
\quad\text{also ist}\ 10^{0\textrm{.}699} \approx 5)\,\mbox{.}
</math>}}</li>
</math>}}</li>
-
<li> Uttryck 2-logaritmen för 100 i 10-logaritmen lg.
+
<li> Schreibe den 2-Logarithmus von 100 als einen 10-Logarithmus, lg.
<br>
<br>
<br>
<br>
-
Om vi skriver upp sambandet som definierar <math>\log_2 100</math>
+
Laut Definition des Logarithmus steht fest, dass <math>\log_2 100</math> die Gleichung
-
{{Fristående formel||<math>2^{\log_{\scriptstyle 2} 100} = 100</math>}}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>2^{\log_{\scriptstyle 2} 100} = 100</math>}}
-
och logaritmerar båda led med 10-logaritmen (lg) så får vi att
+
erfüllt. Wir logarithmieren beide Seiten (mit dem 10-Logarithmus) und erhalten
-
{{Fristående formel||<math>
+
{{Abgesetzte Formel||<math>
-
\lg 2^{\log_{\scriptstyle 2} 100} = \lg 100\,\mbox{.}</math>}}
+
\lg 2^{\log_{\scriptstyle 2} 100} = \lg 100\,\mbox{.}</math>}}
-
Eftersom <math>\lg a^b = b \lg a</math> så är <math>\lg 2^{\log_2 100} = \log_{\scriptstyle 2} 100 \cdot \lg 2</math> och högerledet kan förenklas till <math>\lg 100 = 2</math>. Detta ger oss likheten
+
Nachdem <math>\lg a^b = b \lg a</math>, erhalten wir <math>\lg 2^{\log_2 100} = \log_{\scriptstyle 2} 100 \cdot \lg 2</math> und die rechte Seite ist einfach <math>\lg 100 = 2</math>. Dies gibt die Gleichung
-
{{Fristående formel||<math>
+
{{Abgesetzte Formel||<math>
-
\log_{\scriptstyle 2} 100 \cdot \lg 2 = 2\,\mbox{.}</math>}}
+
\log_{\scriptstyle 2} 100 \cdot \lg 2 = 2\,\mbox{.}</math>}}
-
Division med <math>\lg 2</math> ger slutligen att
+
Mit Division durch <math>\lg 2</math> ergibt sich, dass
-
{{Fristående formel||<math>
+
{{Abgesetzte Formel||<math>
-
\log_{\scriptstyle 2} 100 = \frac{2}{\lg 2}
+
\log_{\scriptstyle 2} 100 = \frac{2}{\lg 2}
-
\qquad ({}\approx 6{,}64\,,
+
\qquad ({}\approx 6\textrm{.}64\,,
-
\quad\text{dvs.}\ 2^{6{,}64}\approx 100 )\,\mbox{.}</math>}}
+
\quad\text{also ist}\ 2^{6\textrm{.}64}\approx 100 )\,\mbox{.}</math>}}
</ol>
</ol>
</div>
</div>
-
Den allmänna formeln för byte från en bas <math>a</math> till en bas <math>b</math> kan härledas på samma sätt
+
Die allgemeine Formel, um die Basis von <math>a</math> zu <math>b</math> in Logarithmen zu ändern, lautet
-
{{Fristående formel||<math>
+
{{Abgesetzte Formel||<math>
-
\log_{\scriptstyle\,a} x
+
\log_{\scriptstyle\,a} x
-
= \frac{\log_{\scriptstyle\, b} x}{\log_{\scriptstyle\, b} a}
+
= \frac{\log_{\scriptstyle\, b} x}{\log_{\scriptstyle\, b} a}
-
\,\mbox{.}</math>}}
+
\,\mbox{.}</math>}}
-
Vill man byta bas i en potens kan man göra detta med hjälp av logaritmer. Om man exempelvis vill skriva <math> 2^5 </math> med basen 10 så skriver man först om 2 med basen 10,
+
Wenn wir zum Beispiel <math> 2^5 </math> zur Basis 10 schreiben möchten, schreiben wir zuerst 2 zur Basis 10
-
{{Fristående formel||<math>2 = 10^{\lg 2}</math>}}
+
-
och utnyttjar sedan en av potenslagarna
+
{{Abgesetzte Formel||<math>2 = 10^{\lg 2}</math>}}
-
{{Fristående formel||<math>
+
 
-
2^5 = (10^{\lg 2})^5 = 10^{5\cdot \lg 2}
+
und verwenden die Rechenregeln für Potenzen
-
\quad ({}\approx 10^{1,505}\,)\,\mbox{.}</math>}}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>
 +
2^5 = (10^{\lg 2})^5 = 10^{5\cdot \lg 2}
 +
\quad ({}\approx 10^{1\textrm{.}505}\,)\,\mbox{.}</math>}}
<div class="exempel">
<div class="exempel">
-
'''Exempel 10'''
+
''' Beispiel 10'''
<ol type="a">
<ol type="a">
-
<li>Skriv <math> 10^x </math> med basen ''e''.
+
<li>Schreibe <math> 10^x </math> zur natürlichen Basis ''e''.
<br>
<br>
<br>
<br>
-
Först skriver vi 10 som en potens av ''e'',
+
Zuerst schreiben wir 10 zur Basis ''e'',
-
{{Fristående formel||<math>10 = e^{\ln 10}</math>}}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>10 = e^{\ln 10}</math>}}
-
och använder sedan potenslagarna
+
und verwenden die Rechenregeln für Potenzen
-
{{Fristående formel||<math>
+
{{Abgesetzte Formel||<math>
-
10^x = (e^{\ln 10})^x = e^{\,x \cdot \ln 10}
+
10^x = (e^{\ln 10})^x = e^{\,x \cdot \ln 10}
-
\approx e^{2{,}3 x}\,\mbox{.}</math>}}</li>
+
\approx e^{2\textrm{.}3 x}\,\mbox{.}</math>}}</li>
-
<li>Skriv <math>e^{\,a}</math> med basen 10.
+
<li> Schreibe <math>e^{\,a}</math> zur Basis 10
<br>
<br>
<br>
<br>
-
Talet <math>e</math> kan vi skriva som <math>e=10^{\lg e}</math> och därför är
+
Die Zahl <math>e</math> kann wie <math>e=10^{\lg e}</math> geschrieben, und daher ist
-
{{Fristående formel||<math>
+
{{Abgesetzte Formel||<math>
-
e^a = (10^{\lg e})^a
+
e^a = (10^{\lg e})^a
-
= 10^{\,a \cdot \lg e}
+
= 10^{\,a \cdot \lg e}
-
\approx 10^{\,0{,}434a}\,\mbox{.}</math>}}
+
\approx 10^{\,0\textrm{.}434a}\,\mbox{.}</math>}}
</ol>
</ol>
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Noch Fragen zu diesem Kapitel? Dann schau nach im Kursforum (Du findest den Link in der Student Lounge) oder frag nach per Skype bei ombTutor <skype style="call" action="call">ombTutor</skype> <skype style="chat" action="chat">ombTutor</skype>
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[[3.3 Övningar|Övningar]]
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Keine Fragen mehr? Dann mache weiter mit den '''[[3.3 Übungen|Übungen]]''' .
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<div class="inforuta">
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'''Råd för inläsning'''
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'''Grund- och slutprov'''
 
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Efter att du har läst texten och arbetat med övningarna ska du göra grund- och slutprovet för att bli godkänd på detta avsnitt. Du hittar länken till proven i din student lounge.
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<div class="inforuta" style="width:580px;">
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'''Tipps fürs Lernen'''
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'''Diagnostische Prüfung und Schlussprüfung'''
-
'''Tänk på att:'''
+
Nachdem du mit der Theorie und den Übungen fertig bist, solltest Du die diagnostische Prüfung und die Schlussprüfung machen. Du findest die Links zu den Prüfungen in Deiner "Student Lounge".
-
Du kan behöva lägga ner mycket tid på logaritmer.
+
'''Bedenke folgendes: '''
-
Logaritmer brukar behandlas översiktligt i gymnasiet. Därför brukar många högskolestudenter stöta på problem när det gäller att räkna med logaritmer.
+
Lerne die Logarithmengesetze ordentlich.
 +
Viele StudentenInnen an den Universitäten haben Schwierigkeiten mit den Logarithmengesetzen.
-
'''Lästips'''
 
-
För dig som vill fördjupa dig ytterligare eller behöver en längre förklaring
+
'''Literaturhinweise'''
 +
Für die, die tiefer in die Materie einsteigen wollen, sind hier einige Links angeführt:
-
[http://en.wikipedia.org/wiki/Logarithm Läs mer om logaritmer på engelska Wikipedia]
 
-
[http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/HistTopics/e.html Läs mer om Talet ''e'' i The MacTutor History of Mathematics archive]
+
[http://de.wikipedia.org/wiki/Logarithmus Mehr über Logarithmen in der Wikipedia ]
 +
[http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/HistTopics/e.html Mehr über die Zahl ''e'' im "The MacTutor History of Mathematics" Archiv (engl.) ]
-
'''Länktips'''
+
'''Nützliche Websites'''
-
[http://www.ltcconline.net/greenl/java/IntermedCollegeAlgebra/LogGraph/logGraph.html Experimentera med logaritmer och potenser]
+
[http://www.ltcconline.net/greenl/java/IntermedCollegeAlgebra/LogGraph/logGraph.html Experimente mit Logarithmen und Potenzen (engl.) ]
-
[http://www.ltcconline.net/greenl/java/IntermedCollegeAlgebra/LogConcentration/LogConcentration.htm Spela logaritm Memory]
+
[http://www.ltcconline.net/greenl/java/IntermedCollegeAlgebra/LogConcentration/LogConcentration.htm Spiel logarithmus Memory (engl.)]
-
[http://www.ltcconline.net/greenl/java/IntermedCollegeAlgebra/logger.htm Hjälp grodan hoppa till sitt näckrosblad i "log"-spelet ]
+
[http://www.ltcconline.net/greenl/java/IntermedCollegeAlgebra/logger.htm Hilf dem Frosch auf seine Seerose im "log"-Spiel (engl.)]
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Aktuelle Version

       Theorie          Übungen      

Inhalt:

  • Logarithmen
  • Die Logarithmengesetze

Lernziele:

Nach diesem Abschnitt solltest Du folgendes können:

  • Mit Basen und Exponenten rechnen
  • Die Bedeutung der Ausdrücke \displaystyle \ln, \displaystyle \lg, \displaystyle \log und \displaystyle \log_{a} kennen.
  • Einfache Logarithmen mit der Definition des Logarithmus berechnen.
  • Wissen, dass Logarithmen nur für positive Zahlen definiert sind.
  • Die Bedeutung der Zahl \displaystyle e kennen.
  • Die Logarithmengesetze verwenden, um logarithmische Ausdrücke zu vereinfachen.
  • Wissen, wann die Logarithmengesetze gültig sind.
  • Basis von Logarithmen ändern

Die Lernziele sind Dir aus der Schule noch bestens vertraut und Du weißt ganz genau, wie man die zugehörigen Rechnungen ausführt? Dann kannst Du auch gleich mit den Prüfungen beginnen (Du findest den Link in der Student Lounge).

A - Logarithmus zur Basis 10

Oft verwendet man Potenzen mit der Basis \displaystyle 10, um große Zahlen zu schreiben, zum Beispiel:

\displaystyle \begin{align*}

10^3 &= 10 \cdot 10 \cdot 10 = 1000\,,\\ 10^{-2} &= \frac{1}{10 \cdot 10} = \frac{1}{100} = 0\textrm{.}01\,\mbox{.} \end{align*}

Wenn man den Exponenten betrachten, sieht man, dass:

"der Exponent von 1000 3 ist", oder dass
"der Exponent von 0,01 -2 ist".

Genauso wird der Logarithmus definiert. Formaler geschrieben haben wir:

"Der Logarithmus von 1000 ist 3". Dies schreibt man \displaystyle \lg 1000 = 3,
"Der Logarithmus von 0.01 ist -2". Dies schreibt man \displaystyle \lg 0\textrm{.}01 = -2.

Allgemeiner gilt folgendes:

Der Logarithmus einer Zahl \displaystyle y wird \displaystyle \lg y genannt und ist der Exponent, der die Gleichung
\displaystyle 10^{\ \bbox[#AAEEFF,2pt]{\,\phantom{a}\,}} = y\,\mbox{.}

erfüllt. \displaystyle y muss eine positive Zahl sein, damit der Logarithmus \displaystyle \lg y definiert sein soll, nachdem eine Potenz mit einer positiven Basis (wie 10) immer positiv ist.

Beispiel 1

  1. \displaystyle \lg 100000 = 5\quad denn \displaystyle 10^{\,\bbox[#AAEEFF,1pt]{\scriptstyle\,5\vphantom{,}\,}} = 100\,000
  2. \displaystyle \lg 0\textrm{.}0001 = -4\quad denn \displaystyle 10^{\scriptstyle\,\bbox[#AAEEFF,1pt]{\,-4\vphantom{,}\,}} = 0\textrm{.}0001
  3. \displaystyle \lg \sqrt{10} = \frac{1}{2}\quad denn \displaystyle 10^{\scriptstyle\,\bbox[#AAEEFF,1pt]{\,1/2\,}} = \sqrt{10}
  4. \displaystyle \lg 1 = 0\quad denn \displaystyle 10^{\scriptstyle\,\bbox[#AAEEFF,1pt]{\,0\vphantom{,}\,}} = 1
  5. \displaystyle \lg 10^{78} = 78\quad denn \displaystyle 10^{\scriptstyle\,\bbox[#AAEEFF,1pt]{\,78\vphantom{,}\,}} = 10^{78}
  6. \displaystyle \lg 50 \approx 1\textrm{.}699\quad denn \displaystyle 10^{\scriptstyle\,\bbox[#AAEEFF,1pt]{\,1\textrm{.}699\,}} \approx 50
  7. \displaystyle \lg (-10) existiert nicht, da \displaystyle 10^{\scriptstyle\,\bbox[#AAEEFF,1pt]{\,a\vphantom{b,}\,}} nie -10 werden kann, egal wie man \displaystyle a wählt

Im Beispiel oben kann man leicht sehen, dass \displaystyle \lg 50 zwischen 1 und 2 liegen muss, nachdem \displaystyle 10^1 < 50 < 10^2. Um einen genaueren Wert von \displaystyle \lg 50 = 1\textrm{.}69897\ldots zu erhalten, braucht man aber einen Taschenrechner.

Beispiel 2

  1. \displaystyle 10^{\textstyle\,\lg 100} = 100
  2. \displaystyle 10^{\textstyle\,\lg a} = a
  3. \displaystyle 10^{\textstyle\,\lg 50} = 50


B - Verschiedene Basen

Man kann auch Logarithmen für andere Basen als 10 definieren (außer die Basis 1). In diesem Fall muss man aber deutlich zeigen, welche Zahl die Basis ist. Wenn man zum Beispiel die Basis 2 benutzt, schreibt man \displaystyle \log_{\,2} und dies bedeutet "der Logarithmus zur Basis 2".

Beispiel 3

  1. \displaystyle \log_{\,2} 8 = 3\quad denn \displaystyle 2^{\scriptstyle\,\bbox[#AAEEFF,1pt]{\,3\vphantom{,}\,}} = 8.
  2. \displaystyle \log_{\,2} 2 = 1\quad denn \displaystyle 2^{\scriptstyle\,\bbox[#AAEEFF,1pt]{\,1\vphantom{,}\,}} = 2.
  3. \displaystyle \log_{\,2} 1024 = 10\quad denn \displaystyle 2^{\scriptstyle\,\bbox[#AAEEFF,1pt]{\,10\vphantom{,}\,}} = 1024.
  4. \displaystyle \log_{\,2}\frac{1}{4} = -2\quad denn \displaystyle 2^{\scriptstyle\,\bbox[#AAEEFF,1pt]{\,-2\vphantom{,}\,}} = \frac{1}{2^2} = \frac{1}{4}.

Die Rechnungen mit anderen Basen als 2 sind ganz ähnlich.

Beispiel 4

  1. \displaystyle \log_{\,3} 9 = 2\quad denn \displaystyle 3^{\scriptstyle\,\bbox[#AAEEFF,1pt]{\,2\vphantom{,}\,}} = 9.
  2. \displaystyle \log_{\,5} 125 = 3\quad denn \displaystyle 5^{\scriptstyle\,\bbox[#AAEEFF,1pt]{\,3\vphantom{,}\,}} = 125.
  3. \displaystyle \log_{\,4} \frac{1}{16} = -2\quad denn \displaystyle 4^{\scriptstyle\,\bbox[#AAEEFF,1pt]{\,-2\vphantom{,}\,}} = \frac{1}{4^2} = \frac{1}{16}.
  4. \displaystyle \log_{\,b} \frac{1}{\sqrt{b}} = -\frac{1}{2}\quad denn \displaystyle b^{\scriptstyle\,\bbox[#AAEEFF,1pt]{\,-1/2\,}} = \frac{1}{b^{1/2}} = \frac{1}{\sqrt{b}} (wenn \displaystyle b>0 und \displaystyle b\not=1).

Wenn man zur Basis 10 rechnet, schreibt man selten \displaystyle \log_{\,10}, sondern man schreibt ganz einfach lg oder log.


C - Der natürliche Logarithmus

Die zwei am häufigsten verwendeten Logarithmen sind die mit der Basis 10, und der Zahl \displaystyle e \displaystyle ({}\approx 2\textrm{.}71828 \ldots\,). Die Logarithmen zur Basis e werden natürliche Logarithmen genannt. Statt \displaystyle \log_{\,e} schreibt man \displaystyle \ln, wenn man natürliche Logarithmen berechnet.

Beispiel 5

  1. \displaystyle \ln 10 \approx 2{,}3\quad denn \displaystyle e^{\scriptstyle\,\bbox[#AAEEFF,1pt]{\,2{,}3\,}} \approx 10.
  2. \displaystyle \ln e = 1\quad denn \displaystyle e^{\scriptstyle\,\bbox[#AAEEFF,1pt]{\,1\vphantom{,}\,}} = e.
  3. \displaystyle \ln\frac{1}{e^3} = -3\quad denn \displaystyle e^{\scriptstyle\,\bbox[#AAEEFF,1pt]{\,-3\vphantom{,}\,}} = \frac{1}{e^3}.
  4. \displaystyle \ln 1 = 0\quad denn \displaystyle e^{\scriptstyle\,\bbox[#AAEEFF,1pt]{\,0\vphantom{,}\,}} = 1.
  5. Wenn \displaystyle y= e^{\,a} dann ist \displaystyle a = \ln y.
  6. \displaystyle e^{\,\bbox[#AAEEFF,1pt]{\,\ln 5\vphantom{,}\,}} = 5
  7. \displaystyle e^{\,\bbox[#AAEEFF,1pt]{\,\ln x\vphantom{,}\,}} = x

Die meisten guten Taschenrechner können 10-Logarithmen und natürliche Logarithmen berechnen.


D - Logarithmengesetze

In den Jahren 1617-1624 veröffentlichte Henry Biggs eine Tabelle mit allen Logarithmen der Zahlen bis zu 20000, und im Jahr 1628 erweiterte Adriaan Vlacq die Tabelle mit Zahlen bis zu 100000. Der Grund dieser Riesenarbeit war, dass man statt zwei Zahlen zu multiplizieren, die Logarithmen der beiden Zahlen addieren kann und danach die Zahl aus dem Logarithmus berechnen kann (dies ist viel effektiver als die Zahlen direkt zu multiplizieren).

Beispiel 6

Berechnen Sie \displaystyle \,35\cdot 54.

Wenn wir wissen, dass \displaystyle 35 \approx 10^{\,1\textrm{.}5441} und \displaystyle 54 \approx 10^{\,1\textrm{.}7324} (also \displaystyle \lg 35 \approx 1\textrm{.}5441 und \displaystyle \lg 54 \approx 1\textrm{.}7324), können wir das Produkt einfach berechnen:

\displaystyle

35 \cdot 54 \approx 10^{\,1\textrm{.}5441} \cdot 10^{\,1\textrm{.}7324} = 10^{\,1\textrm{.}5441 + 1\textrm{.}7324} = 10^{\,3\textrm{.}2765}\,.

Wenn wir auch wissen, dass \displaystyle 10^{\,3\textrm{.}2765} \approx 1890 (also \displaystyle \lg 1890 \approx 3\textrm{.}2765) haben wir es geschafft, das Produkt

\displaystyle 35 \cdot 54 = 1890

nur mit Addition der Exponenten \displaystyle 1\textrm{.}5441 und \displaystyle 1\textrm{.}7324 zu berechnen.

Dies ist ein Beispiel der Logarithmengesetze, nämlich

\displaystyle \log (ab) = \log a + \log b

Dies kommt von den Rechenregeln für Potenzen. Einerseits haben wir

\displaystyle

a\cdot b = 10^{\textstyle\log a} \cdot 10^{\textstyle\log b} = 10^{\,\bbox[#AAEEFF,1pt]{\,\log a+\log b\,}}

aber anderseits haben wir auch

\displaystyle

a\cdot b = 10^{\,\bbox[#AAEEFF,1pt]{\,\log (ab)\,}}\,\mbox{.}

Mit den Rechenregeln für Potenzen kann man ähnlich folgende Logarithmengesetze herleiten:

\displaystyle \begin{align*}

\log(ab) &= \log a + \log b,\\[4pt] \log\frac{a}{b} &= \log a - \log b,\\[4pt] \log a^b &= b\cdot \log a\,\mbox{.}\\ \end{align*}

Die Logarithmengesetze gelten unabhängig von der Basis.

Beispiel 7

  1. \displaystyle \lg 4 + \lg 7 = \lg(4 \cdot 7) = \lg 28
  2. \displaystyle \lg 6 - \lg 3 = \lg\frac{6}{3} = \lg 2
  3. \displaystyle 2 \cdot \lg 5 = \lg 5^2 = \lg 25
  4. \displaystyle \lg 200 = \lg(2 \cdot 100) = \lg 2 + \lg 100 = \lg 2 + 2

Beispiel 8

  1. \displaystyle \lg 9 + \lg 1000 - \lg 3 + \lg 0{,}001 = \lg 9 + 3 - \lg 3 - 3 = \lg 9- \lg 3 = \lg \displaystyle \frac{9}{3} = \lg 3
  2. \displaystyle \ln\frac{1}{e} + \ln \sqrt{e} = \ln\left(\frac{1}{e} \cdot \sqrt{e}\,\right) = \ln\left( \frac{1}{(\sqrt{e}\,)^2} \cdot \sqrt{e}\,\right) = \ln\frac{1}{\sqrt{e}}
    \displaystyle \phantom{\ln\frac{1}{e} + \ln \sqrt{e}}{} = \ln e^{-1/2} = -\frac{1}{2} \cdot \ln e =-\frac{1}{2} \cdot 1 = -\frac{1}{2}\vphantom{\biggl(}
  3. \displaystyle \log_2 36 - \frac{1}{2} \log_2 81 = \log_2 (6 \cdot 6) - \frac{1}{2} \log_2 (9 \cdot 9)
    \displaystyle \phantom{\log_2 36 - \frac{1}{2} \log_2 81}{} = \log_2 (2\cdot 2 \cdot 3 \cdot 3) - \frac{1}{2} \log_2 (3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3)
    \displaystyle \phantom{\log_2 36 - \frac{1}{2} \log_2 81}{} = \log_2 (2^2 \cdot 3^2) - \frac{1}{2} \log_2 (3^4)\vphantom{\Bigl(}
    \displaystyle \phantom{\log_2 36 - \frac{1}{2} \log_2 81}{} = \log_2 2^2 + \log_2 3^2 - \frac{1}{2} \log_2 3^4
    \displaystyle \phantom{\log_2 36 - \frac{1}{2} \log_2 81}{} = 2 \log_2 2 + 2 \log_2 3 - \frac{1}{2} \cdot 4 \log_2 3
    \displaystyle \phantom{\log_2 36 - \frac{1}{2} \log_2 81}{} = 2\cdot 1 + 2 \log_2 3 - 2 \log_2 3 = 2\vphantom{\Bigl(}
  4. \displaystyle \lg a^3 - 2 \lg a + \lg\frac{1}{a} = 3 \lg a - 2 \lg a + \lg a^{-1}
    \displaystyle \phantom{\lg a^3 - 2 \lg a + \lg\frac{1}{a}}{} = (3-2)\lg a + (-1) \lg a = \lg a - \lg a = 0


E - Basis ändern

Manchmal will man Logarithmen in einer Basis als Logarithmen in einer anderen Basis schreiben.

Beispiel 9

  1. Schreibe \displaystyle \lg 5 als einen natürlichen Logarithmus.

    Laut Definition ist \displaystyle \lg 5 die Zahl, die die Gleichung
    \displaystyle 10^{\lg 5} = 5\,\mbox{.}

    erfüllt. Indem wir den natürlichen Logarithmus von beiden Seiten berechnen, erhalten wir

    \displaystyle \ln 10^{\lg 5} = \ln 5\,\mbox{.}

    Mit dem Logarithmengesetz \displaystyle \ln a^b = b \ln a schreiben wir die linke Seite wie \displaystyle \lg 5 \cdot \ln 10 und bekommen die Gleichung

    \displaystyle \lg 5 \cdot \ln 10 = \ln 5\,\mbox{.}

    Division durch \displaystyle \ln 10 ergibt die Antwort

    \displaystyle

    \lg 5 = \frac{\ln 5}{\ln 10} \qquad (\approx 0\textrm{.}699\,, \quad\text{also ist}\ 10^{0\textrm{.}699} \approx 5)\,\mbox{.}

  2. Schreibe den 2-Logarithmus von 100 als einen 10-Logarithmus, lg.

    Laut Definition des Logarithmus steht fest, dass \displaystyle \log_2 100 die Gleichung
    \displaystyle 2^{\log_{\scriptstyle 2} 100} = 100

    erfüllt. Wir logarithmieren beide Seiten (mit dem 10-Logarithmus) und erhalten

    \displaystyle

    \lg 2^{\log_{\scriptstyle 2} 100} = \lg 100\,\mbox{.}

    Nachdem \displaystyle \lg a^b = b \lg a, erhalten wir \displaystyle \lg 2^{\log_2 100} = \log_{\scriptstyle 2} 100 \cdot \lg 2 und die rechte Seite ist einfach \displaystyle \lg 100 = 2. Dies gibt die Gleichung

    \displaystyle

    \log_{\scriptstyle 2} 100 \cdot \lg 2 = 2\,\mbox{.}

    Mit Division durch \displaystyle \lg 2 ergibt sich, dass

    \displaystyle

    \log_{\scriptstyle 2} 100 = \frac{2}{\lg 2} \qquad ({}\approx 6\textrm{.}64\,, \quad\text{also ist}\ 2^{6\textrm{.}64}\approx 100 )\,\mbox{.}

Die allgemeine Formel, um die Basis von \displaystyle a zu \displaystyle b in Logarithmen zu ändern, lautet

\displaystyle

\log_{\scriptstyle\,a} x = \frac{\log_{\scriptstyle\, b} x}{\log_{\scriptstyle\, b} a} \,\mbox{.}

Wenn wir zum Beispiel \displaystyle 2^5 zur Basis 10 schreiben möchten, schreiben wir zuerst 2 zur Basis 10

\displaystyle 2 = 10^{\lg 2}

und verwenden die Rechenregeln für Potenzen

\displaystyle

2^5 = (10^{\lg 2})^5 = 10^{5\cdot \lg 2} \quad ({}\approx 10^{1\textrm{.}505}\,)\,\mbox{.}

Beispiel 10

  1. Schreibe \displaystyle 10^x zur natürlichen Basis e.

    Zuerst schreiben wir 10 zur Basis e,
    \displaystyle 10 = e^{\ln 10}

    und verwenden die Rechenregeln für Potenzen

    \displaystyle

    10^x = (e^{\ln 10})^x = e^{\,x \cdot \ln 10} \approx e^{2\textrm{.}3 x}\,\mbox{.}

  2. Schreibe \displaystyle e^{\,a} zur Basis 10

    Die Zahl \displaystyle e kann wie \displaystyle e=10^{\lg e} geschrieben, und daher ist
    \displaystyle

    e^a = (10^{\lg e})^a = 10^{\,a \cdot \lg e} \approx 10^{\,0\textrm{.}434a}\,\mbox{.}



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Tipps fürs Lernen

Diagnostische Prüfung und Schlussprüfung

Nachdem du mit der Theorie und den Übungen fertig bist, solltest Du die diagnostische Prüfung und die Schlussprüfung machen. Du findest die Links zu den Prüfungen in Deiner "Student Lounge".

Bedenke folgendes:

Lerne die Logarithmengesetze ordentlich.

Viele StudentenInnen an den Universitäten haben Schwierigkeiten mit den Logarithmengesetzen.


Literaturhinweise Für die, die tiefer in die Materie einsteigen wollen, sind hier einige Links angeführt:


Mehr über Logarithmen in der Wikipedia

Mehr über die Zahl e im "The MacTutor History of Mathematics" Archiv (engl.)

Nützliche Websites

Experimente mit Logarithmen und Potenzen (engl.)

Spiel logarithmus Memory (engl.)

Hilf dem Frosch auf seine Seerose im "log"-Spiel (engl.)

Von „http://wiki.sommarmatte.se/wikis/2009/bridgecourse1-TU-Berlin/index.php/3.3_Logarithmen“