Lösung 4.2:3e

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If we draw the line which has angle <math>3\pi/4</math> relative to the positive ''x''-axis, it will cut the unit circle in the second quadrant.
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Die Gerade mit dem Winkel <math>3\pi/4</math> zur positiven ''x''-Achse wird den Einheitskreis im zweiten Quadranten schneiden.
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[[Image:4_2_3_e1.gif|center]]
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<center>{{:4.2.3e - Solution - The unit circle with angle 3π/4 and point (cos (3π/4), sin (3π/4))}}</center>
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At first sight, the figure gives information about the signs of <math>\cos (3\pi/4)</math> and <math>\sin (3\pi/4)</math>: cosine, which is the ''x''-coordinate for the intersection point, is negative, whereas sine, which is the ''y''-coordinate for the intersection point, is positive.
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Nachdem die ''y''-Koordinate vom Schnittpunkt positiv ist, ist auch <math>\sin (3\pi/4)</math> positiv.
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In order to go further and determine the coordinates of the intersection points, we concentrate on the second quadrant and introduce an auxiliary triangle which has the line associated with the angle as the hypotenuse and its other edges parallel to the coordinate axes.
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Wir betrachten das Dreieck im zweiten Quadrant, das die Gerade mit dem Winkel <math>\sin (3\pi/4)</math> zur ''x''-Achse als Hypotenuse hat und bei dem die Katheten parallel mit den Koordinatenachsen sind:
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[[Image:4_2_3_e_2.gif|center]]
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<center>{{:4.2.3e - Solution - An auxiliary triangle in the second quadrant}}</center>
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In this triangle, we see that the angle <math>\alpha</math> between the hypotenuse and the ''y''-axis is the part of the angle <math>3\pi/4</math> that lies in the second quadrant, i.e. <math>\alpha = 3\pi/4 - \pi/2 = \pi/4\,</math>. With the help of trigonometry, we can now determine the triangle's sides.
+
In diesen Dreieck sehen wir, dass der Winkel <math>\alpha</math> zwischen der Hypotenuse und der ''y''-Achse der Teil des Winkels <math>3\pi/4</math> ist, der im zweiten Quadranten liegt. Also ist <math>\alpha = 3\pi/4 - \pi/2 = \pi/4\,</math>. Wir können nun die Seiten des Dreiecks berechnen:
{| width="100%"
{| width="100%"
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|width="50%" align="center"|[[Image:4_2_3_e3.gif|center]]
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|width="50%" align="center"|{{:4.2.3e - Solution - A triangle with hypotenuse 1 and angle π/4}}
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|width="50%" align="left"|<math>\begin{align}\text{opposite} &= 1\cdot\sin\frac{\pi}{4} = \frac{1}{\sqrt{2}}\\[5pt] \text{adjacent} &= 1\cdot\cos\frac{\pi}{4} = \frac{1}{\sqrt{2}}\end{align}</math>
+
|width="50%" align="left"|<math>\begin{align}\text{Gegenkathete} &= 1\cdot\sin\frac{\pi}{4} = \frac{1}{\sqrt{2}}\\[5pt] \text{Ankathete} &= 1\cdot\cos\frac{\pi}{4} = \frac{1}{\sqrt{2}}\end{align}</math>
|}
|}
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This shows that the intersection point has coordinates
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Also hat die Schnittstelle zwischen der geraden und dem Einheitskreis die Koordinaten
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<math>(-1/\!\sqrt{2}, 1/\!\sqrt{2})</math> (note the minus sign in the ''x''-coordinate) and therefore that <math>\sin (3\pi/4) = 1/\!\sqrt{2}\,</math>.
+
<math>(-1/\!\sqrt{2}, 1/\!\sqrt{2})</math>, somit ist <math>\sin (3\pi/4) = 1/\!\sqrt{2}\,</math>.

Aktuelle Version

Die Gerade mit dem Winkel \displaystyle 3\pi/4 zur positiven x-Achse wird den Einheitskreis im zweiten Quadranten schneiden.

[Image]

Nachdem die y-Koordinate vom Schnittpunkt positiv ist, ist auch \displaystyle \sin (3\pi/4) positiv.

Wir betrachten das Dreieck im zweiten Quadrant, das die Gerade mit dem Winkel \displaystyle \sin (3\pi/4) zur x-Achse als Hypotenuse hat und bei dem die Katheten parallel mit den Koordinatenachsen sind:

[Image]

In diesen Dreieck sehen wir, dass der Winkel \displaystyle \alpha zwischen der Hypotenuse und der y-Achse der Teil des Winkels \displaystyle 3\pi/4 ist, der im zweiten Quadranten liegt. Also ist \displaystyle \alpha = 3\pi/4 - \pi/2 = \pi/4\,. Wir können nun die Seiten des Dreiecks berechnen:

[Image]

\displaystyle \begin{align}\text{Gegenkathete} &= 1\cdot\sin\frac{\pi}{4} = \frac{1}{\sqrt{2}}\\[5pt] \text{Ankathete} &= 1\cdot\cos\frac{\pi}{4} = \frac{1}{\sqrt{2}}\end{align}

Also hat die Schnittstelle zwischen der geraden und dem Einheitskreis die Koordinaten \displaystyle (-1/\!\sqrt{2}, 1/\!\sqrt{2}), somit ist \displaystyle \sin (3\pi/4) = 1/\!\sqrt{2}\,.

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