Aus Online Mathematik Brückenkurs 1

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-	In the equation, both sides are positive because the factors <math>e^{x}</math> and <math>3^{-x}</math> are positive regardless of the value of <math>x</math> (a positive base raised to a number always gives a positive number). We can therefore take the natural logarithm of both sides,	+	Beide Seiten der Gleichung sind positiv, nachdem <math>e^{x}</math> und <math>3^{-x}</math> für alle <math>x</math> positiv sind. Daher können wir beide Seiten logarithmieren
	{{Abgesetzte Formel||<math>\ln\bigl(13e^{x}\bigr) = \ln\bigl(2\cdot 3^{-x}\bigr)\,\textrm{.}</math>}}		{{Abgesetzte Formel||<math>\ln\bigl(13e^{x}\bigr) = \ln\bigl(2\cdot 3^{-x}\bigr)\,\textrm{.}</math>}}
-	Using the log laws, we can divide up the products into several logarithmic terms,	+	Wir benutzen die Logarithmusgesetze und erhalten
-	{{Abgesetzte Formel||<math>\ln 13+\ln e^{x} =\ln 2+\ln 3^{-x},</math>}}	+	{{Abgesetzte Formel||<math>\ln 13+\ln e^{x} =\ln 2+\ln 3^{-x}</math>}}
-	and using the law <math>\ln a^{b}=b\cdot \ln a</math>, we can get rid of <math>x</math> from the exponents	+	und
	{{Abgesetzte Formel||<math>\ln 13 + x\ln e = \ln 2 + (-x)\ln 3\,\textrm{.}</math>}}		{{Abgesetzte Formel||<math>\ln 13 + x\ln e = \ln 2 + (-x)\ln 3\,\textrm{.}</math>}}
-	Collect <math>x</math> on one side and the other terms on the other,	+	Wir schreiben alle <math>x</math>-Terme auf eine Seite:
	{{Abgesetzte Formel||<math>x\ln e+x\ln 3=\ln 2-\ln 13\,\textrm{.}</math>}}		{{Abgesetzte Formel||<math>x\ln e+x\ln 3=\ln 2-\ln 13\,\textrm{.}</math>}}
-	Take out <math>x</math> on the left-hand side and use <math>\ln e=1</math>,	+
		+	Dann verwenden wir, dass <math>\ln e=1</math>:
	{{Abgesetzte Formel||<math>x( 1+\ln 3)=\ln 2-\ln 13\,\textrm{.}</math>}}		{{Abgesetzte Formel||<math>x( 1+\ln 3)=\ln 2-\ln 13\,\textrm{.}</math>}}
-	Then, solve for <math>x</math>,	+	Jetzt lösen wir die Gleichung für <math>x</math>:
	{{Abgesetzte Formel||<math>x=\frac{\ln 2-\ln 13}{1+\ln 3}\,\textrm{.}</math>}}		{{Abgesetzte Formel||<math>x=\frac{\ln 2-\ln 13}{1+\ln 3}\,\textrm{.}</math>}}
-	Note: Because <math>\ln 2 < \ln 13</math>, we can write the answer as	+	Hinweis: Nachdem <math>\ln 2 < \ln 13</math>, können wir die Antwort als
	{{Abgesetzte Formel||<math>x=-\frac{\ln 13-\ln 2}{1+\ln 3}</math>}}		{{Abgesetzte Formel||<math>x=-\frac{\ln 13-\ln 2}{1+\ln 3}</math>}}
-	to indicate that <math>x</math> is negative.	+	schreiben, um zu zeigen, dass <math>x</math> negativ ist.

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Aktuelle Version

Beide Seiten der Gleichung sind positiv, nachdem \displaystyle e^{x} und \displaystyle 3^{-x} für alle \displaystyle x positiv sind. Daher können wir beide Seiten logarithmieren

\displaystyle \ln\bigl(13e^{x}\bigr) = \ln\bigl(2\cdot 3^{-x}\bigr)\,\textrm{.}

Wir benutzen die Logarithmusgesetze und erhalten

\displaystyle \ln 13+\ln e^{x} =\ln 2+\ln 3^{-x}

und

\displaystyle \ln 13 + x\ln e = \ln 2 + (-x)\ln 3\,\textrm{.}

Wir schreiben alle \displaystyle x-Terme auf eine Seite:

\displaystyle x\ln e+x\ln 3=\ln 2-\ln 13\,\textrm{.}

Dann verwenden wir, dass \displaystyle \ln e=1:

\displaystyle x( 1+\ln 3)=\ln 2-\ln 13\,\textrm{.}

Jetzt lösen wir die Gleichung für \displaystyle x:

\displaystyle x=\frac{\ln 2-\ln 13}{1+\ln 3}\,\textrm{.}

Hinweis: Nachdem \displaystyle \ln 2 < \ln 13, können wir die Antwort als

\displaystyle x=-\frac{\ln 13-\ln 2}{1+\ln 3}

schreiben, um zu zeigen, dass \displaystyle x negativ ist.