Lösung 3.1:2g

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Since <math>-125</math> can be written as <math>-125 = (-5)\cdot (-5)\cdot (-5) = (-5)^3</math>, the number <math>\sqrt[3]{-125}</math> is defined as
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Nachdem <math>-125</math> wie <math>-125 = (-5)\cdot (-5)\cdot (-5) = (-5)^3</math> geschrieben werden kann, ist die Kubikwurzel <math>\sqrt[3]{-125}</math>:
{{Abgesetzte Formel||<math>\sqrt[3]{-125}=-5\,\textrm{.}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>\sqrt[3]{-125}=-5\,\textrm{.}</math>}}
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Note: As opposed to <math>\sqrt{-125}</math> (the square root of -125) which is not defined, <math>\sqrt[3]{-125}</math> is defined. In other words, there does not exist any number ''x'' which satisfies <math>x^2 = -125</math>, but there is a number ''x'' which satisfies <math>x^3 = -125\,</math>.
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Hinweis: Im Gegensatz zur Quadratwurzel <math>\sqrt{-125}</math>, ist die Kubikwurzel <math>\sqrt[3]{-125}</math> definiert.
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Note: It is possible to write the calculation in the solution as
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Hinweis: Wir können die Rechnungen auch anders ausführen:
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{{Abgesetzte Formel||<math>\sqrt[3]{-125} = \sqrt[3]{(-5)^{3}} = (-5)^1 = -5\,,</math>}}
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{{Abgesetzte Formel||<math>\sqrt[3]{-125} = \sqrt[3]{(-5)^{3}} = (-5)^1 = -5</math>}}
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but one has to be careful when one calculates using negative numbers and fractional exponents. Sometimes, the expression is not defined and the usual power rules do not always hold. Look, for example, at the calculation
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{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
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-5 = (-125)^{1/3} = (-125)^{2/6} = \bigl((-125)^2\bigr)^{1/6} = 15625^{1/6}=5\,\textrm{.}
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\end{align}</math>}}
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Aktuelle Version

Nachdem \displaystyle -125 wie \displaystyle -125 = (-5)\cdot (-5)\cdot (-5) = (-5)^3 geschrieben werden kann, ist die Kubikwurzel \displaystyle \sqrt[3]{-125}:

\displaystyle \sqrt[3]{-125}=-5\,\textrm{.}


Hinweis: Im Gegensatz zur Quadratwurzel \displaystyle \sqrt{-125}, ist die Kubikwurzel \displaystyle \sqrt[3]{-125} definiert.


Hinweis: Wir können die Rechnungen auch anders ausführen:

\displaystyle \sqrt[3]{-125} = \sqrt[3]{(-5)^{3}} = (-5)^1 = -5
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