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Lösung 2.2:2d

Aus Online Mathematik Brückenkurs 1

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First, we move all the terms over to the left-hand side
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Zuerst sammeln wir alle Terme auf der linken Seite der Gleichung
{{Abgesetzte Formel||<math>(x^{2}+4x+1)^{2}+3x^{4}-2x^{2}-(2x^{2}+2x+3)^{2}=0\,\textrm{.}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>(x^{2}+4x+1)^{2}+3x^{4}-2x^{2}-(2x^{2}+2x+3)^{2}=0\,\textrm{.}</math>}}
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As the equation stands now, it seems that the best approach for solving the equation is to expand the squares, simplify and see what it leads to.
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Jetzt erweitern wir die Quadrate, indem wir jeden Term jeweils mit den anderen Termen multiplizieren.
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When the squares are expanded, each term inside a square is multiplied by itself and all other terms
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{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
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\end{align}</math>}}
\end{align}</math>}}
-
After we collect together all terms of the same order, the left hand side becomes
+
Jetzt addieren wir alle Terme mit denselben Exponenten
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
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\end{align}</math>}}
\end{align}</math>}}
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After all simplifications, the equation becomes
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Vereinfacht erhalten wir die Gleichung
{{Abgesetzte Formel||<math>-4x-8=0\quad \Leftrightarrow \quad x=-2\,\textrm{.}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>-4x-8=0\quad \Leftrightarrow \quad x=-2\,\textrm{.}</math>}}
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Finally, we check that <math>x=-2</math> is the correct answer by substituting
+
Zuletzt kontrolieren wir, dass <math>x=-2</math> die Gleichung löst
-
<math>x=-2</math> into the equation
+
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
-
\text{LHS} &= \bigl((-2)^{2}+4\cdot(-2)+1\bigr)^{2}+3\cdot (-2)^{4}-2\cdot (-2)^{2}\\[5pt]
+
\text{Linke Seite} &= \bigl((-2)^{2}+4\cdot(-2)+1\bigr)^{2}+3\cdot (-2)^{4}-2\cdot (-2)^{2}\\[5pt]
&= (4-8+1)^{2} + 3\cdot 16 - 2\cdot 4 = (-3)^{2} + 48 - 8 = 9 + 48 - 8 = 49\,,\\[10pt]
&= (4-8+1)^{2} + 3\cdot 16 - 2\cdot 4 = (-3)^{2} + 48 - 8 = 9 + 48 - 8 = 49\,,\\[10pt]
-
\text{RHS} &= \bigl(2\cdot(-2)^{2}+2\cdot (-2)+3\bigr)^{2} = (2\cdot 4-4+3)^{2} = 7^{2} = 49\,\textrm{.}
+
\text{Rechte Seite} &= \bigl(2\cdot(-2)^{2}+2\cdot (-2)+3\bigr)^{2} = (2\cdot 4-4+3)^{2} = 7^{2} = 49\,\textrm{.}
\end{align}</math>}}
\end{align}</math>}}

Aktuelle Version

Zuerst sammeln wir alle Terme auf der linken Seite der Gleichung

(x2+4x+1)2+3x4−2x2−(2x2+2x+3)2=0.

Jetzt erweitern wir die Quadrate, indem wir jeden Term jeweils mit den anderen Termen multiplizieren.

(x2+4x+1)2(2x2+2x+3)2=(x2+4x+1)(x2+4x+1)=x2x2+x24x+x21+4xx2+4x4x+4x1+1x2+14x+11=x4+4x3+x2+4x3+16x2+4x+x2+4x+1=x4+8x3+18x2+8x+1=(2x2+2x+3)(2x2+2x+3)=2x22x2+2x22x+2x23+2x2x2+2x2x+2x3+32x2+32x+33=4x4+4x3+6x2+4x3+4x2+6x+6x2+6x+9=4x4+8x3+16x2+12x+9.

Jetzt addieren wir alle Terme mit denselben Exponenten

(x2+4x+1)2+3x4−2x2−(2x2+2x+3)2=(x4+8x3+18x2+8x+1)+3x4−2x2−(4x4+8x3+16x2+12x+9)=(x4+3x4−4x4)+(8x3−8x3)+(18x2−2x2−16x2)+(8x−12x)+(1−9)=−4x−8.

Vereinfacht erhalten wir die Gleichung

−4x−8=0x=−2.

Zuletzt kontrolieren wir, dass x=−2 die Gleichung löst

Linke SeiteRechte Seite=(−2)2+4(−2)+12+3(−2)4−2(−2)2=(4−8+1)2+316−24=(−3)2+48−8=9+48−8=49=2(−2)2+2(−2)+32=(24−4+3)2=72=49.
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