Lösung 2.2:2b - Online Mathematik Brückenkurs 1

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                      1. Numerische Berechnungen
                       
                        1.1 Verschiedene Zahlen 
                        1.2 Brüche 
                        1.3 Potenzen
                      
                    
                      2. Algebra
                       
                        2.1 Algebraische Ausdrücke 
                        2.2 Lineare Gleichungen 
                        2.3 Quadratische Gleichungen
                      
                    
                      3. Wurzeln und Logarithmen
                       
                        3.1 Wurzeln 
                        3.2 Wurzelgleichungen 
                        3.3 Logarithmen 
                        3.4 Logarithmusgleichungen
                      
                    
                      4. Trigonometrie
                       
                        4.1 Winkel und Kreise 
                        4.2 Trig. Funktionen 
                        4.3 Trig. Eigenschaften 
                        4.4 Trig. Gleichungen
                      
                    
                      5. Schriftliche Mathematik
                       
                        5.1 Formeln schreiben 
                        5.2 Texte schreiben
                      
                    
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			Lösung 2.2:2b
			
			  Aus Online Mathematik Brückenkurs 1
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				Version vom 13:54, 22. Okt. 2008 (bearbeiten)
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- First, we multiply both sides in the equation by <math>4\cdot 7=28</math>, so that we get rid of the denominators in the equation, + Zuerst multiplizieren wir beide Seiten der Gleichung mit <math>4\cdot 7=28</math>, sodass die Nenner in den Brüchen verschwinden,
  
 {{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}  {{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
Zeile 6:
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 \end{align}</math>}}  \end{align}</math>}}
  
- We can simplify the left-hand side to <math>4\cdot (8x+3) - 7\cdot (5x-7) = 32x+12-35x+49 = -3x+61\,</math>. Hence, the equation is + Jetzt vereinfachen wir die linke Seite
  + <math>4\cdot (8x+3) - 7\cdot (5x-7) = 32x+12-35x+49 = -3x+61\,</math>
  + und wir haben
  
 {{Abgesetzte Formel||<math>-3x+61=56\,\textrm{.}</math>}}  {{Abgesetzte Formel||<math>-3x+61=56\,\textrm{.}</math>}}
  
- We solve this equation by subtracting 61 from both sides and then dividing by -3, + Wir lösen diese Gleichung indem wir beide 61 von beiden Seiten subtrahieren und danach beide Seiten durch 3 dividieren
  
 {{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}  {{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
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 \end{align}</math>}}  \end{align}</math>}}
  
- The answer is <math>x={5}/{3}\,</math>. + Die Lösung ist <math>x={5}/{3}\,</math>.
  
- As the final part of the solution, check the answer by substituting <math>x={5}/{3}</math> into the original equation + Wir kontrollieren die Lösung, indem wir <math>x</math> mit <math>{5}/{3}</math> in der ursprünglichen Gleichung substituieren
  
 {{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}  {{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
- \text{LHS} + \text{Linke Seite}
 &= \frac{8\cdot\frac{5}{3}+3}{7}-\frac{5\cdot\frac{5}{3}-7}{4}  &= \frac{8\cdot\frac{5}{3}+3}{7}-\frac{5\cdot\frac{5}{3}-7}{4}
 = \frac{\bigl(8\cdot\frac{5}{3}+3\bigr)\cdot 3}{7\cdot 3} - \frac{\bigl( 5\cdot \frac{5}{3}-7\bigr)\cdot 3}{4\cdot 3}\\[5pt]  = \frac{\bigl(8\cdot\frac{5}{3}+3\bigr)\cdot 3}{7\cdot 3} - \frac{\bigl( 5\cdot \frac{5}{3}-7\bigr)\cdot 3}{4\cdot 3}\\[5pt]
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 = \frac{7}{3}-\frac{1}{3}  = \frac{7}{3}-\frac{1}{3}
 = \frac{7-1}{3}  = \frac{7-1}{3}
- = \frac{6}{3} = 2 = \text{RHS.} + = \frac{6}{3} = 2 = \text{Rechte Seite.}
 \end{align}</math>}}  \end{align}</math>}}
Aktuelle Version
Zuerst multiplizieren wir beide Seiten der Gleichung mit \displaystyle 4\cdot 7=28, sodass die Nenner in den Brüchen verschwinden,





\displaystyle \begin{align}
& 4\cdot{}\rlap{/}7\cdot\frac{8x+3}{\rlap{/}7} - \rlap{/}4\cdot 7\cdot\frac{5x-7}{\rlap{/}4} = 4\cdot 7\cdot 2\\[5pt] 
&\qquad\Leftrightarrow\quad 4\cdot (8x+3) - 7\cdot (5x-7) = 56\,\textrm{.}
\end{align}



Jetzt vereinfachen wir die linke Seite
\displaystyle 4\cdot (8x+3) - 7\cdot (5x-7) = 32x+12-35x+49 = -3x+61\,
und wir haben





\displaystyle -3x+61=56\,\textrm{.}


Wir lösen diese Gleichung indem wir beide 61 von beiden Seiten subtrahieren und danach beide Seiten durch 3 dividieren





\displaystyle \begin{align}
-3x+61-61&=56-61\,,\\[5pt] 
-3x&=-5\,,\\[5pt]
\frac{-3x}{-3}&=\frac{-5}{-3}\,,\\[5pt] 
x&=\frac{5}{3}\,\textrm{.} 
\end{align}



Die Lösung ist \displaystyle x={5}/{3}\,.
Wir kontrollieren die Lösung, indem wir \displaystyle x mit \displaystyle {5}/{3} in der ursprünglichen Gleichung substituieren





\displaystyle \begin{align}
\text{Linke Seite}
&= \frac{8\cdot\frac{5}{3}+3}{7}-\frac{5\cdot\frac{5}{3}-7}{4}
= \frac{\bigl(8\cdot\frac{5}{3}+3\bigr)\cdot 3}{7\cdot 3} - \frac{\bigl( 5\cdot \frac{5}{3}-7\bigr)\cdot 3}{4\cdot 3}\\[5pt]
&= \frac{8\cdot 5+3\cdot 3}{7\cdot 3}-\frac{5\cdot 5-7\cdot 3}{4\cdot 3}
= \frac{40+9}{21}-\frac{25-21}{12}\\[5pt]
&= \frac{49}{21}-\frac{4}{12}
= \frac{7\cdot 7}{3\cdot 7} - \frac{2\cdot 2}{2\cdot 2\cdot 3}
= \frac{7}{3}-\frac{1}{3}
= \frac{7-1}{3}
= \frac{6}{3} = 2 = \text{Rechte Seite.}
\end{align}




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                        1.1 Verschiedene Zahlen 
                        1.2 Brüche 
                        1.3 Potenzen
                      
                    
                      2. Algebra
                       
                        2.1 Algebraische Ausdrücke 
                        2.2 Lineare Gleichungen 
                        2.3 Quadratische Gleichungen
                      
                    
                      3. Wurzeln und Logarithmen
                       
                        3.1 Wurzeln 
                        3.2 Wurzelgleichungen 
                        3.3 Logarithmen 
                        3.4 Logarithmusgleichungen
                      
                    
                      4. Trigonometrie
                       
                        4.1 Winkel und Kreise 
                        4.2 Trig. Funktionen 
                        4.3 Trig. Eigenschaften 
                        4.4 Trig. Gleichungen
                      
                    
                      5. Schriftliche Mathematik
                       
                        5.1 Formeln schreiben 
                        5.2 Texte schreiben
                      
                    
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- First, we multiply both sides in the equation by <math>4\cdot 7=28</math>, so that we get rid of the denominators in the equation, + Zuerst multiplizieren wir beide Seiten der Gleichung mit <math>4\cdot 7=28</math>, sodass die Nenner in den Brüchen verschwinden,
  
 {{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}  {{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
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 \end{align}</math>}}  \end{align}</math>}}
  
- We can simplify the left-hand side to <math>4\cdot (8x+3) - 7\cdot (5x-7) = 32x+12-35x+49 = -3x+61\,</math>. Hence, the equation is + Jetzt vereinfachen wir die linke Seite
  + <math>4\cdot (8x+3) - 7\cdot (5x-7) = 32x+12-35x+49 = -3x+61\,</math>
  + und wir haben
  
 {{Abgesetzte Formel||<math>-3x+61=56\,\textrm{.}</math>}}  {{Abgesetzte Formel||<math>-3x+61=56\,\textrm{.}</math>}}
  
- We solve this equation by subtracting 61 from both sides and then dividing by -3, + Wir lösen diese Gleichung indem wir beide 61 von beiden Seiten subtrahieren und danach beide Seiten durch 3 dividieren
  
 {{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}  {{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
Zeile 19:
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 \end{align}</math>}}  \end{align}</math>}}
  
- The answer is <math>x={5}/{3}\,</math>. + Die Lösung ist <math>x={5}/{3}\,</math>.
  
- As the final part of the solution, check the answer by substituting <math>x={5}/{3}</math> into the original equation + Wir kontrollieren die Lösung, indem wir <math>x</math> mit <math>{5}/{3}</math> in der ursprünglichen Gleichung substituieren
  
 {{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}  {{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
- \text{LHS} + \text{Linke Seite}
 &= \frac{8\cdot\frac{5}{3}+3}{7}-\frac{5\cdot\frac{5}{3}-7}{4}  &= \frac{8\cdot\frac{5}{3}+3}{7}-\frac{5\cdot\frac{5}{3}-7}{4}
 = \frac{\bigl(8\cdot\frac{5}{3}+3\bigr)\cdot 3}{7\cdot 3} - \frac{\bigl( 5\cdot \frac{5}{3}-7\bigr)\cdot 3}{4\cdot 3}\\[5pt]  = \frac{\bigl(8\cdot\frac{5}{3}+3\bigr)\cdot 3}{7\cdot 3} - \frac{\bigl( 5\cdot \frac{5}{3}-7\bigr)\cdot 3}{4\cdot 3}\\[5pt]
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 = \frac{7}{3}-\frac{1}{3}  = \frac{7}{3}-\frac{1}{3}
 = \frac{7-1}{3}  = \frac{7-1}{3}
- = \frac{6}{3} = 2 = \text{RHS.} + = \frac{6}{3} = 2 = \text{Rechte Seite.}
 \end{align}</math>}}  \end{align}</math>}}
Aktuelle Version
Zuerst multiplizieren wir beide Seiten der Gleichung mit \displaystyle 4\cdot 7=28, sodass die Nenner in den Brüchen verschwinden,





\displaystyle \begin{align}
& 4\cdot{}\rlap{/}7\cdot\frac{8x+3}{\rlap{/}7} - \rlap{/}4\cdot 7\cdot\frac{5x-7}{\rlap{/}4} = 4\cdot 7\cdot 2\\[5pt] 
&\qquad\Leftrightarrow\quad 4\cdot (8x+3) - 7\cdot (5x-7) = 56\,\textrm{.}
\end{align}



Jetzt vereinfachen wir die linke Seite
\displaystyle 4\cdot (8x+3) - 7\cdot (5x-7) = 32x+12-35x+49 = -3x+61\,
und wir haben





\displaystyle -3x+61=56\,\textrm{.}


Wir lösen diese Gleichung indem wir beide 61 von beiden Seiten subtrahieren und danach beide Seiten durch 3 dividieren





\displaystyle \begin{align}
-3x+61-61&=56-61\,,\\[5pt] 
-3x&=-5\,,\\[5pt]
\frac{-3x}{-3}&=\frac{-5}{-3}\,,\\[5pt] 
x&=\frac{5}{3}\,\textrm{.} 
\end{align}



Die Lösung ist \displaystyle x={5}/{3}\,.
Wir kontrollieren die Lösung, indem wir \displaystyle x mit \displaystyle {5}/{3} in der ursprünglichen Gleichung substituieren





\displaystyle \begin{align}
\text{Linke Seite}
&= \frac{8\cdot\frac{5}{3}+3}{7}-\frac{5\cdot\frac{5}{3}-7}{4}
= \frac{\bigl(8\cdot\frac{5}{3}+3\bigr)\cdot 3}{7\cdot 3} - \frac{\bigl( 5\cdot \frac{5}{3}-7\bigr)\cdot 3}{4\cdot 3}\\[5pt]
&= \frac{8\cdot 5+3\cdot 3}{7\cdot 3}-\frac{5\cdot 5-7\cdot 3}{4\cdot 3}
= \frac{40+9}{21}-\frac{25-21}{12}\\[5pt]
&= \frac{49}{21}-\frac{4}{12}
= \frac{7\cdot 7}{3\cdot 7} - \frac{2\cdot 2}{2\cdot 2\cdot 3}
= \frac{7}{3}-\frac{1}{3}
= \frac{7-1}{3}
= \frac{6}{3} = 2 = \text{Rechte Seite.}
\end{align}




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                        1.1 Verschiedene Zahlen 
                        1.2 Brüche 
                        1.3 Potenzen
                      
                    
                      2. Algebra
                       
                        2.1 Algebraische Ausdrücke 
                        2.2 Lineare Gleichungen 
                        2.3 Quadratische Gleichungen
                      
                    
                      3. Wurzeln und Logarithmen
                       
                        3.1 Wurzeln 
                        3.2 Wurzelgleichungen 
                        3.3 Logarithmen 
                        3.4 Logarithmusgleichungen
                      
                    
                      4. Trigonometrie
                       
                        4.1 Winkel und Kreise 
                        4.2 Trig. Funktionen 
                        4.3 Trig. Eigenschaften 
                        4.4 Trig. Gleichungen
                      
                    
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				Version vom 13:54, 22. Okt. 2008 (bearbeiten)
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- First, we multiply both sides in the equation by <math>4\cdot 7=28</math>, so that we get rid of the denominators in the equation, + Zuerst multiplizieren wir beide Seiten der Gleichung mit <math>4\cdot 7=28</math>, sodass die Nenner in den Brüchen verschwinden,
  
 {{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}  {{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
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 \end{align}</math>}}  \end{align}</math>}}
  
- We can simplify the left-hand side to <math>4\cdot (8x+3) - 7\cdot (5x-7) = 32x+12-35x+49 = -3x+61\,</math>. Hence, the equation is + Jetzt vereinfachen wir die linke Seite
  + <math>4\cdot (8x+3) - 7\cdot (5x-7) = 32x+12-35x+49 = -3x+61\,</math>
  + und wir haben
  
 {{Abgesetzte Formel||<math>-3x+61=56\,\textrm{.}</math>}}  {{Abgesetzte Formel||<math>-3x+61=56\,\textrm{.}</math>}}
  
- We solve this equation by subtracting 61 from both sides and then dividing by -3, + Wir lösen diese Gleichung indem wir beide 61 von beiden Seiten subtrahieren und danach beide Seiten durch 3 dividieren
  
 {{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}  {{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
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 \end{align}</math>}}  \end{align}</math>}}
  
- The answer is <math>x={5}/{3}\,</math>. + Die Lösung ist <math>x={5}/{3}\,</math>.
  
- As the final part of the solution, check the answer by substituting <math>x={5}/{3}</math> into the original equation + Wir kontrollieren die Lösung, indem wir <math>x</math> mit <math>{5}/{3}</math> in der ursprünglichen Gleichung substituieren
  
 {{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}  {{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
- \text{LHS} + \text{Linke Seite}
 &= \frac{8\cdot\frac{5}{3}+3}{7}-\frac{5\cdot\frac{5}{3}-7}{4}  &= \frac{8\cdot\frac{5}{3}+3}{7}-\frac{5\cdot\frac{5}{3}-7}{4}
 = \frac{\bigl(8\cdot\frac{5}{3}+3\bigr)\cdot 3}{7\cdot 3} - \frac{\bigl( 5\cdot \frac{5}{3}-7\bigr)\cdot 3}{4\cdot 3}\\[5pt]  = \frac{\bigl(8\cdot\frac{5}{3}+3\bigr)\cdot 3}{7\cdot 3} - \frac{\bigl( 5\cdot \frac{5}{3}-7\bigr)\cdot 3}{4\cdot 3}\\[5pt]
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 = \frac{7}{3}-\frac{1}{3}  = \frac{7}{3}-\frac{1}{3}
 = \frac{7-1}{3}  = \frac{7-1}{3}
- = \frac{6}{3} = 2 = \text{RHS.} + = \frac{6}{3} = 2 = \text{Rechte Seite.}
 \end{align}</math>}}  \end{align}</math>}}
Aktuelle Version
Zuerst multiplizieren wir beide Seiten der Gleichung mit \displaystyle 4\cdot 7=28, sodass die Nenner in den Brüchen verschwinden,





\displaystyle \begin{align}
& 4\cdot{}\rlap{/}7\cdot\frac{8x+3}{\rlap{/}7} - \rlap{/}4\cdot 7\cdot\frac{5x-7}{\rlap{/}4} = 4\cdot 7\cdot 2\\[5pt] 
&\qquad\Leftrightarrow\quad 4\cdot (8x+3) - 7\cdot (5x-7) = 56\,\textrm{.}
\end{align}



Jetzt vereinfachen wir die linke Seite
\displaystyle 4\cdot (8x+3) - 7\cdot (5x-7) = 32x+12-35x+49 = -3x+61\,
und wir haben





\displaystyle -3x+61=56\,\textrm{.}


Wir lösen diese Gleichung indem wir beide 61 von beiden Seiten subtrahieren und danach beide Seiten durch 3 dividieren





\displaystyle \begin{align}
-3x+61-61&=56-61\,,\\[5pt] 
-3x&=-5\,,\\[5pt]
\frac{-3x}{-3}&=\frac{-5}{-3}\,,\\[5pt] 
x&=\frac{5}{3}\,\textrm{.} 
\end{align}



Die Lösung ist \displaystyle x={5}/{3}\,.
Wir kontrollieren die Lösung, indem wir \displaystyle x mit \displaystyle {5}/{3} in der ursprünglichen Gleichung substituieren





\displaystyle \begin{align}
\text{Linke Seite}
&= \frac{8\cdot\frac{5}{3}+3}{7}-\frac{5\cdot\frac{5}{3}-7}{4}
= \frac{\bigl(8\cdot\frac{5}{3}+3\bigr)\cdot 3}{7\cdot 3} - \frac{\bigl( 5\cdot \frac{5}{3}-7\bigr)\cdot 3}{4\cdot 3}\\[5pt]
&= \frac{8\cdot 5+3\cdot 3}{7\cdot 3}-\frac{5\cdot 5-7\cdot 3}{4\cdot 3}
= \frac{40+9}{21}-\frac{25-21}{12}\\[5pt]
&= \frac{49}{21}-\frac{4}{12}
= \frac{7\cdot 7}{3\cdot 7} - \frac{2\cdot 2}{2\cdot 2\cdot 3}
= \frac{7}{3}-\frac{1}{3}
= \frac{7-1}{3}
= \frac{6}{3} = 2 = \text{Rechte Seite.}
\end{align}




Von „http://wiki.sommarmatte.se/wikis/2009/bridgecourse1-TU-Berlin/index.php/L%C3%B6sung_2.2:2b“
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-First, we multiply both sides in the equation by <math>4\cdot 7=28</math>, so that we get rid of the denominators in the equation,
+Zuerst multiplizieren wir beide Seiten der Gleichung mit <math>4\cdot 7=28</math>, sodass die Nenner in den Brüchen verschwinden,
 {{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
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 \end{align}</math>}}
-We can simplify the left-hand side to <math>4\cdot (8x+3) - 7\cdot (5x-7) = 32x+12-35x+49 = -3x+61\,</math>. Hence, the equation is
+Jetzt vereinfachen wir die linke Seite
+<math>4\cdot (8x+3) - 7\cdot (5x-7) = 32x+12-35x+49 = -3x+61\,</math>
+und wir haben
 {{Abgesetzte Formel||<math>-3x+61=56\,\textrm{.}</math>}}
-We solve this equation by subtracting 61 from both sides and then dividing by -3,
+Wir lösen diese Gleichung indem wir beide 61 von beiden Seiten subtrahieren und danach beide Seiten durch 3 dividieren
 {{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
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 \end{align}</math>}}
-The answer is <math>x={5}/{3}\,</math>.
+Die Lösung ist <math>x={5}/{3}\,</math>.
-As the final part of the solution, check the answer by substituting <math>x={5}/{3}</math> into the original equation
+Wir kontrollieren die Lösung, indem wir <math>x</math> mit <math>{5}/{3}</math> in der ursprünglichen Gleichung substituieren
 {{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
-\text{LHS}
+\text{Linke Seite}
 &= \frac{8\cdot\frac{5}{3}+3}{7}-\frac{5\cdot\frac{5}{3}-7}{4}
 = \frac{\bigl(8\cdot\frac{5}{3}+3\bigr)\cdot 3}{7\cdot 3} - \frac{\bigl( 5\cdot \frac{5}{3}-7\bigr)\cdot 3}{4\cdot 3}\\[5pt]
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 = \frac{7}{3}-\frac{1}{3}
 = \frac{7-1}{3}
-= \frac{6}{3} = 2 = \text{RHS.}
+= \frac{6}{3} = 2 = \text{Rechte Seite.}
 \end{align}</math>}}
 \displaystyle \begin{align}
& 4\cdot{}\rlap{/}7\cdot\frac{8x+3}{\rlap{/}7} - \rlap{/}4\cdot 7\cdot\frac{5x-7}{\rlap{/}4} = 4\cdot 7\cdot 2\\[5pt] 
&\qquad\Leftrightarrow\quad 4\cdot (8x+3) - 7\cdot (5x-7) = 56\,\textrm{.}
\end{align}
 \displaystyle -3x+61=56\,\textrm{.}
 \displaystyle \begin{align}
-3x+61-61&=56-61\,,\\[5pt] 
-3x&=-5\,,\\[5pt]
\frac{-3x}{-3}&=\frac{-5}{-3}\,,\\[5pt] 
x&=\frac{5}{3}\,\textrm{.} 
\end{align}
 \displaystyle \begin{align}
\text{Linke Seite}
&= \frac{8\cdot\frac{5}{3}+3}{7}-\frac{5\cdot\frac{5}{3}-7}{4}
= \frac{\bigl(8\cdot\frac{5}{3}+3\bigr)\cdot 3}{7\cdot 3} - \frac{\bigl( 5\cdot \frac{5}{3}-7\bigr)\cdot 3}{4\cdot 3}\\[5pt]
&= \frac{8\cdot 5+3\cdot 3}{7\cdot 3}-\frac{5\cdot 5-7\cdot 3}{4\cdot 3}
= \frac{40+9}{21}-\frac{25-21}{12}\\[5pt]
&= \frac{49}{21}-\frac{4}{12}
= \frac{7\cdot 7}{3\cdot 7} - \frac{2\cdot 2}{2\cdot 2\cdot 3}
= \frac{7}{3}-\frac{1}{3}
= \frac{7-1}{3}
= \frac{6}{3} = 2 = \text{Rechte Seite.}
\end{align}