Lösung 2.1:5b

Aus Online Mathematik Brückenkurs 1

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We can factorize the denominators as
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Wir faktorisieren die beiden Nenner
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
y^{2}-2y &= y(y-2)\\
y^{2}-2y &= y(y-2)\\
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y^{2}-4 &= (y-2)(y+2)\quad\text{[difference of two squares]}
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y^{2}-4 &= (y-2)(y+2)
\end{align}</math>}}
\end{align}</math>}}
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and then we see that the terms' lowest common denominator is <math>y(y-2)(y+2)</math> because it is the product that contains the smallest number of factors which contain both <math>y(y-2)</math> and <math>(y-2)(y+2)</math>.
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und sehen, dass der kleinste gemeinsamer Nenner <math>y(y-2)(y+2)</math> ist.
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Now, we rewrite the fractions so that they have same denominators and start simplifying
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Jetzt erweitern wir die beiden Brüche, sodass sie denselben Nenner bekommen und vereinfachen
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
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\end{align}</math>}}
\end{align}</math>}}
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The numerator can be rewritten as <math>-y+2=-(y-2)</math> and we can eliminate the common factor <math>y-2</math>,
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Der Zähler kann wie <math>-y+2=-(y-2)</math> geschrieben werden und wir können den Bruch mit dem Faktor <math>y-2</math> kürzen
{{Abgesetzte Formel||<math>\frac{-y+2}{y(y-2)(y+2)} = \frac{-(y-2)}{y(y-2)(y+2)} = \frac{-1}{y(y+2)} = -\frac{1}{y(y+2)}\,\textrm{.}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>\frac{-y+2}{y(y-2)(y+2)} = \frac{-(y-2)}{y(y-2)(y+2)} = \frac{-1}{y(y+2)} = -\frac{1}{y(y+2)}\,\textrm{.}</math>}}

Aktuelle Version

Wir faktorisieren die beiden Nenner

\displaystyle \begin{align}

y^{2}-2y &= y(y-2)\\ y^{2}-4 &= (y-2)(y+2) \end{align}

und sehen, dass der kleinste gemeinsamer Nenner \displaystyle y(y-2)(y+2) ist.

Jetzt erweitern wir die beiden Brüche, sodass sie denselben Nenner bekommen und vereinfachen

\displaystyle \begin{align}

\frac{1}{y^{2}-2y}-\frac{2}{y^{2}-4} &= \frac{1}{y(y-2)}\cdot\frac{y+2}{y+2}-\frac{2}{(y-2)(y+2)}\cdot\frac{y}{y}\\[5pt] &= \frac{y+2}{y(y-2)(y+2)} - \frac{2y}{(y-2)(y+2)y}\\[5pt] &= \frac{y+2-2y}{y(y-2)(y+2)}\\[5pt] &= \frac{-y+2}{y(y-2)(y+2)}\,\textrm{.} \end{align}

Der Zähler kann wie \displaystyle -y+2=-(y-2) geschrieben werden und wir können den Bruch mit dem Faktor \displaystyle y-2 kürzen

\displaystyle \frac{-y+2}{y(y-2)(y+2)} = \frac{-(y-2)}{y(y-2)(y+2)} = \frac{-1}{y(y+2)} = -\frac{1}{y(y+2)}\,\textrm{.}
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