Lösung 4.4:5c

Aus Online Mathematik Brückenkurs 1

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For a fixed value of ''u'', an equality of the form
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Für einen Konstante ''u'' ist die Gleichung
{{Abgesetzte Formel||<math>\cos u=\cos v</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>\cos u=\cos v</math>}}
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is satisfied by two angles ''v'' in the unit circle,
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für folgende Winkel ''v'' erfüllt:
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{{Abgesetzte Formel||<math>v=u\qquad\text{and}\qquad v=-u\,\textrm{.}</math>}}
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{{Abgesetzte Formel||<math>v=u\qquad\text{und}\qquad v=-u\,\textrm{.}</math>}}
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[[Image:4_4_5_c.gif|center]]
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<center>{{:4.4.5c - Solution - Two unit circles with angles u and -u, respectively}}</center>
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This means that all angles ''v'' which satisfy the equality are
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Also sind die allgemeinen Lösungen
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{{Abgesetzte Formel||<math>v=u+2n\pi\qquad\text{and}\qquad v=-u+2n\pi\,,</math>}}
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{{Abgesetzte Formel||<math>v=u+2n\pi\qquad\text{und}\qquad v=-u+2n\pi\,.</math>}}
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where ''n'' is an arbitrary integer.
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Die Gleichung
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Therefore, the equation
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{{Abgesetzte Formel||<math>\cos 5x=\cos (x+\pi/5)</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>\cos 5x=\cos (x+\pi/5)</math>}}
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has the solutions
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hat damit die Lösungen
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{{Abgesetzte Formel||<math>\left\{\begin{align} 5x&=x+\frac{\pi}{5}+2n\pi\quad\text{or}\\[5pt] 5x &= -x-\frac{\pi}{5}+2n\pi\,\textrm{.}\end{align}\right.</math>}}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>\left\{\begin{align} 5x&=x+\frac{\pi}{5}+2n\pi\quad\text{oder}\\[5pt] 5x &= -x-\frac{\pi}{5}+2n\pi\,\textrm{.}\end{align}\right.</math>}}
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If we collect ''x'' onto one side, we end up with
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Lösen wir die Gleichung für ''x'', erhalten wir
{{Abgesetzte Formel||<math>\left\{\begin{align}
{{Abgesetzte Formel||<math>\left\{\begin{align}
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x &= -\frac{\pi }{30}+\frac{n\pi}{3}\,,
x &= -\frac{\pi }{30}+\frac{n\pi}{3}\,,
\end{align}\right.</math>}}
\end{align}\right.</math>}}
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where ''n'' is an arbitrary integer.
 

Aktuelle Version

Für einen Konstante u ist die Gleichung

\displaystyle \cos u=\cos v

für folgende Winkel v erfüllt:

\displaystyle v=u\qquad\text{und}\qquad v=-u\,\textrm{.}

[Image]

Also sind die allgemeinen Lösungen

\displaystyle v=u+2n\pi\qquad\text{und}\qquad v=-u+2n\pi\,.

Die Gleichung

\displaystyle \cos 5x=\cos (x+\pi/5)

hat damit die Lösungen

\displaystyle \left\{\begin{align} 5x&=x+\frac{\pi}{5}+2n\pi\quad\text{oder}\\[5pt] 5x &= -x-\frac{\pi}{5}+2n\pi\,\textrm{.}\end{align}\right.

Lösen wir die Gleichung für x, erhalten wir

\displaystyle \left\{\begin{align}

x &= \frac{\pi}{20} + \frac{n\pi}{2}\,,\\[5pt] x &= -\frac{\pi }{30}+\frac{n\pi}{3}\,, \end{align}\right.

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