Aus Online Mathematik Brückenkurs 1

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-	Let's first investigate when the equality	+	Wir betrachten zuerst die Gleichung
	{{Abgesetzte Formel||<math>\tan u=\tan v</math>}}		{{Abgesetzte Formel||<math>\tan u=\tan v</math>}}
-	is satisfied. Because <math>\tan u</math> can be interpreted as the slope (gradient) of the line which makes an angle ''u'' with the positive ''x''-axis, we see that for a fixed value of <math>\tan u</math>, there are two angles ''v'' in the unit circle with this slope,	+	Diese Gleichung ist erfüllt, wenn
-	{{Abgesetzte Formel||<math>v=u\qquad\text{and}\qquad v=u+\pi\,\textrm{.}</math>}}	+	{{Abgesetzte Formel||<math>v=u\qquad\text{und}\qquad v=u+\pi\,\textrm{.}</math>}}
-	[[Image:4_4_5_b.gif|center]]	+	<center>{{:4.4.5b - Solution - Two unit circles with angles v = u and v = π - u, respectively}}</center>
-	The angle ''v'' has the same slope after every half turn, so if we add multiples of	+	Die allgemeine Lösung ist
-	<math>\pi</math> to ''u'', we will obtain all the angles ''v'' which satisfy the equality	+
	{{Abgesetzte Formel||<math>v=u+n\pi\,,</math>}}		{{Abgesetzte Formel||<math>v=u+n\pi\,,</math>}}
-	where ''n'' is an arbitrary integer.	+	Für unsere Gleichung
-		+
-	If we apply this result to the equation	+
	{{Abgesetzte Formel||<math>\tan x=\tan 4x</math>}}		{{Abgesetzte Formel||<math>\tan x=\tan 4x</math>}}
-	we see that the solutions are given by	+	erhalten wir die Lösungen
-	{{Abgesetzte Formel||<math>4x = x+n\pi\qquad\text{(n is an arbitrary integer),}</math>}}	+	{{Abgesetzte Formel||<math>4x = x+n\pi\,. </math>}}
-	and solving for ''x'' gives	+	Lösen wir diese Gleichung für ''x'', erhalten wir
-	{{Abgesetzte Formel||<math>x = \tfrac{1}{3}n\pi\qquad\text{(n is an arbitrary integer).}</math>}}	+	{{Abgesetzte Formel||<math>x = \tfrac{1}{3}n\pi</math>}}

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Aktuelle Version

Wir betrachten zuerst die Gleichung

\displaystyle \tan u=\tan v

Diese Gleichung ist erfüllt, wenn

\displaystyle v=u\qquad\text{und}\qquad v=u+\pi\,\textrm{.}

Die allgemeine Lösung ist

\displaystyle v=u+n\pi\,,

Für unsere Gleichung

\displaystyle \tan x=\tan 4x

erhalten wir die Lösungen

\displaystyle 4x = x+n\pi\,.

Lösen wir diese Gleichung für x, erhalten wir

\displaystyle x = \tfrac{1}{3}n\pi