Lösung 4.4:3c

Aus Online Mathematik Brückenkurs 1

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If we consider the entire expression <math>x + 40^{\circ}</math> as an unknown, we have a basic trigonometric equation and can, with the aid of the unit circle, see that there are two solutions to the equation for <math>0^{\circ}\le x+40^{\circ}\le 360^{\circ}</math> namely <math>x+40^{\circ} = 65^{\circ}</math> and the symmetric solution <math>x + 40^{\circ} = 180^{\circ} - 65^{\circ} = 115^{\circ}\,</math>.
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Falls wir <math>x + 40^{\circ}</math> als unbekannte Variable betrachten, haben wir eine einfache trigonometrische Gleichung wie vorher. Wir sehen, dass es im Intervall <math>0^{\circ}\le x+40^{\circ}\le 360^{\circ}</math> zwei Lösungen gibt, nämlich <math>x+40^{\circ} = 65^{\circ}</math> und die symmetrische Lösung <math>x + 40^{\circ} = 180^{\circ} - 65^{\circ} = 115^{\circ}\,</math>.
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[[Image:4_4_3_c.gif|center]]
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<center>{{:4.4.3c - Solution - Two unit circles with angles 65° and 115°, respectively}}</center>
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It is then easy to set up the general solution by adding multiples of <math>360^{\circ}\,</math>,
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Die allgemeine Lösung ist damit
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{{Abgesetzte Formel||<math>x + 40^{\circ} = 65^{\circ} + n\cdot 360^{\circ}\qquad\text{and}\qquad x + 40^{\circ} = 115^{\circ} + n\cdot 360^{\circ}</math>}}
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{{Abgesetzte Formel||<math>x + 40^{\circ} = 65^{\circ} + n\cdot 360^{\circ}\qquad\text{und}\qquad x + 40^{\circ} = 115^{\circ} + n\cdot 360^{\circ}</math>}}
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for all integers ''n'', which gives
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Also erhalten wir die Lösungen
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{{Abgesetzte Formel||<math>x = 25^{\circ} + n\cdot 360^{\circ}\qquad\text{and}\qquad x=75^{\circ} + n\cdot 360^{\circ}\,\textrm{.}</math>}}
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{{Abgesetzte Formel||<math>x = 25^{\circ} + n\cdot 360^{\circ}\qquad\text{und}\qquad x=75^{\circ} + n\cdot 360^{\circ}\,\textrm{.}</math>}}

Aktuelle Version

Falls wir \displaystyle x + 40^{\circ} als unbekannte Variable betrachten, haben wir eine einfache trigonometrische Gleichung wie vorher. Wir sehen, dass es im Intervall \displaystyle 0^{\circ}\le x+40^{\circ}\le 360^{\circ} zwei Lösungen gibt, nämlich \displaystyle x+40^{\circ} = 65^{\circ} und die symmetrische Lösung \displaystyle x + 40^{\circ} = 180^{\circ} - 65^{\circ} = 115^{\circ}\,.

[Image]

Die allgemeine Lösung ist damit

\displaystyle x + 40^{\circ} = 65^{\circ} + n\cdot 360^{\circ}\qquad\text{und}\qquad x + 40^{\circ} = 115^{\circ} + n\cdot 360^{\circ}

Also erhalten wir die Lösungen

\displaystyle x = 25^{\circ} + n\cdot 360^{\circ}\qquad\text{und}\qquad x=75^{\circ} + n\cdot 360^{\circ}\,\textrm{.}
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