Lösung 4.3:8b

Aus Online Mathematik Brückenkurs 1

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Because <math>\tan v = \frac{\sin v}{\cos v}</math>, the left-hand side can be written using <math>\cos v</math> as the common denominator,
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Nachdem <math>\tan v = \frac{\sin v}{\cos v}</math> ist, kann die linke Seite als ein einziger Bruch mit <math>\cos v</math> als Nenner geschrieben werden,
{{Abgesetzte Formel||<math>\frac{1}{\cos v} - \tan v = \frac{1}{\cos v} - \frac{\sin v}{\cos v} = \frac{1-\sin v}{\cos v}\,\textrm{.}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>\frac{1}{\cos v} - \tan v = \frac{1}{\cos v} - \frac{\sin v}{\cos v} = \frac{1-\sin v}{\cos v}\,\textrm{.}</math>}}
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Now, we observe that if we multiply top and bottom with <math>1+\sin v</math>, the denominator will contain the denominator of the right-hand side as a factor and, in addition, the numerator can be simplified to give <math>1-\sin^2\!v = \cos ^2\!v\,</math>, using the difference of two squares,
+
Erweitern wir den Bruch mit <math>1+\sin v</math>, erhalten wir mit der binomischen Formel und dem Satz des Pythagoras:
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
Zeile 12: Zeile 12:
\end{align}</math>}}
\end{align}</math>}}
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Eliminating <math>\cos v</math> then gives the answer,
+
Wir kürzen den Faktor <math>\cos v</math> und erhalten
{{Abgesetzte Formel||<math>\frac{\cos^2\!v}{\cos v\,(1+\sin v)} = \frac{\cos v}{1+\sin v}\,\textrm{.}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>\frac{\cos^2\!v}{\cos v\,(1+\sin v)} = \frac{\cos v}{1+\sin v}\,\textrm{.}</math>}}

Aktuelle Version

Nachdem \displaystyle \tan v = \frac{\sin v}{\cos v} ist, kann die linke Seite als ein einziger Bruch mit \displaystyle \cos v als Nenner geschrieben werden,

\displaystyle \frac{1}{\cos v} - \tan v = \frac{1}{\cos v} - \frac{\sin v}{\cos v} = \frac{1-\sin v}{\cos v}\,\textrm{.}

Erweitern wir den Bruch mit \displaystyle 1+\sin v, erhalten wir mit der binomischen Formel und dem Satz des Pythagoras:

\displaystyle \begin{align}

\frac{1-\sin v}{\cos v} &= \frac{1-\sin v}{\cos v}\cdot\frac{1+\sin v}{1+\sin v}\\[5pt] &= \frac{1-\sin^2\!v}{\cos v\,(1+\sin v)}\\[5pt] &= \frac{\cos^2\!v}{\cos v\,(1+\sin v)}\,\textrm{.} \end{align}

Wir kürzen den Faktor \displaystyle \cos v und erhalten

\displaystyle \frac{\cos^2\!v}{\cos v\,(1+\sin v)} = \frac{\cos v}{1+\sin v}\,\textrm{.}
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