Lösung 4.3:6b

Aus Online Mathematik Brückenkurs 1

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We draw an angle <math>v</math> in the unit circle, and the fact that <math>\sin v = 3/10</math> means that its ''y''-coordinate equals <math>3/10</math>.
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Wir zeichnen den Winkel <math>v</math> auf den Einheitskreis, dessen ''y''-Koordinate <math>\sin v = 3/10</math> entspricht:
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[[Image:4_3_6_b1.gif|center]]
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<center>{{:4.3.6b - Solution - The unit circle with angle v}}</center>
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With the information that is given, we can define a right-angled triangle in the second quadrant which has a hypotenuse of 1 and a vertical side of length 3/10.
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Wir zeichnen im zweiten Quadrant ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse 1 und der Höhe 3/10.
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[[Image:4_3_6_b2.gif|center]]
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<center>{{:4.3.6b - Solution - The unit circle with angle v in the second quadrant and an auxiliary triangle}}</center>
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We can determine the triangle's remaining side by using the Pythagorean theorem,
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Die Breite erhalten wir durch das Gesetz des Pythagoras:
{{Abgesetzte Formel||<math>a^2 + \Bigl(\frac{3}{10}\Bigr)^2 = 1^2</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>a^2 + \Bigl(\frac{3}{10}\Bigr)^2 = 1^2</math>}}
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which gives that
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Wir erhalten:
{{Abgesetzte Formel||<math>a = \sqrt{1-\Bigl(\frac{3}{10}\Bigr)^2} = \sqrt{1-\frac{9}{100}} = \sqrt{\frac{91}{100}} = \frac{\sqrt{91}}{10}\,\textrm{.}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>a = \sqrt{1-\Bigl(\frac{3}{10}\Bigr)^2} = \sqrt{1-\frac{9}{100}} = \sqrt{\frac{91}{100}} = \frac{\sqrt{91}}{10}\,\textrm{.}</math>}}
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This means that the angle's ''x''-coordinate is <math>-a</math>, i.e. we have
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Also ist die ''x''Koordinate des Winkels <math>-a</math> und wir erhalten
{{Abgesetzte Formel||<math>\cos v=-\frac{\sqrt{91}}{10}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>\cos v=-\frac{\sqrt{91}}{10}</math>}}
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and thus
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Also ist
{{Abgesetzte Formel||<math>\tan v = \frac{\sin v}{\cos v} = \frac{\dfrac{3}{10}}{-\dfrac{\sqrt{91}}{10}} = -\frac{3}{\sqrt{91}}\,\textrm{.}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>\tan v = \frac{\sin v}{\cos v} = \frac{\dfrac{3}{10}}{-\dfrac{\sqrt{91}}{10}} = -\frac{3}{\sqrt{91}}\,\textrm{.}</math>}}

Aktuelle Version

Wir zeichnen den Winkel \displaystyle v auf den Einheitskreis, dessen y-Koordinate \displaystyle \sin v = 3/10 entspricht:

[Image]

Wir zeichnen im zweiten Quadrant ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse 1 und der Höhe 3/10.

[Image]

Die Breite erhalten wir durch das Gesetz des Pythagoras:

\displaystyle a^2 + \Bigl(\frac{3}{10}\Bigr)^2 = 1^2

Wir erhalten:

\displaystyle a = \sqrt{1-\Bigl(\frac{3}{10}\Bigr)^2} = \sqrt{1-\frac{9}{100}} = \sqrt{\frac{91}{100}} = \frac{\sqrt{91}}{10}\,\textrm{.}

Also ist die xKoordinate des Winkels \displaystyle -a und wir erhalten

\displaystyle \cos v=-\frac{\sqrt{91}}{10}

Also ist

\displaystyle \tan v = \frac{\sin v}{\cos v} = \frac{\dfrac{3}{10}}{-\dfrac{\sqrt{91}}{10}} = -\frac{3}{\sqrt{91}}\,\textrm{.}
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