Lösung 4.1:4a

Aus Online Mathematik Brückenkurs 1

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If we draw in the points in a coordinate system, we can see the line between the points as the hypotenuse in an imaginary right-angled triangle, where the opposite and adjacent are parallel with the ''x''- and ''y''-axes, respectively.
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Wir zeichnen die Punkte und sehen, dass der Abstand zwischen den Punkten die Hypotenuse des Dreiecks ist, wobei die Katheten parallel zu den Koordinatenachsen sind.
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<center>{{:4.1.4a - Solution - A line segment between the points (1,1) and (5,4)}}</center>
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[[Image:4_1_4_a-1(2)_1.gif|center]]
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Die Länge der Katheten erhalten wir einfach als den Unterschied des ''x''- und ''y''-Wertes von den beiden Punkten.
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In this triangle, it is easy to measure the lengths of the opposite and the adjacent, which are simply the distances between the points in the ''x''- and ''y''-directions, respectively.
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{| align="center"
{| align="center"
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|align="center"|[[Image:4_1_4_a-1(2)_2.gif|center]]
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|align="center"|{{:4.1.4a - Solution - A triangle with the line segment between the points (1,1) and (5,4) as the hypotenuse}}
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|align="center"|<small>∆''x''&nbsp;=&nbsp;5&nbsp;-&nbsp;1&nbsp;=&nbsp;4 &nbsp;and&nbsp; ∆''y''&nbsp;=&nbsp;4&nbsp;-&nbsp;1&nbsp;=&nbsp;3</small>
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|align="center"|<small>∆''x''&nbsp;=&nbsp;5&nbsp;-&nbsp;1&nbsp;=&nbsp;4 &nbsp;und&nbsp; ∆''y''&nbsp;=&nbsp;4&nbsp;-&nbsp;1&nbsp;=&nbsp;3</small>
|}
|}
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Mit dem Gesetz des Pythagoras erhalten wir die Hypotenuse und so auch den Abstand zwischen den Punkten,
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Using the Pythagorean theorem, we can then calculate the length of the hypotenuse, which is also the distance between the points:
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{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
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Note: In general, the distance between two points <math>(x,y)</math> and <math>(a,b)</math> is given by the formula
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Hinweis: Allgemein ist der Abstand d zwischen den Punkten <math>(x,y)</math> und <math>(a,b)</math>
{{Abgesetzte Formel||<math>d = \sqrt{(x-a)^2 + (y-b)^2}\,\textrm{.}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>d = \sqrt{(x-a)^2 + (y-b)^2}\,\textrm{.}</math>}}

Aktuelle Version

Wir zeichnen die Punkte und sehen, dass der Abstand zwischen den Punkten die Hypotenuse des Dreiecks ist, wobei die Katheten parallel zu den Koordinatenachsen sind.

[Image]

Die Länge der Katheten erhalten wir einfach als den Unterschied des x- und y-Wertes von den beiden Punkten.


[Image]

∆x = 5 - 1 = 4  und  ∆y = 4 - 1 = 3

Mit dem Gesetz des Pythagoras erhalten wir die Hypotenuse und so auch den Abstand zwischen den Punkten,

\displaystyle \begin{align}

d &= \sqrt{(\Delta x)^2 + (\Delta y)^2} = \sqrt{4^2+3^2}\\[5pt] &= \sqrt{16+9} = \sqrt{25} = 5\,\textrm{.} \end{align}


Hinweis: Allgemein ist der Abstand d zwischen den Punkten \displaystyle (x,y) und \displaystyle (a,b)

\displaystyle d = \sqrt{(x-a)^2 + (y-b)^2}\,\textrm{.}
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