Lösung 2.3:1b

Aus Online Mathematik Brückenkurs 1

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K
 
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When we complete the square, it is only the first two terms, <math>x^{2}+2x</math>, that are involved. The general formula for completing the square states that <math>x^{2}+ax</math> equals
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Bei der quadratischen Ergänzung beachten wir nur den quadratischen und den linearen Term, also <math>x^{2}+2x</math>. Die Formel für die quadratische Ergänzung von <math>x^{2}+ax</math> lautet
{{Abgesetzte Formel||<math>\Bigl(x+\frac{a}{2}\Bigr)^{2} - \Bigl(\frac{a}{2}\Bigr)^{2}\,\textrm{.}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>\Bigl(x+\frac{a}{2}\Bigr)^{2} - \Bigl(\frac{a}{2}\Bigr)^{2}\,\textrm{.}</math>}}
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Note how the coefficient ''a'' in front of the ''x'' turns up halved in two places.
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Verwenden wir diese Formel, erhalten wir
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If we use this formula, we obtain
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{{Abgesetzte Formel||<math>x^{2}+2x = \Bigl(x+\frac{2}{2}\Bigr)^{2} - \Bigl(\frac{2}{2}\Bigr)^{2} = (x+1)^{2}-1</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>x^{2}+2x = \Bigl(x+\frac{2}{2}\Bigr)^{2} - \Bigl(\frac{2}{2}\Bigr)^{2} = (x+1)^{2}-1</math>}}
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and if we subtract the last "1", we obtain
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Subtrahieren wir "-1" von beiden Seiten der Gleichung, erhalten wir
{{Abgesetzte Formel||<math>x^{2}+2x-1 = (x+1)^{2}-1-1 = (x+1)^{2}-2\,\textrm{.}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>x^{2}+2x-1 = (x+1)^{2}-1-1 = (x+1)^{2}-2\,\textrm{.}</math>}}
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To be completely certain that we have used the correct formula, we can expand the quadratic on the right-hand side,
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Um zu kontrollieren, ob die quadratische Ergänzung korrekt ist, erweitern wir die Quadrate auf der Rechten Seite, und erhalten
{{Abgesetzte Formel||<math>(x+1)^{2}-2 = x^{2}+2x+1-2 = x^{2}+2x-1</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>(x+1)^{2}-2 = x^{2}+2x+1-2 = x^{2}+2x-1</math>}}
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and see that the relation really holds.
 

Aktuelle Version

Bei der quadratischen Ergänzung beachten wir nur den quadratischen und den linearen Term, also \displaystyle x^{2}+2x. Die Formel für die quadratische Ergänzung von \displaystyle x^{2}+ax lautet

\displaystyle \Bigl(x+\frac{a}{2}\Bigr)^{2} - \Bigl(\frac{a}{2}\Bigr)^{2}\,\textrm{.}

Verwenden wir diese Formel, erhalten wir

\displaystyle x^{2}+2x = \Bigl(x+\frac{2}{2}\Bigr)^{2} - \Bigl(\frac{2}{2}\Bigr)^{2} = (x+1)^{2}-1

Subtrahieren wir "-1" von beiden Seiten der Gleichung, erhalten wir

\displaystyle x^{2}+2x-1 = (x+1)^{2}-1-1 = (x+1)^{2}-2\,\textrm{.}

Um zu kontrollieren, ob die quadratische Ergänzung korrekt ist, erweitern wir die Quadrate auf der Rechten Seite, und erhalten

\displaystyle (x+1)^{2}-2 = x^{2}+2x+1-2 = x^{2}+2x-1
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