Lösung 2.2:6e

Aus Online Mathematik Brückenkurs 1

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The lines have a point of intersection at that point which simultaneously satisfies the equations of both lines
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Der Schnittpunkt der Geraden muss die Gleichungen beider Geraden erfüllen, also
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{{Abgesetzte Formel||<math>2x+y-1=0\qquad\text{and}\qquad y-2x-2=0\,\textrm{.}</math>}}
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{{Abgesetzte Formel||<math>2x+y-1=0\qquad\text{und}\qquad y-2x-2=0\,\textrm{.}</math>}}
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If we make ''y'' the subject of the second equation <math>y=2x+2</math> and substitute it into the first equation, we obtain an equation which only contains ''x'',
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Wenn wir von der ersten Gleichung <math>y</math> mit <math>2x+2</math> ersetzen, bekommen wir eine Gleichung mit nur <math>x</math>
{{Abgesetzte Formel||<math>2x+(2x+2)-1=0\quad\Leftrightarrow\quad 4x+1=0\,,</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>2x+(2x+2)-1=0\quad\Leftrightarrow\quad 4x+1=0\,,</math>}}
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which gives that <math>x=-1/4\,</math>. Then, from the relation <math>y=2x+2</math>, we obtain <math>y = 2\cdot(-1/4)+2 = 3/2\,</math>.
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Wir erhalten <math>x=-1/4\,</math>, und die erste Gleichung, <math>y=2x+2</math>, gibt uns <math>y = 2\cdot(-1/4)+2 = 3/2\,</math>.
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The point of intersection is
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Also ist der Schnittpunkt <math>\bigl(-\tfrac{1}{4},\tfrac{3}{2}\bigr)</math>.
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<math>\bigl(-\tfrac{1}{4},\tfrac{3}{2}\bigr)</math>.
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<center>[[Image:2_2_6_e.gif|center]]</center>
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<center>{{:2.2.6e - Solution - The lines 2x + y -1 = 0 and y - 2x - 2 = 0 through the point (-1/4,3/2)}}</center>
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Wir kontrollieren zur Sicherheit, dass der Punkt <math>\bigl(-\tfrac{1}{4},\tfrac{3}{2}\bigr)</math> auch wirklich beide Gleichungen erfüllt
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We check for safety's sake that <math>\bigl(-\tfrac{1}{4},\tfrac{3}{2}\bigr)</math>
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:*2''x''&nbsp;+&nbsp;''y''&nbsp;-&nbsp;1&nbsp;=&nbsp;0: <math>\quad\textrm{Linke Seite} = 2\cdot\bigl(-\tfrac{1}{4}\bigr) + \tfrac{3}{2} - 1 = -\tfrac{1}{2} + \tfrac{3}{2} - \tfrac{2}{2} = 0 = \textrm{Rechte Seite.}</math>
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really satisfies both equations:
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:*2''x''&nbsp;+&nbsp;''y''&nbsp;-&nbsp;1&nbsp;=&nbsp;0: <math>\quad\textrm{LHS} = 2\cdot\bigl(-\tfrac{1}{4}\bigr) + \tfrac{3}{2} - 1 = -\tfrac{1}{2} + \tfrac{3}{2} - \tfrac{2}{2} = 0 = \textrm{RHS.}</math>
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:*''y''&nbsp;-&nbsp;2''x''&nbsp;-&nbsp;2&nbsp;=&nbsp;0: <math>\quad\textrm{Linke Seite} = \tfrac{3}{2}-2\cdot\bigl(-\tfrac{1}{4}\bigr)-2 = \tfrac{3}{2} + \tfrac{1}{2} - \tfrac{4}{2} = 0 = \textrm{Rechte Seite.}</math>
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:*''y''&nbsp;-&nbsp;2''x''&nbsp;-&nbsp;2&nbsp;=&nbsp;0: <math>\quad\textrm{LHS} = \tfrac{3}{2}-2\cdot\bigl(-\tfrac{1}{4}\bigr)-2 = \tfrac{3}{2} + \tfrac{1}{2} - \tfrac{4}{2} = 0 = \textrm{RHS.}</math>
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Aktuelle Version

Der Schnittpunkt der Geraden muss die Gleichungen beider Geraden erfüllen, also

\displaystyle 2x+y-1=0\qquad\text{und}\qquad y-2x-2=0\,\textrm{.}

Wenn wir von der ersten Gleichung \displaystyle y mit \displaystyle 2x+2 ersetzen, bekommen wir eine Gleichung mit nur \displaystyle x

\displaystyle 2x+(2x+2)-1=0\quad\Leftrightarrow\quad 4x+1=0\,,

Wir erhalten \displaystyle x=-1/4\,, und die erste Gleichung, \displaystyle y=2x+2, gibt uns \displaystyle y = 2\cdot(-1/4)+2 = 3/2\,.

Also ist der Schnittpunkt \displaystyle \bigl(-\tfrac{1}{4},\tfrac{3}{2}\bigr).


[Image]

Wir kontrollieren zur Sicherheit, dass der Punkt \displaystyle \bigl(-\tfrac{1}{4},\tfrac{3}{2}\bigr) auch wirklich beide Gleichungen erfüllt

  • 2x + y - 1 = 0: \displaystyle \quad\textrm{Linke Seite} = 2\cdot\bigl(-\tfrac{1}{4}\bigr) + \tfrac{3}{2} - 1 = -\tfrac{1}{2} + \tfrac{3}{2} - \tfrac{2}{2} = 0 = \textrm{Rechte Seite.}
  • y - 2x - 2 = 0: \displaystyle \quad\textrm{Linke Seite} = \tfrac{3}{2}-2\cdot\bigl(-\tfrac{1}{4}\bigr)-2 = \tfrac{3}{2} + \tfrac{1}{2} - \tfrac{4}{2} = 0 = \textrm{Rechte Seite.}
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