Lösung 1.1:5c
Aus Online Mathematik Brückenkurs 1
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<math>\begin{align} | <math>\begin{align} | ||
| - | & \frac{1}{2}=0 | + | & \frac{1}{2}=0{,}5 \\ |
& \\ | & \\ | ||
| - | & \frac{2}{3}=2\ | + | & \frac{2}{3}=2\cdot \frac{1}{3}=0{,}666... \\ |
& \\ | & \\ | ||
| - | & \frac{3}{5}=3\ | + | & \frac{3}{5}=3\cdot \frac{1}{5}=3\cdot 0{,}2=0{,}6 \\ |
\end{align}</math> | \end{align}</math> | ||
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| - | Also | + | Also haben wir <math>{1}/{2<{3}/{5<{2}/{3}\;}}</math>. |
| - | + | Da es relativ umständlich ist | |
| - | + | ||
| - | + | ||
| - | + | ||
<math>{5}/{8}\;</math> | <math>{5}/{8}\;</math> | ||
| - | + | und | |
| - | <math>{21}/{34}\;</math> als Dezimalzahlen zu schreiben, schreiben wir sie stattdessen als | + | <math>{21}/{34}\;</math> als Dezimalzahlen zu schreiben, schreiben wir sie stattdessen als Brüche mit gemeinsamen Nenner und vergleichen |
<math>{5}/{8}\;</math> | <math>{5}/{8}\;</math> | ||
und | und | ||
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mit | mit | ||
<math>{1}/{2,\ \ {3}/{5}\;}\;</math> und | <math>{1}/{2,\ \ {3}/{5}\;}\;</math> und | ||
| - | <math>{2}/{3}\;</math> | + | <math>{2}/{3}\;</math>. |
Wir beginnen damit | Wir beginnen damit | ||
<math>{5}/{8}\;</math> | <math>{5}/{8}\;</math> | ||
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<math>{2}/{3}\;</math> | <math>{2}/{3}\;</math> | ||
zu vergleichen. | zu vergleichen. | ||
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* Dies ergibt | * Dies ergibt | ||
| - | <math>\frac{1}{2}=\frac{1\ | + | <math>\frac{1}{2}=\frac{1\cdot 4}{2\cdot 4}=\frac{4}{8}</math> , |
| - | + | also | |
<math>\frac{1}{2}<\frac{5}{8}</math> | <math>\frac{1}{2}<\frac{5}{8}</math> | ||
. | . | ||
* und | * und | ||
| - | <math>\frac{3}{5}=\frac{3\ | + | <math>\frac{3}{5}=\frac{3\cdot 8}{5\cdot 8}=\frac{24}{40}</math> |
| - | + | und | |
| - | <math>\frac{5}{8}=\frac{5\ | + | <math>\frac{5}{8}=\frac{5\cdot 5}{8\cdot 5}=\frac{25}{40}</math> |
| - | , | + | , also |
<math>\frac{3}{5}<\frac{5}{8}</math>. | <math>\frac{3}{5}<\frac{5}{8}</math>. | ||
* und schließlich | * und schließlich | ||
| - | <math>\frac{2}{3}=\frac{2\ | + | <math>\frac{2}{3}=\frac{2\cdot 8}{3\cdot 8}=\frac{16}{24}</math> |
| - | + | und | |
| - | <math>\frac{5}{8}=\frac{5\ | + | <math>\frac{5}{8}=\frac{5\cdot 3}{8\cdot 3}=\frac{15}{24}</math>, also |
<math>\frac{5}{8}<\frac{2}{3}</math>. | <math>\frac{5}{8}<\frac{2}{3}</math>. | ||
Also haben wir | Also haben wir | ||
| - | <math>{1}/{2}\;<{3}/{5}\;<{5}/{8}\;<{2}/{3}\;</math> | + | <math>{1}/{2}\;<{3}/{5}\;<{5}/{8}\;<{2}/{3}\;</math> |
| - | + | ||
| + | |||
Jetzt vergleichen wir | Jetzt vergleichen wir | ||
<math>{21}/{34}\;</math> | <math>{21}/{34}\;</math> | ||
mit | mit | ||
| - | <math>{1}/{2,\ \ {3}/{5}\ | + | <math>{1}/{2,\ \ {3}/{5},\ \ {5}/{8}}\;</math> und <math>{2}/{3}\;</math> dies ergibt |
| - | und | + | |
| - | <math>{2}/{3}\;</math> | + | * <math>\frac{1}{2}=\frac{1\cdot 17}{2\cdot 17}=\frac{17}{34}</math>, also <math>\frac{1}{2}<\frac{21}{34}</math> |
| - | * <math>\frac{ | + | * <math>\frac{3}{5}=\frac{3\cdot 34}{5\cdot 34}=\frac{102}{170}</math> und <math>\frac{21}{34}=\frac{21\cdot 5}{34\cdot 5}=\frac{105}{170}</math>, also <math>\frac{3}{5}<\frac{21}{34}</math>. |
| - | <math>\frac{ | + | |
| - | * <math>\frac{ | + | * <math>\frac{5}{8}=\frac{5\cdot 17}{8\cdot 17}=\frac{85}{136}</math> und <math>\frac{21}{34}=\frac{21\cdot 4}{34\cdot 4}=\frac{84}{136}</math>, also <math>\frac{21}{34}<\frac{5}{8}</math>. |
| - | + | ||
| - | <math>\frac{21}{34}=\frac{21\ | + | |
| - | <math>\frac{ | + | |
| - | + | Zusammen bekommen wir schließlich | |
| - | + | ||
| - | + | ||
| - | + | ||
| - | Zusammen bekommen wir dass | ||
<math>{1}/{2}\;<{3}/{5}\;<{21}/{34}\;<{5}/{8}\;<{2}/{3}\;</math>. | <math>{1}/{2}\;<{3}/{5}\;<{21}/{34}\;<{5}/{8}\;<{2}/{3}\;</math>. | ||
Aktuelle Version
Von den vorigen Übungen haben wir folgendes
\displaystyle \begin{align} & \frac{1}{2}=0{,}5 \\ & \\ & \frac{2}{3}=2\cdot \frac{1}{3}=0{,}666... \\ & \\ & \frac{3}{5}=3\cdot \frac{1}{5}=3\cdot 0{,}2=0{,}6 \\ \end{align}
\displaystyle
Also haben wir \displaystyle {1}/{2<{3}/{5<{2}/{3}\;}}.
Da es relativ umständlich ist \displaystyle {5}/{8}\; und \displaystyle {21}/{34}\; als Dezimalzahlen zu schreiben, schreiben wir sie stattdessen als Brüche mit gemeinsamen Nenner und vergleichen \displaystyle {5}/{8}\; und \displaystyle {21}/{34}\; mit \displaystyle {1}/{2,\ \ {3}/{5}\;}\; und \displaystyle {2}/{3}\;. Wir beginnen damit \displaystyle {5}/{8}\; mit \displaystyle {1}/{2,\ \ {3}/{5}\;}\; und \displaystyle {2}/{3}\; zu vergleichen.
- Dies ergibt
\displaystyle \frac{1}{2}=\frac{1\cdot 4}{2\cdot 4}=\frac{4}{8} , also \displaystyle \frac{1}{2}<\frac{5}{8} .
- und
\displaystyle \frac{3}{5}=\frac{3\cdot 8}{5\cdot 8}=\frac{24}{40} und \displaystyle \frac{5}{8}=\frac{5\cdot 5}{8\cdot 5}=\frac{25}{40} , also \displaystyle \frac{3}{5}<\frac{5}{8}.
- und schließlich
\displaystyle \frac{2}{3}=\frac{2\cdot 8}{3\cdot 8}=\frac{16}{24} und \displaystyle \frac{5}{8}=\frac{5\cdot 3}{8\cdot 3}=\frac{15}{24}, also \displaystyle \frac{5}{8}<\frac{2}{3}.
Also haben wir \displaystyle {1}/{2}\;<{3}/{5}\;<{5}/{8}\;<{2}/{3}\;
Jetzt vergleichen wir
\displaystyle {21}/{34}\;
mit
\displaystyle {1}/{2,\ \ {3}/{5},\ \ {5}/{8}}\; und \displaystyle {2}/{3}\; dies ergibt
- \displaystyle \frac{1}{2}=\frac{1\cdot 17}{2\cdot 17}=\frac{17}{34}, also \displaystyle \frac{1}{2}<\frac{21}{34}
- \displaystyle \frac{3}{5}=\frac{3\cdot 34}{5\cdot 34}=\frac{102}{170} und \displaystyle \frac{21}{34}=\frac{21\cdot 5}{34\cdot 5}=\frac{105}{170}, also \displaystyle \frac{3}{5}<\frac{21}{34}.
- \displaystyle \frac{5}{8}=\frac{5\cdot 17}{8\cdot 17}=\frac{85}{136} und \displaystyle \frac{21}{34}=\frac{21\cdot 4}{34\cdot 4}=\frac{84}{136}, also \displaystyle \frac{21}{34}<\frac{5}{8}.
Zusammen bekommen wir schließlich
\displaystyle {1}/{2}\;<{3}/{5}\;<{21}/{34}\;<{5}/{8}\;<{2}/{3}\;.
