Lösung 4.4:7b

Aus Online Mathematik Brückenkurs 1

(Unterschied zwischen Versionen)
Wechseln zu: Navigation, Suche
K
Aktuelle Version (22:51, 7. Aug. 2009) (bearbeiten) (rückgängig)
(Wortwahl)
 
(Der Versionsvergleich bezieht 4 dazwischen liegende Versionen mit ein.)
Zeile 1: Zeile 1:
-
If we use the Pythagorean identity and write <math>\sin^2\!x</math> as <math>1-\cos^2\!x</math>, the whole equation can be written in terms of <math>\cos x</math>,
+
Wir verwenden den trigonometrischen Pythagoras und schreiben <math>\sin^2\!x</math> als <math>1-\cos^2\!x</math>. Wir erhalten die Gleichung
-
{{Displayed math||<math>2(1-\cos^2\!x) - 3\cos x = 0\,,</math>}}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>2(1-\cos^2\!x) - 3\cos x = 0\,</math>}}
-
or, in rearranged form,
+
oder auch
-
{{Displayed math||<math>2\cos^2\!x + 3\cos x - 2 = 0\,\textrm{.}</math>}}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>2\cos^2\!x + 3\cos x - 2 = 0\,\textrm{.}</math>}}
-
With the equation expressed entirely in terms of <math>\cos x</math>, we can introduce a new unknown variable <math>t=\cos x</math> and solve the equation with respect to ''t''. Expressed in terms of ''t'', the equation is
+
Wir betrachten diese Gleichung nun als eine in der Unbekannten <math>\cos x</math> und schreiben stattdessen
-
{{Displayed math||<math>2t^2+3t-2 = 0</math>}}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>2t^2+3t-2 = 0</math>}}
-
and this quadratic equation has the solutions <math>t=\tfrac{1}{2}</math> and
+
mit <math>\cos x=t\,.</math>
-
<math>t=-2\,</math>.
+
-
In terms of ''x'', this means that either <math>\cos x = \tfrac{1}{2}</math> or <math>\cos x = -2</math>. The first case occurs when
+
Dies ist eine quadratische Gleichung mit den Lösungen <math>t=\tfrac{1}{2}</math> und <math>t=-2\,</math>.
-
{{Displayed math||<math>x=\pm \frac{\pi}{3}+2n\pi\qquad</math>(''n'' is an arbitrary integer),}}
+
Also muss ''x'' einer der Gleichungen <math>\cos x = \tfrac{1}{2}</math> oder <math>\cos x = -2</math> erfüllen. Die erste Gleichung hat die Lösungen
-
whilst the equation <math>\cos x = -2</math> has no solutions at all (the values of cosine lie between -1 and 1).
+
{{Abgesetzte Formel||<math>x=\pm \frac{\pi}{3}+2n\pi\,,</math>}}
-
The answer is that the equation has the solutions
+
während die zweite Gleichung <math>\cos x = -2</math> keine Lösungen hat.
-
{{Displayed math||<math>x = \pm\frac{\pi}{3} + 2n\pi\,,</math>}}
+
Also hat die Gleichung die Lösungen
-
where ''n'' is an arbitrary integer.
+
{{Abgesetzte Formel||<math>x = \pm\frac{\pi}{3} + 2n\pi\,,</math>}}

Aktuelle Version

Wir verwenden den trigonometrischen Pythagoras und schreiben \displaystyle \sin^2\!x als \displaystyle 1-\cos^2\!x. Wir erhalten die Gleichung

\displaystyle 2(1-\cos^2\!x) - 3\cos x = 0\,

oder auch

\displaystyle 2\cos^2\!x + 3\cos x - 2 = 0\,\textrm{.}

Wir betrachten diese Gleichung nun als eine in der Unbekannten \displaystyle \cos x und schreiben stattdessen

\displaystyle 2t^2+3t-2 = 0

mit \displaystyle \cos x=t\,.

Dies ist eine quadratische Gleichung mit den Lösungen \displaystyle t=\tfrac{1}{2} und \displaystyle t=-2\,.

Also muss x einer der Gleichungen \displaystyle \cos x = \tfrac{1}{2} oder \displaystyle \cos x = -2 erfüllen. Die erste Gleichung hat die Lösungen

\displaystyle x=\pm \frac{\pi}{3}+2n\pi\,,

während die zweite Gleichung \displaystyle \cos x = -2 keine Lösungen hat.

Also hat die Gleichung die Lösungen

\displaystyle x = \pm\frac{\pi}{3} + 2n\pi\,,
Von „http://wiki.sommarmatte.se/wikis/2009/bridgecourse1-TU-Berlin/index.php/L%C3%B6sung_4.4:7b“