Lösung 4.4:6c

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If we use the trigonometric relation <math>\sin (-x) = -\sin x</math>, the equation can be rewritten as
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Durch die Identität <math>\sin (-x) = -\sin x</math> erhalten wir
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{{Displayed math||<math>\sin 2x = \sin (-x)\,\textrm{.}</math>}}
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{{Abgesetzte Formel||<math>\sin 2x = \sin (-x)\,\textrm{.}</math>}}
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In exercise 4.4:5a, we saw that an equality of the type
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In der Übung 4.4:5a sahen wir, dass eine Gleichung der Art
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{{Displayed math||<math>\sin u = \sin v</math>}}
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{{Abgesetzte Formel||<math>\sin u = \sin v</math>}}
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is satisfied if
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die Lösungen
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{{Displayed math||<math>u = v+2n\pi\qquad\text{or}\qquad u = \pi-v+2n\pi\,,</math>}}
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{{Abgesetzte Formel||<math>u = v+2n\pi\qquad\text{und}\qquad u = \pi-v+2n\pi\,,</math>}}
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where ''n'' is an arbitrary integer. The consequence of this is that the solutions to the equation satisfy
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hat. In unserem Fall erhalten wir daher die Lösungen
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{{Displayed math||<math>2x = -x+2n\pi\qquad\text{or}\qquad 2x = \pi-(-x)+2n\pi\,,</math>}}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>2x = -x+2n\pi\qquad\text{und}\qquad 2x = \pi-(-x)+2n\pi\,,</math>}}
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i.e.
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also
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{{Displayed math||<math>3x = 2n\pi\qquad\text{or}\qquad x = \pi +2n\pi\,\textrm{.}</math>}}
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{{Abgesetzte Formel||<math>3x = 2n\pi\qquad\text{und}\qquad x = \pi +2n\pi\,\textrm{.}</math>}}
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The solutions to the equation are thus
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Lösen wir diese für ''x'', erhalten wir die Lösungen
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{{Displayed math||<math>\left\{\begin{align}
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{{Abgesetzte Formel||<math>\left\{\begin{align}
x &= \frac{2n\pi}{3}\,,\\[5pt]
x &= \frac{2n\pi}{3}\,,\\[5pt]
x &= \pi + 2n\pi\,,
x &= \pi + 2n\pi\,,
\end{align}\right.</math>}}
\end{align}\right.</math>}}
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where ''n'' is an arbitrary integer.
 

Aktuelle Version

Durch die Identität \displaystyle \sin (-x) = -\sin x erhalten wir

\displaystyle \sin 2x = \sin (-x)\,\textrm{.}

In der Übung 4.4:5a sahen wir, dass eine Gleichung der Art

\displaystyle \sin u = \sin v

die Lösungen

\displaystyle u = v+2n\pi\qquad\text{und}\qquad u = \pi-v+2n\pi\,,

hat. In unserem Fall erhalten wir daher die Lösungen

\displaystyle 2x = -x+2n\pi\qquad\text{und}\qquad 2x = \pi-(-x)+2n\pi\,,

also

\displaystyle 3x = 2n\pi\qquad\text{und}\qquad x = \pi +2n\pi\,\textrm{.}

Lösen wir diese für x, erhalten wir die Lösungen

\displaystyle \left\{\begin{align}

x &= \frac{2n\pi}{3}\,,\\[5pt] x &= \pi + 2n\pi\,, \end{align}\right.

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